Марковские и пуассоновские модели надежности

Марковский процесс характеризуется дискретным временем и конечным множеством состояний. Временной параметр пробегает неотрицательные числовые значения, а процесс (цепочка) определяется набором вероятностей перехода , т.е. вероятностью перейти на -шаге из состояния в состояние . Процесс называется однородным, если он не зависит от . В моделях, базирующихся на процессе Маркова, предполагается, что количество дефектов, обнаруженных в ПС, в любой момент времени зависит от поведения системы и представляется в виде стационарной цепи Маркова. При этом количество дефектов конечное, но является неизвестной величиной, которая задается для модели в виде константы. Интенсивность отказов в ПС или скорость прохода по цепи зависитлишь от количества дефектов, которые остались в ПС. К этой группе моделей относятся: Джелински- Моранды , Шика-Вулвертона, Шантикумера и др.

Ниже рассматриваются некоторые модели надежности, которые обеспечивают рост надежности ПО (модели роста надежности), находят широкое применение на этапе тестирования и описывают процесс обнаружения отказов при следующих предположениях:

все ошибки в ПС не зависят друг от друга с точки зрения локализации отказов;

интенсивность отказов пропорциональна текущему числу ошибок в ПС (убывает при тестировании программного обеспечения);

вероятность локализации отказов остается постоянной;

локализованные ошибки устраняются до того, как тестирование будет продолжено;

при устранении ошибок новые ошибки не вносятся.

Приведем основные обозначения величин при описании моделей роста надежности:

- число обнаруженных отказов ПО за время тестирования;

- интервалы времени между отказами и , при ;

- моменты времени отказов (длительность тестирования до -отказа), при ;

- продолжительность тестирования ПО (время, для которого определяется надежность);

- оценка числа ошибок в ПО в начале тестирования;

- оценка числа прогнозированных ошибок;

- оценка среднего времени до следующего отказа;

- оценка среднего времени до завершения тестирования;

- оценка дисперсии;

- функция надежности ПО;

- функция риска в момент времени между и -отказами;

- коэффициент пропорциональности;

- частота обнаружения ошибок.

Далее рассматриваются несколько моделей роста надежности, основанные на этих предположениях и использовании результатов тестирования программ в части отказов, времени между ними и др.

Модель Джелинского-Моранды. В этой модели используются исходные данные, приведенные выше, а также:

- число обнаруженных отказов за время тестирования;

- интервалы времени между отказами;

- продолжительность тестирования.

Функция риска в момент времени расположена между и имеет вид:

где ;

Эта функция считается ступенчатой кусочнопостоянной функцией с постоянным коэффициентом пропорциональности и величиной ступени - . Оценка параметров и производится с помощью системы уравнений:

При этом суммарное время тестирования вычисляется так:

Выходные показатели для оценки надежности относительно указанного времени включают:

число оставшихся ошибок ;

среднее время до текущего отказа ;

среднее время до завершения тестирования и его дисперсию

При этом функция надежности вычисляется по формуле:

при и числе ошибок, найденных и исправленных на каждом интервале тестирования, равным единице.

Модель Шика-Вулвертона. Модель используется тогда, когда интенсивность отказов пропорциональна не только текущему числу ошибок, но и времени, прошедшему с момента последнего отказа. Исходные данные для этой модели аналогичны выше рассмотренной модели Джелински-Моранды:

- число обнаруженных отказов за время тестирования,

- интервалы времени между отказами,

- продолжительность тестирования.

Функции риска в момент времени между и отказами определяются следующим образом:

Эта функция является линейной внутри каждого интервала времени между отказами, возрастает с меньшим углом наклона. Оценка c и N вычисляется из системы уравнений:

К выходным показателям надежности относительно продолжительности относятся:

число оставшихся ошибок ;

среднее время до следующего отказа MTт = (р / (2 (N - m) c) )1/2;

среднее время до завершения тестирования и его дисперсия

Функция надежности вычисляется по формуле:

Модели пуассоновского типа базируются на выявлении отказов и моделируются неоднородным процессом, который задает - неоднородный пуассоновский процесс с функцией интенсивности , что соответствует общему количеству отказов ПС за время его использования .

Модель Гоело-Окумото. В основе этой модели лежит описание процесса обнаружения ошибок с помощью неоднородного пуассоновского процесса, ее можно рассматривать как модель экспоненциального роста. В этой модели интенсивность отказов также зависит от времени. Кроме того, в ней количество выявленных ошибок трактуется как случайная величина, значение которой зависит от теста и других условных факторов.

