Множества и основные операции над ними. Диаграммы Венна.

Множество — совокупность определенных различаемых объектов таких, что для любого объекта можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет.

Множества обозначаются прописными буквами: A, B, C ..., элементы – строчными буквами: x, y, z, …

Операции:

· Пересечение. Пересечением множеств A и B (обозначается AÇ B) называется множество всех элементов, принадлежащих одновременно A и B:AÇB={x: x Î A и x Î B}.

• Объединение. Объединением множеств A и B (обозначается AÈB)называется множество всех элементов, принадлежащих либо A, либо B, либо одновременно и A и B:AÈB={x: xÎA или xÎB}.

• Разность. Разность (дополнение) множеств A и B (записывается в виде A \ B) — множество элементов, принадлежащих A и не принадлежащих B: A \ B ={x: xÎA и xÏB}(дополнение B до A).

· симметрическая разность. Симметрическая разность множеств A и B(обозначается ADB) определяется как:

A D B = (A È B) \ (A Ç B)

Прямое (декартово) произведение множеств.

Бинарные отношения. Графическое представление бинарных отношений.

Матрицы и основные операции над ними.

Матрица A размера m´n – таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.(A_mn)

Операции:

· Транспонирование (Результат транспонирования матрицы размера m´n – матрица размера n´m, столбцы которой являются строками исходной матрицы и записаны в том же порядке.)

· Умножение матрицы на число (Результат умножения матрицы размера mn на число  – матрица того же размера, все элементы которой равны соответствующим элементам исходной матрицы, умноженным на это число.)

· Сложение и вычитание матриц (возможно при их одинаковой размерности)

· Умножение матриц (Возможно, когда число столбцов 1 матрицы = число строк 2 матрицы. Каждый элемент новой матрицы будет равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того слолбца матриц Б)

· Возведение в степень. (Целой положительной степенью А^mквадратной матрицы А является произведение m матриц, равных А)

Свойства операций:

1. A+B= B+A

2. (A+B)+C=A+(B+C)

3. l(A+B)= lA+lB

4. A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC

5. l(AB) = (lA)B = A(lB)

6. A(B C)=(AB)C

7. В общем случае AB¹BA

Виды матриц. Геометрическая интерпретация векторов.

Матрица A размера m´n – таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. (A_mn)

Виды:

· Матрица (вектор)-строка – состоящая из одной строки

· Матрица (вектор) – столбец – состоящая из одного столбца

· Квадратная n-го порядка – чисто строк=числу столбцов

· Диагональная – все недиагональные элементы матрицы = 0

· Единичная – если у диагональной все диагональные элементы = 1

· Нулевая – все элементы равны 0

· Верхней (нижней) треугольной матрицей называется квадратная матрица произвольного порядка, все элементы которой, стоящие под (над) главной диагональю, равны нулю.

Умножение матриц.

Результат умножения матрицы A размера m´k на матрицу B размера k´n – матрица C размера m´n, каждый элемент которой c_ij равен сумме всех попарных произведений элементов, стоящих на одинаковых местах в i-ой строке матрицы A и j-ом столбце матрицы B.Возможно, когда число столбцов 1 матрицы = число строк 2 матрицы.

C_mn =A_mkB_kn