Физические принципы против логических структур

Много лет я убеждался в том, что математика и физика подчиняются определенной диалектике взаимоотношений. Физика — не просто бессмысленная, произвольная последовательность диаграмм Фейнмана и симметрий, а математика — не просто набор беспорядочных уравнений: скорее, физика и математика образуют симбиоз.

Я считаю, что физика в конечном счете опирается на небольшой набор физических принципов. В общем случае эти принципы можно выразить обычным языком, не обращаясь к математике. Основные физические принципы, начиная с теории Коперника и ньютоновских законов движения и вплоть до теории относительности Эйнштейна, можно изложить всего в нескольких предложениях, не прибегая к математике. Примечательно, что всего нескольких фундаментальных физических принципов достаточно, чтобы обобщить основной объем современной физики.

В отличие от физики математика — набор всех возможных самосогласованных структур, причем логических структур существует гораздо больше, чем физических принципов. Отличительная особенность любой математической системы (арифметики, алгебры, геометрии) — то, что ее аксиомы и теоремы согласуются друг с другом. Математики следят главным образом за тем, чтобы эти системы ни в коем случае не вступали в противоречие, и в меньшей степени заинтересованы в обсуждении сравнительных преимуществ одной системы перед другой. Любая самосогласованная структура из множества достойна изучения. В итоге математика гораздо более фрагментирована, чем физика; математики, специализирующиеся в одной области, обычно работают обособленно от математиков, специализирующихся в другой.

Взаимоотношения между физикой (основанной на физических принципах) и математикой (основанной на самосогласованных структурах) теперь очевидны: для решения физического принципа физикам может потребоваться много самосогласованных структур. Таким образом, физика автоматически объединяет многие обособленные направления математики. Если рассматривать ситуацию в таком свете, можно понять, как развиваются значительные идеи в теоретической физике. К примеру, и математики, и физики утверждают, что Исаак Ньютон — один из титанов именно в той науке, которой занимаются и они. Однако Ньютон начал изучать гравитацию не с математики. Рассматривая движение падающих тел, он пришел к выводу, что Луна постоянно падает на Землю, но не сталкивается с ней, потому что Земля под ней искривлена; кривизна Земли компенсирует падение Луны. В результате он пришел к постулированию физического принципа — закону всемирного тяготения.

Но поскольку решить уравнения гравитации Ньютон затруднялся, он приступил к 30-летнему процессу создания с нуля математических методов, достаточно эффективных для решения этих уравнений. По ходу дела он обнаружил множество самосогласованных структур, получивших общее название «исчисления» (calculus). В этом случае физический принцип появился первым (закон гравитации), а затем были разработаны разнообразные самосогласованные структуры, необходимые для решения (такие как аналитическая геометрия, дифференциальные уравнения, производные и интегралы). Физический принцип объединил эти разнообразные самосогласованные структуры в связный математический корпус (calculus).

Те же соображения о взаимосвязи применимы к теории относительности Эйнштейна. Он начал с физических принципов (таких как постоянство скорости света и принцип эквивалентности для гравитации), а затем нашел в математической литературе самосогласованные структуры (группы Ли, риманов тензор, дифференциальную геометрию), благодаря которым вывел решение для этих принципов. Между делом Эйнштейн выяснил, как объединить отдельные направления математики в связную картину.

В теории струн прослеживается та же закономерность, но совершенно иным образом. Ввиду своей математической сложности теория струн связала заметно различающиеся ветви математики (поверхности Римана, алгебру Каца-Муди, супералгебры Ли, конечные группы, модулярные функции и алгебраическую топологию), удивив математиков. Как и в случае других физических теорий, она автоматически выявляет взаимосвязь между разными самосогласованными структурами. Но физический принцип, лежащий в основе теории струн, неизвестен. Физики надеются, что, как только этот принцип будет открыт, появятся и новые направления математики. Другими словами, причина, по которой теория струн до сих пор не имеет решения, заключается в том, что математику XXI в. еще не открыли.

Один из выводов, вытекающих из этой формулировки, состоит в том, что физический принцип, объединяющий много малых физических теорий, должен автоматически объединять многие, на первый взгляд не связанные между собой направления математики. Именно эту задачу и выполняет теория струн. В сущности, из всех физических концепций теория струн объединяет наибольшее количество направлений математики в общую картину. Вероятно, одним из побочных продуктов стремления физиков к объединению станет объединение еще и математики.