Исходные данные этой модели:

- число обнаруженных отказов за время тестирования;

- интервалы времени между отказами;

- продолжительность тестирования.

Функция среднего числа отказов, обнаруженных к моменту , имеет вид

где - интенсивность обнаружения отказов и показатель роста надежности .

Функция интенсивности в зависимости от времени работы до отказа равна

Оценка и получаются из решения уравнений:

Выходные показатели надежности относительно времени определяют:

среднее число ошибок, которые были обнаружены в интервале , по формуле ,

функцию надежности

В этой модели обнаружение ошибки трактуется как случайная величина, значение которой зависит от теста и операционной среды.

В других моделях количество обнаруженных ошибок рассматривается как константа.В моделях роста надежности исходной информацией для расчета надежности являются интервалы времени между отказами тестируемой программы, число отказов и время, для которого определяется надежность программы при отказе. На основании этой информации по моделям определяются показатели надежности вида:

вероятность безотказной работы;

среднее время до следующего отказа;

число необнаруженных отказов (ошибок);

среднее время дополнительного тестирования программы.

Модель анализа результатов прогона тестов использует в своих расчетах общее число экспериментов тестирования и число отказов. Эта модель определяет только вероятность безотказной работы программы и выбрана для случаев, когда предыдущие модели нельзя использовать (мало данных, некорректность вычислений). Формула определения вероятности безотказной работы по числу проведенных экспериментов имеет вид

где - число ошибочных экспериментов, - число проведенных экспериментов для проверки работы ПС.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что модели надежности ПС основаны на времени функционирования и/или количестве отказов (ошибок), полученных в программах в процессе их тестирования или эксплуатации. Модели надежности учитывают случайный марковский и пуассоновский характер соответственно процессов обнаружения ошибок в программах, а также характер и интенсивность отказов.

Контрольные вопросы и задания

1.Определите понятие качество ПО.

2.Назовите основные аспекты и уровни модели качества ПО.

3.Определите характеристики качества ПО и их назначение.

4.Какие методы используются при определении показателей качества?

5.Определите метрики программного продукта и их составляющие.

6.Какие стандарты в области качества ПО существуют?

7.Назовите основные цели и задачи системы управления качеством.

8.В чем суть инженерии качества? Назовите критерии классификации моделей надежности.

9.Дайте определение типов моделей надежности и их базис.

10.В чем отличие марковских и пуассоновских моделей надежности?

Список литературы.

1.ISO/IEC 9126. Infofmation Technology. – Software Quality Characteristics and metrics. –

1997.

2. ДСТУ 2844–1994. Программные средства ЭВМ. Обеспечение качества. Термины и

определения..

3. ДСТУ 2850–1994. Программные средства ЭВМ. Обеспечение качества. Показатели и

методы оценки качества программного обеспечения.

4. ДСТУ 3230–1995. Управление качества и обеспечение качества. Термины и

определения.

5. Кулаков А.Ю. Оценка качества программ ЭВМ .–Киев: Технiка.–1984.–167с.

6. Липаев В.В. Методы обеспечения качества крупномасштабных программных

систем. – М.: СИНТЕГ.– 2003.–510 с.

7. Андон Ф.И., Суслов В.Ю., Коваль Г.И., Коротун Т.М. Основы качества

программных систем.–Киев, Академпериодика.– 2002.–502с.

8. Липаев В.В. Надежность программного обеспечения АСУ.–М.: Сов.радио, 1977.–

400с.

9. Майерс Г. Надежность программного обеспечения .– М.: Мир, 1980.–360с.

10. Гласс Г. Руководство по надежному программированию.–М.: Финансы и

Статистика, 1982.–256с.

11. Тейер Т., Липов Р., Нельсон Э. Надежность программного обеспечения.–М.:

Мир, 1981.– 325с.

12. Мороз Г.Б., Лаврищева Е.М. Модели роста надежности программного

обеспечения.– Киев.–Препринт 92–38, 1992.– 23с.

13. Коваль Г.И. Подход к прогнозированию надежности ПО при управлении проектом

// Проблемы программирования. –2002. – № 1 – 2. – С. 282 – 290.

14.Goel A.L. Software reliability models& Assumptions, Limitations and Applicability//

IEEE Trans.– N2.–p.1411–1423.

15. Sukert A.N., Goel A.L. A guidebook for software reliability assessment /Proc. Annual

Reliability and Maintainability Symp. – Tokio (Japan). – 1980. –P. 186 – 190.