Формула Байеса

Предположим, что выполняются условия предыдущего пункта и дополнительно известно, что событие А произошло. Найдём вероятность того, что при этом была реализована гипотеза H_k. По определению условной вероятности

Полученное соотношение - это формула Байеса. Она позволяет по известным (до проведения опыта) p(H_i) и условным вероятностям p(A|H_i) определить условную вероятность p(H_i/А), которую называют апостериорной (то есть полученной при условии, что в результате опыта событие А уже произошло).

Задача 1.30% пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20% - второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулёзом для представителя каждой социальной группы соответственно равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведённые анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулёза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.

Решение.Пусть H₁, H₂, H₃ – гипотезы, заключающиеся в том, что пациент принадлежит соответственно первой, второй и третьей группам. Очевидно, что они образуют полную группу событий, причём p(H₁)=0,3; p(H₂)=0,2; p(H₃)=0,5. По условию событие А, обнаружение туберкулёза у больного, произошло, причём условные вероятности по данным условия равны p(А/H₁)=0,02; p(А/H₂)=0,03; и p(А/H₃)=0,01. Апостериорную вероятность p(H₃/А) вычисляем по формуле Байеса: