Масштаб зображень в пр-ції Г-К

Відомо що масштабом довжин в тій чи іншій пр-ції назив. відношення відрізка в проекції до відповідн. відрізка на вих. поверхні. Якщо це відношення дорівнює 1, то лінійні спотворення в проекціях відсутні. m=dS/ds. В с-мі зональних к-т X, Y відрізок dS можна визначити через елементарні приростки: dS²=dх²+dу².ds²=(MdB)²+(NcosB)²

Підставимо ці вирази у вихідну формулу:

Винесемо в чисельнику за дужки dy², у знаменнику (Ncos dl)²

З ∆ Q₁´Q₀´Q₂´ на площині знайдемо:

на вих. пов.

Підставимо ці вирази в останню ф-лу для m² і перетворивши ф-лу отримаєм

Між дирекцій ним кутом і азимутом існує залежність

Найбільша зміна м-бів довжин відбувається у пр.-ції Г-К по паралелях для яких А=90⁰. Отже отримаєм

З теорії пр.-ції Г-К відома

ф-ла:

Продиференціюєм по l

Відомо, що зближення меридіанів у пр.-ції Г-К є величиною малою і тому secγ представимо розкладом в ряд

За ф-лою

Підставимо у ф-лу

Аналіз ф-ли дозволяє встановити закономірність зміни м-бів довжин на площині в пр.-ції Г-К. Знаючи, що l характеризує різницю довгот точки дослідження і осьового меридіана зони, визначаєм, що на осьовому меридіані м-б довжин буде рівний 1 і це підтверджує одну з властивостей пр.-ції Г-К, що на осьовому меридіані зони лінійні спотворення довжин відсутні.

Для розвязку геод. задач часто використовують карти. При роботі з картами, положення точки на карті визначають не геод. координатами, а зональними к-тами X,Y. Тому отр. ф-лу для визначення м-бу довжин в тій чи іншій точці за допомогою зональних к-т.

З теорії Г-К відомо, що

Де Вх – геодезична широта, що розрахована за к-тою Х точки

Щоб перетворити останню ф-лу дляm слід у ній cosB виразити широтою Вх

Розкладемо в ряд і, врахувавши,що

і піднявши до квадрау

запишемо:

Підставимо в останю ф-лу m вираз для l і для cos²B:

Перетворимо отриманий вираз і враховуючи,що

Ця ф-ла дозволяє визначити м-б довжин в пр.-ції Г-К

З аналізу цієї ф-ли знаходимо що м-б довжин зростає від осьового меридіану до країв зони. Але оскільки зона строго ограничена розмірами по довготі (3°) , то к-ти У не можуть перевищувати 300 км, що ограничує і величину лінійних спотворень на краях зони.

В більшості випадків інж. Практики, лінійними спотвореннями на краях 6° зон можна нехтувати. Вони сягають порядку 0,14% від відповідних довжин або 1/5000 – 1/6000.

Якщо нехтувати такими похибками не дозволяється, то використовують проектування в 3° зонах, що зменшує величину лінійних похибок приблизно в 4 рази( на краях зони)