Разумеется, набор логически согласованных математических структур во много раз больше набора физических принципов. Следовательно, некоторые математические структуры, такие как теория чисел (которую некоторые математики называют самым чистым направлением своей науки), так и не вошли ни в какую физическую теорию. Кое-кто утверждает, что положение таким и останется: скорее всего, человеческий разум навсегда сохранит способность изобретать логически согласующиеся структуры, которые нельзя выразить посредством физического принципа. Но, судя по некоторым признакам, теория струн вскоре может включить теорию чисел в свою структуру.

Наука и религия

Так как теория гиперпространства выявила новую, глубинную связь между физикой и абстрактной математикой, нашлись те, кто обвинил ученых в создании новой теологии на основе математики, т. е. в том, что мы отвергли религиозную мифологию, только чтобы принять еще более странную религию на основе искривленного пространства-времени, симметрии частиц и расширения космоса. Если священники читают молитвы на никому не понятной латыни, то физики бормочут заумные уравнения суперструн, которых почти никто не понимает. Вера во всемогущего Бога сменилась верой в квантовую теорию и общую теорию относительности. Когда ученые возражают, что их математические «песнопения» можно проверить в лаборатории, то слышат в ответ, что измерить в лаборатории сотворение нельзя, следовательно, такие абстракции, как теория суперструн, никогда не удастся проверить.

Эти споры — далеко не новое явление. Ученых испокон веков приглашали на дискуссии с богословами о законах природы. К примеру, в XIX в. выдающийся британский биолог Томас Гексли одним из первых начал защищать от нападок церкви дарвиновскую теорию естественного отбора. Специалисты по квантовой физике, участвовавшие в одной радиопередаче вместе с представителями католической церкви, спорили о том, действительно ли принцип неопределенности Гейзенберга отвергает свободу воли — от этого вопроса зависит, попадают ли наши души в ад или в рай.

Но, как правило, ученые нехотя вступают в богословские диспуты о Боге и сотворении. Как я понимаю, проблема в том, что в слово «Бог» люди вкладывают различный смысл, а использование слов, исполненных невысказанного, скрытого символизма, только затуманивает проблему. Оказалось, что, для того чтобы хоть как-нибудь прояснить ее, полезно четко разграничивать два типа значений слова «Бог». Иногда полезно различать Бога чудес и Бога порядка.

Когда словом «Бог» пользуются ученые, обычно они подразумевают Бога порядка. К примеру, одним из самых важных откровений в раннем детстве Эйнштейна стал момент, когда он прочитал свои первые книги о науке. Он сразу понял: почти все, чему его учили о религии, не может быть правдой. Но на протяжении всей своей карьеры он упрямо продолжал верить, что во Вселенной существует таинственный божественный порядок. Его призвание, как говорил Эйнштейн, — разузнать помыслы Бога, понять, был ли у него выбор при сотворении Вселенной. В своих записях Эйнштейн неоднократно обращался к этому Богу, ласково называя его Стариком. Наткнувшись на неподатливую математическую задачу, Эйнштейн повторял: «Бог искушен, но не злонамерен». Можно с уверенностью утверждать, что большинство ученых верит в существование некой формы космического порядка во Вселенной. Но для человека, не принадлежащего к кругу ученых, слово «Бог» почти наверняка означает Бога чудес, в этом и заключается причина непонимания между учеными и обывателями. Бог чудес вмешивается в наши дела, творит чудеса, разрушает города грешников, громит армии врагов, топит войска фараона, мстит чистым и достославным.

Если ученые и обыватели не в состоянии прийти к взаимопониманию по религиозным вопросам, то потому, что до них не доходит смысл слов друг друга, ведь они имеют в виду совершенно разных богов. Все дело в том, что наука опирается на фундамент наблюдений за повторяющимися событиями, а чудеса, по определению, не повторяются. Они случаются только раз, если случаются вообще. Следовательно, Бог чудес в некотором смысле находится за пределами известной нам науки. Это не значит, что чудес не бывает, просто они не входят в область, которую принято называть наукой.

