Определение порядка фильтра

При проектировании и расчете полосового фильтра используется литература [1]. Далее все ссылки и аналитические выражения приводятся с указанием на это пособие.

Порядок ФНЧ-прототипа синтезируемого полосового фильтра определим, предварительно воспользовавшись формулой частотного преобразования для полосовогофильтра (1.9^/):

(3.3)

Преобразование (3.3) переводит центральную частоту полосового фильтра f₀ в нуль на оси нормированных частот Ω:

Ω(f₀)=0, верхнюю частоту среза f_СВ в единицу:

,

аналогично . Определим значения нормированных частот Ω соответствующих частотам задерживания f_ЗВ и f_ЗН в предположении симметрии этих частот и частот f_СВ, f_CН относительно центральной частоты f₀, т.е. полагая, что центральная частота является среднегеометрической величиной относительно частот среза и задерживания, что обычно выполняется при симетрии АЧХ фильтра относительно частоты f₀:

.

Тогда:

Аналогично для получим значение

.

Таким образом, частотное преобразование (3.3) позволяет провести проектирование и последующий расчет ПФ с помощью методики проектированию его ФНЧ- прототипа с нормированными частотами среза и задерживания равными соответственно: и . Согласно техническому заданию неравномерность в полосе пропускания не должна превышать 1 дБ, а на частоте задерживания ослабление должно быть не менее 30 дБ.

Следовательно, для определения порядка ФНЧ прототипа можем воспользоваться выражением (1.4) справедливым при аппроксимации частотной характеристики фильтра по Чебышеву. Поскольку требования ТЗ к неравномерности АЧХ в полосе пропускания в 1 дБ и ослаблению на частотах задерживания –30дБ совпадают с аналогичными требованиями первого примера (см.4.3.1), то приходим к заключению, что порядок ФНЧ-прототипа полосового фильтра оказывается равным n=3. Следовательно, ФНЧ прототип полосового фильтра содержит одно звено первого порядка и одно звено второго порядка. Биномиальные коэффициенты звеньев будут такими же, как и в первом примере, т.е. для звена первого порядка:

,

а для звена второго порядка:

.

Для записи операторных коэффициентов передачи звеньев полосового фильтра необходимо в звеньях прототипа:

произвести подстановку(1.9^//). В результате такойподстановки из звена первого порядка прототипа получаем звено второго порядка полосового фильтра:

, (3.4)

где , .

Поскольку a₀(1)=0,494 и ω₀=2π 200 10⁺³ рад/с, то разность угловых частот: Δω (1)=2π(f_CВ-f_CH) рад/с и параметры такого звена будут:q_P(1)=20,24, * 10³ рад/с

рад/с,

ω_P²=1,57 *10⁺¹² (рад/с)².

Для записи выражения частотной характеристики этого звена необходимо в (3.4) заменить аргумент p на p=jω и определить его модуль К₁(jω).

Аналогичная подстановка (1.9^//) в выражении переводит звено второго порядка прототипа в звено четвертого порядка полосового фильтра:

, (3.5)

где a₀=a₀(2)=0,997, a₁=a₁(2)=0,494.

Знаменатель последнего выражения записывается с учетом выражения (1.12^/).Поэтому звено четвертого порядка, как было сказано ранее, может быть выполнено в виде двух последовательно соединенных звеньев второго порядка. Для решения такой задачи необходимо в (1.12^/) определить значения центральных частот ω₀₁=ω₀/α и ω₀₂=ω₀α звеньев второго порядка, сдвинутых относительно центральной частоты ω₀ проектируемого полосового фильтра, , а также параметр:

,

который определяет добротность этих звеньев. Согласно (1.13) для этого необходимо вычислить вспомогательные параметры γ₁₂ и β₁₂ :

, где a₀=a₀(2), a₁=a₁(2)

при этом получим: . Отрицательная величина γ₂ приводит к комплексным значениям коэффициента β и поэтому с учетом условий физической реализации звеньев параметр γ₂ должен быть далее исключен. Далее, учитывая только величину параметра γ₁, запишем два положительные значения коэффициента β:

и соответственно два значения коэффициентаa:

.

Оба коэффициента α₁ и α₂ оказываются равноправными при последующих расчетах, т.к. приводят практически к одинаковым значениям добротности звеньев второго порядка:

.

