А) последовательное соединение конденсаторов
Рис. 3, а.
Последовательное соединение конденсаторов
(6) |
Б) параллельное соединение конденсаторов
Рис.3, б.
Параллельное соединение конденсаторов
(7) |
Для того чтобы зарядить конденсатор до некоторой разности потенциалов между его обкладками, можно на одной из электронейтральных обкладок разделить заряды противоположных знаков и бесконечно малый заряд dq какого – либо знака перенести с одной обкладки на другую. При этом будет произведена работа, равная бесконечно малому изменению энергии конденсатора:
(7) |
Подставив сюда значение разности потенциалов (см. определение электроемкости), получим Интегрируя это выражение при постоянной электроемкости, имеем
Используя определение электроемкости конденсатора, можно энергию заряженного конденсатора записать так:
(8) |
Рассмотрим процессы заряда и разряда конденсатора. Если заряженный конденсатор замкнуть проводником, то по проводу потечет ток, и конденсатор будет разряжаться.
Пусть U – разность потенциалов между его обкладками, R – сопротивление цепи, через которую происходит разряд. Для мгновенных значений заряда q, силы тока I и напряжения U можно записать:
(9) |
Знак «минус» взят потому, что заряд q на конденсаторе со временем убывает.
Полагаем, что мгновенное значение тока одно и то же во всех поперечных сечениях проводника, замыкающего конденсатор. Исключая силу тока I и напряжение U из уравнений (9), имеем
(10) |
Интегрируя выражение (10), получаем
(11) |
где В – постоянная интегрирования, которая определяется на начальных условий, т. е. при t = 0 заряд конденсатора q0:
(12) |
Тогда имеем
(13) |
Из выражения (13) следует, что заряд на конденсаторе при его разряде изменяется по экспоненциальному закону. По такому же закону изменяется и напряжение на конденсаторе (рис. 4, кривая 1):
(14) |
где U0 - напряжение в начальный момент времени. Из выражения (13) следует, если , то
t = τ = RC | (15) |
Величина τ имеет размерность времени и называется временем релаксации, т.е. это время за которое заряд конденсатора (напряжение на обкладках) изменится в е раз. Вообще релаксацией называется любой самопроизвольный процесс перехода системы в устойчивое равновесное состояние. В данном случае это процесс разряда конденсатора.
Рис. 4.
Зависимость U = f (t)
Для определения времени релаксации можно измерить время t1/2, за которое заряд (напряжение) (см. выражения (12), (13)) уменьшается до половины первоначальной величины: . Решая последнее выражение относительно t1/2, имеем t1/2 = τ∙ln2 = τ∙0,693.
Закон изменения напряжения на конденсаторе при его заряде (без вывода) выглядит как
(16) |
и на рис. 1 представлен кривой 2.