Биолог Эдвард Уилсон из Гарвардского университета задумался над этой проблемой и задался вопросом: есть ли какие-нибудь научные причины, по которым люди так упорно цепляются за религию? Он обнаружил, что даже квалифицированные ученые, обычно демонстрирующие безупречный рационализм в своих научных гипотезах, приводят иррациональные доводы, защищая свою религию. Более того, Уилсон замечает, что под прикрытием религии с давних пор велись войны, совершались зверства, жертвами которых становились неверные и язычники. Своей ожесточенностью религиозные или священные войны соперничают с худшими преступлениями, которые люди совершали против себе подобных.

Религия, отмечает Уилсон, присутствует во всех изученных культурах человека, обнаруженных на Земле. Антропологи выяснили, что у всех первобытных племен есть миф об истоках, объясняющий, откуда взялись люди. Более того, мифология проводит четкую границу, отделяющую «нас» от «них», обеспечивает связующую (и зачастую иррациональную) силу, сохраняющую племя, подавляет критику в адрес вождя, которая сеет рознь.

В обществе людей это не отклонение, а норма. Религия, Рассуждает Уилсон, настолько распространена по той причине, что она давала явное эволюционное преимущество тем людям, которые приняли ее в древности. Уилсон добавляет, что животные, которые охотятся стаями, подчиняются вожаку ввиду установленной иерархии, основа которой — сила и доминирование. Но приблизительно миллион лет назад, когда наши обезьяноподобные предки постепенно становились все более разумными, среди них могли найтись желающие оспорить власть вожака. Интеллекту свойственно ставить авторитеты под сомнение, следовательно, он может стать опасной разобщающей силой в племени. В случае отсутствия силы, способной противостоять этому распространяющемуся хаосу, разумные представители племени покинули бы его, племя распалось бы и все его представители в конце концов погибли. По мнению Уилсона, давление отбора, действующее на разумных приматов, побуждало их не прислушиваться к голосу разума, а слепо повиноваться вожаку и его мифам, так как иное поведение бросало вызов сплоченности племени. Благоприятным для выживания оказывалось умение рационально мыслить, когда дело касалось орудий труда и сбора пищи, а также умение отмахиваться от мыслей, когда они угрожали целостности племени. Для того чтобы племя определилось и сохранилось, требовалась мифология.

По мнению Уилсона, религия представляла собой чрезвычайно мощную спасительную силу для приматов, интеллект которых постепенно развивался, и служила «связующим веществом», которое не давало племени распасться. Если он прав, тогда эта теория объясняет, почему столько религий ставят «веру» выше здравого смысла, а пастве советуют не рассуждать, а верить. Это помогает объяснить и нечеловеческую жестокость людей в религиозных войнах, и почему Бог чудес в кровопролитных войнах неизменно встает на сторону победителя. У Бога чудес есть одно огромное преимущество перед Богом порядка. Бог чудес объясняет мифологию нашим предназначением во Вселенной; Бог порядка не дает ответа на этот вопрос.

Наша роль в природе

Бог порядка не может дать человечеству общую судьбу или предназначение, однако лично меня в этой дискуссии особенно поражает то, что мы, люди, едва начавшие свое восхождение к технологическим высотам, способны делать смелые заявления, касающиеся происхождения и судьбы Вселенной.

С точки зрения технологии мы только начинаем преодолевать поле притяжения Земли, только начали отправлять первые примитивные зонды к далеким планетам. Но будучи узниками нашей маленькой планеты, имея в распоряжении только свой разум и немногочисленные инструменты и приборы, мы сумели расшифровать законы, которые управляют материей на расстоянии миллиардов световых лет. Располагая бесконечно малыми ресурсами, не имея возможности даже покинуть Солнечную систему, мы смогли определить, что происходит глубоко в пылающих ядерных топках звезд и внутри самого ядра.

С точки зрения эволюции мы — разумные приматы, которые лишь недавно спустились с деревьев, мы живем на третьей планете от мизерной звезды, в малом спиральном рукаве незначительной галактики, в небольшой группе галактик вблизи сверхскопления Девы. Если теория расширения верна, тогда вся наша видимая Вселенная — не что иное, как бесконечно маленький пузырек в необъятном космосе. Поскольку во Вселенной мы не играем почти никакой роли, удивительно, что мы способны утверждать, будто бы открыли теорию всего.

Нобелевского лауреата Исидора Раби однажды спросили, какое событие в его жизни предопределило его путь к открытию тайн природы. Он ответил, что это событие произошло, когда он листал взятые им в библиотеке книги о планетах. Его поразила способность человеческого разума познавать истины космических масштабов. Планеты и звезды гораздо больше Земли, находятся гораздо дальше, чем любые места, где побывал человек, а разум в состоянии постичь их.

