Законы распределения, используемые при оценке надежности

Закон распределения определяется видом аналитических функций, описывающих показатели надежности: P(t), f(t), λ(t). Закон распределения случайной величины выбирается в зависимости от свойств объекта, условий его работы, характера отказов.

Согласно распределению Вейбулла, вероятность безотказной работы определяется по формуле

(3.20)

где λ₀ и В – параметры.

Частота отказов

(3.21)

Интенсивность отказов

λ = λ₀ · B · t^B-1. (3.22)

Среднее время безотказной работы

(3.23)

где – табулированная гамма-функция.

Закону Вейбулла хорошо подчиняется распределение отказов в объектах, содержащих большое количество однотипных неремонтируемых элементов (полупроводниковых приборов, микромодулей и т. д.).

Особенностью распределения Вейбулла является то, что с изменением параметра В меняется характер зависимости показателя надежности от времени. При В < 1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией, при В > 1 – возрастающей.

Данное свойство позволяет соответствующим подбором параметров λ₀ и В обеспечить хорошее совпадение результатов опытных данных с аналитическими выражениями параметров надежности.

Поведение системы на участке приработки хорошо описывается законом распределения Вейбулла с параметром В < 1, а на участке старения – В > 1.

Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла при В = 1.

Интенсивность отказов λ = const.

Вероятность безотказной работы

(3.24)

Наработка на отказ

(3.25)

Экспоненциальное распределение хорошо описывает поведение системы
в период нормальной эксплуатации, когда λ = const.

Это распределение не учитывает износа элементов системы.

Экспоненциальное распределение типично для большинства сложных объектов, содержащих большое количество различных неремонтируемых элементов, имеющих преимущественно внезапные отказы из-за наличия скрытых дефектов. Данное распределение применяется также к ремонтируемым объектам с простейшим потоком отказов.

Распределение Релея достаточно полно описывает поведение элементов
и объектов с явно выраженными эффектами износа и старения.

Вероятность безотказной работы при этом распределении

(3.26)

где с – параметр распределения.

Частота отказов

(3.27)

Интенсивность отказов

^. (3.28)

Средняя наработка на отказ

(3.29)

Распределение Пуассона применяется для оценки надежности ремонтируемых изделий с простейшим потоком отказов.

(3.30)

где К – число отказов за время t;

λ – интенсивность потока отказов;

P_K(t) – вероятность того, что за время t произойдет К отказов.

Нормальное распределение или распределение Гаусса используется для вычисления надежности объектов, для которых типичен износ. Отказы объектов носят постепенный характер, вследствие старения элементов.

Плотность вероятности момента отказов

Она зависит от двух параметров: среднего значения времени работы до отказа Т₀ и среднеквадратичного отклонения наработки на отказ σ.

Плотность нормального распределения имеет колоколообразную форму, симметричную относительно среднего значения Т₀.

Вероятность безотказной работы

(3.31)

где Ф – табулированный интеграл Лапласа.

Интенсивность отказов

(3.32)

Нормальная плотность распределения отлична от нуля при t < 0. Этот недостаток несущественен, если Т₀ >> σ. При этом условии частью кривой распределения при t < 0 можно пренебречь. Если это условие не выполняется, то использование нормального распределения приводит к погрешностям.

Часть кривой распределения при t < 0 отсекают. Получают усеченное нормальное распределение.

Формулы к усеченному нормальному распределению следующие.

Вероятность безотказной работы:

(3.33)

Интенсивность отказов:

(3.34)

Среднее время безотказной работы:

(3.35)

Интенсивность отказов при нормальном и усеченном нормальном распределениях резко возрастает с течением времени, что характерно для стареющих устройств.