Множества и основные операции над ними

Элементы теории множеств.

Понятие множества и элемента множества относятся к понятиям неопределимым явно, таким, как, например, точка и прямая. Эти понятия являются исходными, служат теми «кирпичиками», из которых складывается общая теория. Мы определяем только, как соотносятся эти исходные понятия, не говоря о природе рассматриваемых объектов. Под множеством М понимается совокупность некоторых объектов, которые будут называться элементами множества М. Тот факт, что x является элементом множества М, будем обозначать через xÎM, в противном случае xÏM.

Элементы множества могут сами являться множествами. Множество можно задать перечислением принадлежащих ему элементов (то есть писать M={x1, x2,…, xn}) или указанием свойств, которым элементы множества должны удовлетворять, то есть, если имеется свойство P, которым могут обладать элементы некоторого множества A, то будем обозначать {xÎA | x обладает свойством P} или {x | P(x)}, если из контекста ясно, о каком множестве А идет речь.

Множество N или w - множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество вещественных чисел, C – множество комплексных чисел.

Задача.

Как называется множество царей (фараонов, императоров) данной страны, принадлежащих одному семейству? Приведите примеры.

Ответ. Это династия. Самыми крупными династиями, управлявшими нашим государством, были Рюриковичи и Романовы.

Множество А называется подмножеством множества В (обозначается АÍВ), если все элементы множества А принадлежат В:

AÍ BÛ"x (xÎAÞ xÎB).

Если АÍВ, то будем также говорить, что множество А содержится в В, или имеется включение множества А в В. Множества А и В называются равными или совпадающими (обозначается А=В), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если АÍВ и ВÍА. Таким образом, чтобы доказать равенство множеств, требуется установить два включения.

Пример 1: Справедливы следующие включения: NÍZ, ZÍQ, QÍR, RÍC.

Пример 2: Покажем, что множества М1={x | sin x=1} и M2={x | x=p/2+2kp, kÎZ} совпадают.

Если xÎM1, то x можно представить в виде x=p/2+2kp и поэтому xÎM2. Таким образом, M1ÍM2. Если же xÎM2, то есть x=p/2+2kp, то sin x=1, то есть M2ÍM1.

Следовательно, M1=M2.

Запись АÌВ означает, что АÍВ и А¹В (А не равно В), и в этом случае будем говорить, что А строго включено в В, или является собственным подмножеством В.

Так, включения из примера 1 являются строгими.

Заметим, что XÍZ; если XÍY и YÍZ, то XÍZ; если XÍY и YÍX, то X=Y.

Не следует смешивать отношение принадлежности Î и отношение включения Í.

Хотя 0Î{0} и {0}Î{{0}}, неверно, что 0Î{{0}}, поскольку единственным элементом множества {{0}} является {0}.

Совокупность всех подмножеств множества А называется его булеаном или множеством-степенью и обозначается через Р(А) или 2А. Таким образом, Р(А)={B | BÍA}.

Мы будем предполагать, что существует множество, не содержащее ни одного элемента, которое называется пустым и обозначается через Æ. Ясно, что ÆÍА для любого множества А.

Пример 3. Если А={1; 2; 3}, то Р(А)={Æ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}.

Множество, содержащее все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным или универсумом и обозначается через U. Рассмотрим операции на булеане P(U). Если А, ВÎР(U), то пересечение АÇ В и объединение АÈ В множеств А и В определяются равенствами

АÇ В={ x | xÎA и xÎB},

АÈ В={x | xÎA или xÎB}.

Пересечение множеств А и В называется также их произведением и обозначается А×B, а объединение – суммой: А+В. Множество А\В=А-В={x | xÎA и xÏ B} называется разностью множеств А и В, множество АÅ В=(А\В) È (В\А) – кольцевой суммой или симметрической разностью множеств А и В, множество А =U\А – дополнением множества А в U (см. рис., на котором изображены так называемые диаграммы Эйлера- Венна, наглядно поясняющие соотношения между множествами).

Пример 4. Докажем, что А\В=АÇ В .

Сначала установим, что А\ВÍАÇ В . Пусть x – произвольный элемент А\В. Тогда по определению разности множеств имеем xÎA и xÏB, отсюда xÎA и xÎ В , значит, xÎAÇ В . Теперь покажем, что AÇ ВÍA\B. Если xÎAÇ В , то xÎA и xÎ В , поэтому xÎA и xÏB, значит, xÎA\B. На основании включений A\BÍAÇ В и AÇ ВÍA\B делаем вывод, что A\B=AÇ В .

Аналогично примеру 4 устанавливаются следующие основные свойства операций пересечения, объединения и дополнения:

1. Ассоциативность операций È и Ç :

АÈ (ВÈ С)=(АÈ В) È С,

А Ç (ВÇ С)=(АÇ В) Ç С.

2. Коммутативность операций È и Ç :

АÈ В=ВÈ А,

А Ç В=ВÇ А.

АÈВ

3. Законы идемпотентности:

АÈ А=А, А Ç А=А.

4. Законы дистрибутивности:

АÈ (ВÇ С)=(АÈ В) Ç (АÈ С),

А Ç (ВÈ С)=(А Ç В) È (АÇ С).

5. Законы поглощения:

АÈ (АÇ В)=А, А Ç (АÈ В)=А.

6. Законы нуля и единицы: положим 0ÛÆ, 1ÛU, тогда

АÈ 0=А, А Ç 0=0, А È 1=А, А Ç 1=А, А È А =1, А Ç А =0.

Упорядоченную последовательность из n элементов x1, x2,…, xn будем обозначать через (x1, x2,…, xn) или áx1, x2,…, xnñ. Здесь круглые или угловые скобки используются для того, чтобы указать на порядок, в котором записаны элементы. Будем называть такую последовательность упорядоченным набором длины n, кортежем длины n.

Декартовым (прямым) произведением множеств A1, A2,…, An называется множество {(x1, x2,…, xn) | x1ÎA1, x2ÎA2,…, xnÎAn}.

Пример 5. Пусть А={1, 2}, B={3, 4}. Тогда A´ B ={(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)},

B´ A={(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}, A´ A={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Задачи:

Как называется множество царей (фараонов, императоров) данной страны, принадлежащих одному семейству? Приведите примеры.

Пусть А – множество всех существ, умеющих летать, В – множество всех насекомых, С – множество всех птиц.

а) Назовите два элемента множества В, не являющихся элементами множества А.

б) Назовите два элемента множества С, не являющихся элементами множества А.

в) Существуют ли элементы, принадлежащие всем трем множествам?

Даны множества. Расположите их так, чтобы каждое предыдущее множество было подмножеством следующего.

а) А – множество всех четырехугольников, В – множество всех ромбов, С – множество всех параллелограммов, D – множество всех многоугольников;

б) А – множество всех позвоночных животных, В – множество всех животных, С – множество всех млекопитающих животных, D – множество всех волков, Е – множество всех хищных млекопитающих, F – множество всех волков, обитающих на Среднерусской возвышенности.

Покажите с помощью диаграмм Эйлера-Венна, что:

а) ;

б) .