Физик Хайнц Пейджелс вспоминает, что поворотным моментом для него стало в детстве посещение планетария Хайден в Нью-Йорке:

Драматизм и мощь динамической Вселенной ошеломили меня. Я узнал, что количество звезд в единственной галактике превышает численность всего человечества, которое когда-либо существовало на Земле… Масштабы и продолжительность жизни Вселенной вызвали нечто вроде «экзистенциального шока», пошатнули основы моего бытия. Все мои прежние впечатления и знания выглядели ничтожными по сравнению с этим безбрежным океаном существования^[170].

Я считаю, что не потрясение от величия Вселенной может быть самым глубоким переживанием для ученого, а близкое к религиозному озарению осознание того, что мы — дети звезд и наш разум способен постичь вселенские законы, которым они повинуются. Атомы нашего организма были выкованы на наковальне нуклеосинтеза внутри взорвавшейся звезды за бесконечно долгое время до рождения Солнечной системы. Наши атомы старше, чем горы. Мы в буквальном смысле слова сотворены из звездной пыли. И эти атомы, слившись, превратились в разумные существа, способные понимать законы, управляющие Вселенной.

Меня завораживает то, что законы физики, открытые нами на крошечной, незначительной планете, точно такие же, как законы повсюду во Вселенной, а мы открыли их, не покидая Землю. Не имея в своем распоряжении ни могучих космических кораблей, ни пространственных «окон», мы определили химический состав звезд и расшифровали ядерные процессы, проходящие глубоко внутри этих звезд.

И наконец, если десятимерная теория суперструн верна, тогда цивилизация, развивающаяся на самой далекой звезде, откроет для себя те же самые истины о нашей Вселенной. И тоже будет удивляться взаимосвязи «дерева» и «мрамора», и придет к выводу, что традиционный трехмерный мир «слишком тесен», чтобы вместить все известные взаимодействия мира.

Наша любознательность — неотъемлемая часть естественного порядка. Вероятно, нам, людям, хочется постигать Вселенную так же, как птице хочется петь. Великий астроном XVII в. Иоганн Кеплер однажды сказал: «Мы не спрашиваем, какую пользу приносит пение птиц, так как они поют ради удовольствия, потому что созданы для пения. Точно так же нам не следует спрашивать, почему человеческий разум утруждает себя, вникая в тайны небес». Как сказал биолог Томас Гексли в 1864 г., «вопрос всех вопросов для человечества, проблема, лежащая в основании всех прочих и более интересная, чем какой-либо другой из них, — определение места человека в Природе и его взаимосвязь с Космосом».

Космолог Стивен Хокинг, рассуждая о решении задачи объединения в нынешнем веке, красноречиво высказался о необходимости объяснить максимально широкой аудитории сущность общей физической картины, на которую опирается физика:

Если мы действительно откроем полную теорию, то со временем ее основные принципы станут доступны пониманию каждого, а не только некоторых специалистов. И тогда все мы, философы, ученые и просто обычные люди, сможем принять участие в дискуссии о том, почему так произошло, что существуем мы и существует Вселенная. Если найдется ответ на такой вопрос, он будет полным триумфом человеческого разума, ибо тогда нам станет понятен замысел Бога^[171][172].

В космических масштабах мы еще только начинаем осознавать большой мир, который нас окружает. Однако сила нашего ограниченного интеллекта такова, что даже самые сокровенные тайны природы доступны нашим теоретическим рассуждениям.

Придает ли это смысл жизни, служит ли ее целью?

Кто-то видит смысл жизни в личных достижениях, взаимоотношениях и впечатлениях. А мне жизнь кажется осмысленной уже потому, что мы одарены интеллектом, позволяющим интуитивно постигать величайшие тайны природы.

Библиография и рекомендуемая литература

Abbot, Е. A. Flatland: A Romance of Many Dimensions. New York: New American Library, 1984.

Barrow, J. D., and F. J. Tipler. The Anthropic Cosmological Principle. Oxford: Oxford University Press, 1986.

Bell, E. T. Men of Mathematics. New York: Simon and Schuster, 1937.

Calder, N. The Key to the Universe. New York: Penguin, 1977.

