Фундаментальные уравнения факторного анализа

В модели факторного анализа выводят гипотетические компоненты, которые объясняют линейную зависимость между наблюдаемыми переменными¹. Модель факторного анализа требует, чтобы зависимость между переменными была линейной, а переменные имели не­нулевые корреляции между собой. Выводимые гипотетические компоненты обладают сле­дующими свойствами.

1. Они образуют линейно независимый набор переменных. Ни один из гипотетических ком­понент не выводится из других гипотетических компонент, как их линейная комбинация.

2. Переменные, являющиеся гипотетическими компонентами, можно разделить на два ос­новных вида — общие факторы и характерные факторы. Они отличаются структурой весов в линейном уравнении, которое выводит значение наблюдаемой переменной из гипотетиче­ских компонент. Общий фактор имеет несколько переменных с ненулевым весом или фак­торной нагрузкой, соответствующей этому фактору. (Фактор называется общим, если хотя бы две его нагрузки значительно отличаются от нуля.) Характерный фактор имеет только одну переменную с ненулевым весом. Следовательно, только одна переменная зависит от характерного фактора.

3. Всегда принимают, что общие факторы не коррелируют с характерным фактором. Также обычно принимают, что характерные факторы взаимно некоррелированы, но общие факто­ры могут или не могут коррелировать между собой.

4. Обычно принимают, что число общих факторов немного меньше, чем число наблюдаемых переменных. Однако число характерных факторов обычно принимают равным числу на­блюдаемых переменных.

Используют следующие условные обозначения:

X— п х 1 — случайный вектор наблюдаемых случайных переменных^, Х₂, Х_ъ,... Х„. Принимают, что ДА) = 0 и

Е(ХХ) = R^ — корреляционная матрица с единицами на главной диагонали. /*= т х 1 — вектор т общих факторов F_{, F₂,... F_m. Принимают, что

E(F) = 0 и

E(FF) = R_ff— корреляционная матрица.

U= п х 1 — случайный вектор п характерных факторов переменных U_{, U₂,... U_n.

Принимают, что

Характерные факторы нормированы с единичными дисперсиями и взаимно некорре-лированы.

А = п х т — матрица коэффициентов, называемая матрицей факторных нагрузок (матрицей факторной модели).

Y= п х п — диагональная матрица коэффициентов для характерных факторов.

Наблюдаемые переменные, которые являются координатами X, представляют собой вз! шенные комбинации общих факторов и характерных факторов. Основное уравнение факте ного анализа можно записать так:

X=AF + VU

Корреляции между переменными, выраженные факторами, можно вывести следующ] образом:

Я„= Е(ХХ') = E{(AF + YU) (AF + YU)'} =

= E{(AF + YU)(F'A' + U'Y')} = = Е (AFF'A'+ AFU'Y' + VUF'A') = VUU'V ) = = ARjA'+AR_fuY' + VR_UJA'+ Y¹.

Задав, что общие факторы не коррелированы с характерными факторами, получим: R^ = Rj = Следовательно, R^ = ARjjA ' + Y¹ .

Предположим, что мы вычли матрицу дисперсии характерного фактора V- из обеих част уравнения. В результате получим:

R^ зависит только от переменных общего фактора, и корреляции между переменными ев заны только с общим фактором. Пусть R_c = Я„ - И~ вычисленная корреляционная матрица.

Мы уже определили матрицу факторной модели А. Коэффициенты матрицы модели фа торов представляют собой веса, присвоенные общим факторам, когда наблюдаемые переме ные выражены линейными комбинациями общего и характерного факторов. Теперь мы ощ делим матрицу факторной структуры. Коэффициенты матрицы факторной структуры пре ставляют собой ковариации между наблюдаемыми переменными и факторами. Матри факторной структуры полезна при интерпретации факторов, так как она показывает, какие г ременные аналогичны по отношению к переменной общего фактора. Матрицу факторн* структуры Д. определяют по формуле:

А, = E(XF^f) = E[(AF + VU)P] = AR_ff+ VR_Hf = AR_ff

Таким образом, матрица факторной структуры эквивалентна матрице модели факторов умноженной на матрицу ковариации между факторами R_ff Заменив Ar_ff на А, получим вычи ленную (редуцированную) матрицу как произведение матрицы факторной структуры на мг рицу модели факторов.

¹ Приложение подготовлено на основании Stanley A. Muliak. The Foudations of Factor Analysis (New york: McGraw-Hill, 1972).