Аналогичная ситуация получается и в сдвиге частот ω₀₁ и ω₀₂ относительно центральной частоты ω₀:

Поэтому, если выбрать значение α₁=1,049, то первое звено второго порядка будет иметь центральную частоту ω₀₁= 0,953ω₀ -ниже частоты ω₀, а второе звено второго порядка выше –ω₀₂=1,049ω₀ центральной частоты ω₀ полосовогофильтра. Еслиже выбрать значение α₂=0,953, то центральные частоты указ о ω₀₂=0,анных звеньев меняются местами- первое звено будет иметь центральную частоту ω₀₁=1,049ω₀ выше частоты ω₀, второе звен963ω₀-ниже частоты ω₀ полосового фильтра. Вследствие этого достаточно ограничиться только одним значением коэффициента α, выбрав, например, α=α₁=1,049.

Учитывая (3.4), (3.5), а также представляя знаменатель (3.5) в виде (1.12^/), запишем выражение операторного коэффициентапередачи проектируемого полосового фильтра:

3.6).

Таким образом, все параметры выражения (1.12^/) определены. Подставляя в (3.6) p=jω и записывая его модуль, получим запись частотной характеристики проектируемого полосового фильтра К_Ф(ω) в виде:

где:q_P(1)=20,24, ,

a₀(2)=0,997, Δω=6,28 *20 10⁺³ рад/с, ω₀₁=0,953ω₀, ω₀₂=1,049ω₀,ω₀=12,56 10⁺⁵ рад/с, ,ω=2πf.

Ввиду достаточно громоздкой структуры последнего выражения при расчете частотной характеристики фильтра целесообразно использовать ЭВМ и указанные выше прикладные программы. На рис.3.2 приведены графики АЧХ и ФЧХ первого звена полосового фильтра, которые были определены с помощью программы Mathlab 6.5 при использовании первого сомножителя операторного коэффициента передачи (3.6)- звена второго порядка. На рис.3.3 –приведены аналогичныехарактеристики второго сомножителя(3.6)-звена четвертого порядка. На рис.3.4 изображены графики результирующей частотной и фазо-частотной характеристики полосового фильтра при последовательном включении этих звеньев, т.е. при использовании полного выражения операторного коэффициента передачи фильтра (3.6). По оси абсцисс на рис.3.2, 3.3, 3.4 в логарифмическом масштабе отложена угловая частота ω размерностью рад/с, по оси ординат АЧХ значения в децибелах модуля комплексных коэффициентов передачи звеньев и фильтров. Из рис.3.4 с использованием навигатора программы Mathlab 6.5 получено, что в полосе пропускания 190-210 кГц неравномерность АЧХ фильтра на превышает 1 дБ, а затухание сигнала на частотах задерживания 175 и 225 кГц составляет около 30 дБ. Следовательно, спроектированный полосовой фильтр удовлетворяет требованиям технического задания.

Рис.3.2

Из рис.3.4 и с использованием навигатора программы Mathlab 6.5 получено, что в полосе пропускания 190-210 кГц неравномерность АЧХ фильтра на превышает 1 дБ, а затухание сигнала на частотах задерживания 175 и 225 кГц составляет около 30 дБ. Следовательно, спроектированный полосовой фильтр удовлетворяет требованиям технического задания.

Поскольку звенья фильтра имеют значения q_P(1)=20,65, q_P(2)=40,65- более двадцати-, то при их схемной реализации необходимо ориентироваться на использование высокодобротных звенев полосовых фильтров приведенных во втором разделе.

Рис.3.3

На рис..3.4 приведены амплитудно частотная и фазочастотная характеристики спроектированного полосового фильтра, из которых следует, что данный фильтр удовлетворяет всеи требованиям технического задания.

Рис.3.4.

2.Использование программ схемотехнического моделированияMICRO-CAP 7 при проектировании и

Расчете активных фильтров

В предыдущем разделе показано, что проектирование и расчет АФ может быть осуществлен с применением метода ФНЧ- прототипа. В табл.2 приведены необходимые преобразования частот и комплексных аргументов, которые позволяют перевести техническое задание фильтра любого типа в ТЗ фильтра-прототипа. При заданной аппроксимации АЧХ определяется порядок фильтра -прототипа, число и тип его звеньев. Использование биномиальных коэффициентов звеньев позволяют записать их операторные коэффициенты передачи. Наконец, с помощью подстановок, осуществляющих обратные частотные преобразования, переходят к нахождению операторных коэффициентов

звеньев проектируемого фильтра, что позволяет записать аналитическое выражение частотной характеристики синтезируемого устройства. Реализация звеньев различнойдобротности на основе операционных усилителей с обратными связями также имеет ясный алгоритм их расчета[1]. Поэтому неудивительно, что указанная методика синтеза и расчета активных фильтров может быть реализована в прикладных программах и в частности в программе схемотехнического моделирования MICRO CAP -6 и MICRO CAP-7.[4], [5]. В этих программах в задание на проектирование фильтра и его схемную реализацию входят следующие требования ТЗ: вид аппроксимации АЧХ фильтра (Баттерворта, Чебышева, Бссселя и др.), частоты среза и задерживания для ФНЧ и ФВЧ, для полосно-пропускающих или заграждающих фильтров, допустимые неравномерности АЧХ в полосе пропускания или задерживания (дБ), ослабление сигнала на частотах задерживания (дБ), коэффициент передачи(усиления) в полосе пропускания.