Chester, M. Particles. New York: Macmillan, 1978.

Crease, R., and C. Mann. The Second Creation. New York: Macmillan, 1986.

Davies, P. The Forces of Nature. Cambridge: Cambridge University Press, 1979.

Davies, P. Superforce: The Search for a Grand Unified Theory of Nature. New York: Simon and Schuster, 1984.

Davies, P., and J. Brown, eds. Superstrings: A Theory of Everything? Cambridge: Cambridge University Press, 1988.

Dyson, F. Disturbing the Universe. New York: Harper & Row, 1979.

Dyson, F. Infinite in All Directions. New York: Harper & Row, 1988.

Feinberg, G. Solid Clues. New York: Simon and Schuster, 1985.

Feinberg, G. What Is the World Made Of? New York: Doubleday, 1977.

French, A. P. Einstein: A Centenary Volume. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1979.

Gamow, G. The Birth and Death of Our Sun. New York: Viking, 1952.

Glashow, S. L. Interactions. New York: Warner, 1988.

Gribben, J. In Search of Schrodinger’s Cat. New York: Bantam, 1984.

Hawking, S. W. A Brief History of Time. New York: Bantam, 1988.

Heisenberg, W. Physics and Beyond. New York: Harper Torchbooks, 1971.

Henderson, L. D. The Fourth Dimension and Non-Euclidean Geometry in Modern Art. Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1983.

Kaku, M. Introduction to Superstrings. New York: Springer-Verlag, 1988.

Kaku, М., and J. Trainer. Beyond Einstein: The Cosmic Quest for the Theory of the Universe. New York: Bantam, 1987.

Kaufmann, W. J. Black Holes and Warped Space-Time. San Francisco: Freeman, 1979.

Lenin, V. Materialism and Empiro-Criticism. In K. Marx, j F. Engels, and V. Lenin, On Dialectical Materialism. Moscow: Progress, 1977.

Pagels, H. The Cosmic Code. New York: Bantam, 1982.

Pagels, H. Perfect Symmetry: The Search for the Beginning of Time. New York: Bantam, 1985.

Pais, A. Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford: Oxford University Press, 1982.

Penrose, R. The Emperor’s New Mind. Oxford: Oxford University Press, 1989.

Polkinghorne, J. C. The Quantum World. Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1984.

Rucker, R. Geometry, Relativity and the Fourth Dimension. New York: Dover, 1977.

Rucker, R. The Fourth Dimension. Boston: Houghton Mifflin, 1984.

Sagan, C. Cosmos. New York: Random House, 1980.

Silk, J. The Big Bang: The Creation and Evolution of the Universe. 2nd ed. San Francisco: Freeman, 1988.

Trefil, J. S. From Atoms to Quarks. New York: Scribner, 1980. Trefil, J. S. The Moment of Creation. New York: Macmillan, 1983. Weinberg, S. The First Three Minutes: A Modern View of the Origin of the Universe. New York: Basic Books, 1988.

Wilczek, F., and B. Devine. Longing for the Harmonies. New York: Norton, 1988.

Zee, A. Fearful Symmetry. New York: Macmillan, 1986.

www.e-puzzle.ru

www.e-puzzle.ru

^[1] Это настолько новый предмет (Ha момент первого издания книги — 1994 г. — Прим. пер.), что для него еще не существует общепринятого термина, которым пользовались бы физики-теоретики, ссылаясь на теории высших измерений. Строго говоря, когда физики ведут речь об этой теории, они ссылаются на конкретную теорию — Калуцы-Клейна, супергравитации, суперструн, хотя термин «гиперпространство» обычно применяется, когда имеются в виду высшие измерения, а «гипер» — корректная научная приставка для геометрических объектов, относящихся к миру высших измерений. В соответствии с распространенной практикой я пользуюсь термином «гиперпространство», говоря о высших измерениях. (Здесь и далее в сносках курсивом даны примечания, идущие в конце бумажной книги. — Прим. верст.)

^[2] Как ни странно, даже у современных физиков по-прежнему нет однозначного решения этой задачи, однако за несколько десятилетий мы просто свыклись с мыслью, что свет может перемещаться в вакууме, хотя в нем и нечему совершать волнообразные колебания. — Прим. авт.

^[3] Хайнц Пейджелс «Идеальная симметрия: Поиски начала времен» (Heinz Pagels, Perfect Symmetry: The Search for the Beginning of Time, New York: Bantam, 1985), c. 324.

