Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва

Пусть все k резервных элементов составляют ненагруженный резерв. В этом случае естественно считать, что резервный элемент не может отка­зать до его включения в работу. Поэтому введенные в подразд. 4.5 веро­ят­ности Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru и Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru здесь будут:

Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru и Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru , (2.72)

где рk и qk – надежность и ненадежность k-го резервного элемента в рабо­чем режиме. Учитывая это, основные рекуррентные формулы (2.58) и (2.59) запишем так:

Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru (2.73)

Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru (2.74)

Но пользоваться формулами (2.73), (2.74) неудобно, так как для вы­числения по этим формулам надежности Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru и ненадежности Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru k-кратно резервированной группы надо уже знать плотность распределе­ния времени безотказной работы Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru (k-1)-кратно резервированной группы. Однако формулы (2.73), (2.74) можно упростить.

Обозначая Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru , Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru и применяя к интегралу фор­мулу интегрирования по частям, получаем:

Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru

Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru

Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru

Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru (2.75)

где учитываем, что Pk(0) = 1, Qk–1(0) = 0.

Аналогично можно преобразовать и формулу (2.74). Тогда ради уп­рощения, допуская, что все элементы в рассматриваемой резервированной группе равнонадежны, окончательно получаем:

Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru (2.76)

Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru (2.77)

где p(t), q(t), f(t) = – Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru – количественные характеристики надежности, общие для всех элементов этой группы. Зная эти характеристики и приме­няя последовательно k раз рекуррентные формулы (2.76) и (2.77), получаем надежность Pk(t) и ненадежность Qk(t) рассматриваемой резервированной группы в случае, когда ее элементы равнонадежны.

Рассмотрим практически важный частный случай, когда все эле­менты k-кратно резервированной группы (см. рис. 2.19) с ненагруженным резервированием подчинены одному и тому же экспоненциальному закону надежности: Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru .

Тогда, учитывая равенство Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru и применяя формулу (2.76), последовательно находят:

1) при k = 1

Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru ; (2.78)

2) при k = 2

Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru (2.79)

3) при k = 3

Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru (2.80)

И в случае любого k получаем:

Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва - student2.ru (2.81)

Пользуясь этой формулой, можно найти и все другие количествен­ные характеристики надежности рассматриваемой резервированной группы.

Ненагруженное резервирование замещением обеспечивает большую надежность, чем нагруженное резервирование. Это очевидно, так как во втором случае в отличие от первого расход надежности резерва начинается сразу же после включения системы в работу.

Резервирование замещением наряду с нагруженным резервом позво­ляет также использовать облегченный и ненагруженный резервы. В этом состоит его преимущество перед резервированием с постоянным включе­нием резерва, которое позволяет использовать только нагруженный резерв.

Наши рекомендации