Программы MICRO CAP-6 и MICRO CAP-7 выполняют схемную реализацию ARC-фильтров в виде последовательного соединения звеньев, содержащих ОУ с обратными связями.Кроме того, с помощью программ определяются коэффициенты передачи звеньев ФНЧ-протитипа, их полюсы и нули( для ФВЧ и заграждающих фильтров). Помимо схемной реализации эти программы позволяют провести частотный и временной анализ синтезированных устройств.В виде иллюстрации ниже приведены результаты реализации полосно-пропускающего фильтра и фильтра нижних частот, рассмотренных в третьем разделе пособия, которые выполнены с помощью программы MICRO CAP-7. На рис.4.1, 4.2, 4.3 и 4.4 приведены схемы первого, второго, третьего и четвертого звеньев полосового фильтра.

Из рис.4.1-4.4 видно, что в процессе расчета звеньев программой МICRO СAP-7 номиналы резисторов оказываются порядка нескольких сотен Мом, а конденсаторов-долей пФ. Такие значения номиналов пассивных элементов, особенно при интегральном исполнении активных фильтров оказывается трудно выполнить.

Программы позволяют изменить значения номиналов этих элементов посредством закладки«impedance scalefactor», которая вызывается из диалогового окна синтеза активных фильтров вызовом раздела «implementation». Масштабный коэффициент (impedance scale factor) используется для изменения значений параметров всех пассивных элементов: на него умножаются сопротивления резисторов и делятся значения емкостей конденсаторов. Так, например, поставив в окне «impedance scale factor» значение 1.E-001, программа уменьшит значения сопротивлений резисторов рис.4.1-4.4 в 1000 раз и во столько же раз увеличит значения емкостей конденсаторов. Очевидно, что частотные характеристики синтезируемых звеньев фильтра при этом не изменятся.На рис. 4.5 приведена амплитудно-частотная характеристика исследуемого полосового фильтра, также полученная с помощью программы МС-7.

Рис.4.1. Первое звено полосового фильтра.

Рис.4.2. Второе звено полосового фильтра

Рис.4.3 Третье звено полосового фильтра.

Четвертое звено полосового фильтра

Рис.4.5

Из рис. 4.5 с помощью навигатора программы МС-7 определено, что в полосе пропускания фильтра Δf=f_CB-f_CH=20 кГц неравномерность АЧХ не превышает 1 дБ. Центральная частота фильтра равна f₀=200кГц. На частотах задерживания: точно 30дБ. Это расхождение в расчетах ослабления на f_ЗН=175 кГц и f_ЗВ=225 кГц ослабление сигнала фильтром составляет соответственно 43,745 и

30,727 дБ, что превышает заданную величину равную 30 дБ, кроме того, ослаблениесигнала на частоте f_ЗН=175 кГц (слева от центральной частоты f₀) превышает заданное примерно на 10дБ. Следует заметить, что ослабления на частотах задерживания f_ЗН и f_ЗВ , которые были получены во втором примере раздела 2 помощью программы Mathlab 6.5 составляют частотах задерживания, связано с тем, что при синтезе полосового фильтра программой МIСRO CAP-7 определен четвертый (n=4-завышенный) порядок его ФНЧ –прототипа. В то же время расчет порядка фильтра во втором примере синтеза ПФ раздела 2, дает величину n равную трем. Следует учитывать, что при определении порядка фильтра аналитическим путем всегда выбирается наибольшее целое от расчетного значения n, поэтому допустимы небольшие расхождения в определении величиныпорядка фильтра.

Выводы

1. Условия по проектированию и расчету активного полосового филььтра выполнены полностью При расчетах АЧХ фильтра использовалась программа. MATLAB 6.5

2. С помощью программы схемотехничес кого моделировамния MICRO CAP7 проаедено синтезирование фильтра, при этом получена его схемная реализация.

Список литературы

1.Теряев Б.Г. Проектирование и расчет активных фильтров.

М. МИРЭА. 2006

2..Разевиг В.Д. Схемотехническое моделирование с помощью MICRO-CAP 7. М. Горячая Линия-Телеком. 2003.

3. Дьяконов В.П. MATLAB Учебный курс. СПб. Издательский дом «Питер» 2000.

Пример 5