^[4] Питер Фройнд, в интервью с автором, 1990 г.

^[5] Безусловно, теория высших измерений не относится к сугубо отвлеченным, так как простейшее следствие теории Эйнштейна — атомная бомба, изменившая судьбы человечества. В некотором смысле введение высших измерений стало одним из кардинальных научных открытий в нашей истории. — Прим. авт.

^[6] Процитировано в: Абрахам Пайс. Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна (Abraham Pais, Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein, Oxford: Oxford University Press, 1982), c. 235.

^[7] Фройнд усмехается при вопросе о том, когда мы наконец увидим эти Дополнительные измерения. Мы не можем видеть высшие измерения потому, что они «скручены» в настолько крошечный шарик, что в таком виде их уже не различить. Согласно теории Калуцы-Клейна размер этих скрученных измерений называется планковской длиной , она в 100 миллиардов миллиардов (квинтиллион) раз меньше размера протона, т. е. слишком мала для изучения с помощью даже самых больших ускорителей частиц, какими мы располагаем. Специалисты в области физики высоких энергий надеялись, что Сверхпроводящий суперколлайдер стоимостью $11 млрд (CCK, строительство которого было отменено конгрессом в октябре 1993 г.) косвенным образом поможет им увидеть слабые проблески гиперпространства. — Прим. авт.

Это невероятно малое расстояние еще не раз появится здесь, в книге. Оно представляет собой основной масштаб расстояний, характеризующий любую квантовую теорию гравитации. Причина этого явления довольно проста. В любой теории гравитации сила гравитационного взаимодействия измеряется с помощью гравитационной постоянной (постоянной Ньютона). Но физики пользуются упрощенной системой единиц, в которой скорость света с принята равной единице. Это означает, что 1 секунда эквивалентна 186 000 миль (297 600 км). Кроме того, постоянная Планка, деленная на 2π, также принята равной единице; таким образом, задаются численные соотношения между секундами и эргами энергии. В этих странных, но удобных единицах все вплоть до постоянной Ньютона можно свести к сантиметрам. Если же вычислить длину, ассоциирующуюся с постоянной Ньютона, мы получим планковскую длину, или 10-33 см, или 1019 млрд эВ. Таким образом, все квантовые гравитационные эффекты определяются в сравнении с этим малым расстоянием. В частности, размер незримых высших измерений — планковская длина.

^[8] Линда Далримпл Хендерсон «Четвертое измерение и неевклидова геометрия в современном искусстве» (Linda Dalrymple Henderson, The Fourth Dimension and Non-Euclidean Geometry in Modern Art, Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1983), c. xix.

^[9] Э. Т. Белл «Математики» (E. T. Bell, Men of Mathematics, New York: Simon and Schuster, 1937), c. 484.

^[10] Э. Т. Белл «Математики» (E. T. Bell, Men of Mathematics, New York: Simon and Schuster, 1937), c. 487. Скорее всего, именно этот случай пробудил ранний интерес Римана к теории чисел. Много лет спустя он высказал знаменитое предположение касательно содержащей дзета-функцию формулы в теории чисел. За сто лет безуспешных сражений с «римановой гипотезой» величайшие математики мира так и не сумели доказать ее. Даже самые современные компьютеры не справились с этой задачей, и гипотеза Римана вошла в историю как одна из самых известных недоказанных теорем в теории чисел — вероятно, самая знаменитая в математике. Белл отмечает: «Тот, кто докажет или опровергнет ее, несомненно, прославится» (там же, с. 488).

^[11] Джон Валлис (Уоллис), Der Barycentrische Calcul, Leipzig, 1827, p. 184.

^[12] Хотя Риману обычно приписывают роль движущей творческой силы, в конце концов сокрушившей рамки евклидовой геометрии, по праву человеком, который открыл геометрию высших измерений, должен был стать престарелый наставник Римана, сам Гаусс.

В 1817 г., почти за десять лет до рождения Римана, Гаусс выразил свое глубокое недовольство евклидовой геометрией. В пророческом письме к другу, астроному Генриху Ольберсу, он недвусмысленно заявил, что евклидова геометрия математически несовершенна.

В 1869 г. математик Джеймс Дж. Сильвестр писал, что Гаусс всерьез обдумывал возможность существования многомерных пространств. Гаусс представлял себе свойства существ, названных им «книжными червями», способных жить на двумерных листах бумаги. Затем он распространил свои выводы на «существ, способных представить себе пространство с четырьмя и более измерениями» (процитировано в: Линда Далримпл Хендерсон «Четыре измерения и неевклидова геометрия в современном искусстве» (Linda Dalrymple Henderson, The Fourth Dimension and Non-Euclidean Geometry in Modern Art, Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1983), c. 19).

Но если Гаусс сформулировал теорию многомерности, на 40 лет опередив всех, тогда почему же он упустил поистине историческую возможность избавиться от уз трехмерной евклидовой геометрии? Историки отмечают присущую Гауссу консервативность в работе, общественной и личной жизни. Он никогда не покидал пределов Германии и почти всю жизнь провел в одном городе. Это обстоятельство отразилось на его профессиональной деятельности.

В примечательном письме, написанном в 1829 г., Гаусс признавался своему другу Фридриху Бесселю, что никогда не опубликует свою работу, посвященную неевклидовой геометрии, из опасения, что она вызовет споры в кругах «беотийцев». Математик Морис Клайн писал: «Он [Гаусс] заявлял в письме к Бесселю от 27 января 1829 г., что, вероятно, никогда не опубликует результаты своих исследований этого предмета, поскольку опасается насмешек или, как выразился сам Гаусс, боится навлечь недовольство „беотийцев“, образно названных в память о недалеком греческом народе» («Математика и физический мир» (Mathematics and the Physical World, New York: Crowell, 1959, p. 449)). Гаусс так робел перед старой гвардией, узколобыми «беотийцами», свято верившими в три измерения, что предпочел сохранить в тайне лучший из своих трудов.

В 1869 г. Сильвестр в интервью с биографом Гаусса Сарториусом фон Вальтерсхаузеном писал: «Этот великий человек говорил, что отложил в сторону несколько вопросов, которые анализировал, и надеялся применить к ним геометрические методы, когда его представления о пространстве станут полнее; ибо если мы можем вообразить себе существа (подобные бесконечно плоским „книжным червям“ на бесконечно тонком листе бумаги), которым известно лишь двумерное пространство, нам под силу представить себе и существа, способные оперировать четырьмя и более измерениями» (процитировано в: Хендерсон «Четыре измерения и неевклидова геометрия в современном искусстве», с. 19).

Гаусс писал Ольберсу: «Я все больше убеждаюсь, что (физическую) неизбежность нашей (евклидовой) геометрии невозможно доказать, по крайней мере средствами человеческого разума и доступно для понимания человеческим разумом. Возможно, в другой жизни мы сумеем получить представление о природе пространства, которое сейчас остается для нас недосягаемым. А до тех пор нам следует ставить геометрию в один ряд не с арифметикой, как это делается априори, а с механикой» (процитировано в: Морис Клайн «Математическая мысль от древности до наших дней» (Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York: Oxford University Press, 1972), c. 872).

Гаусс относился к евклидовой геометрии с таким подозрением, что даже провел оригинальный эксперимент, чтобы проверить ее. Вместе с помощниками он поднялся на три горных вершины — Брокен, Хохехаген и Инзельсберг. С каждой из них были отчетливо видны две другие вершины. Построив между вершинами треугольник, Гаусс смог экспериментальным путем измерить его внутренние углы. Если евклидова геометрия верна, тогда сумма этих углов должна составлять 180°. К своему разочарованию, Гаусс обнаружил, что сумма углов действительно равна 180° (плюс-минус 15 минут). Примитивность измерительного оборудования не дала ему убедительно доказать, что Евклид заблуждался. (Сегодня нам известно, что этот эксперимент следовало проводить между тремя разными звездными системами, чтобы выявить значимые отклонения от евклидова результата.)

Следует также указать, что математики Николай Иванович Лобачевский и Янош Бойяи независимо друг от друга открыли неевклидову математику для изогнутых поверхностей. Но их построения ограничивались обычными низшими измерениями.

^[13] Процитировано в: Белл «Математики», с. 497.

^[14] Британский математик Уильям Клиффорд, который переводил знаменитую речь Римана для журнала Nature в 1873 г., разъяснил многие основополагающие труды Римана и был, вероятно, первым, кто развил его мысль о том, что искривление пространства вызывает возникновение электромагнитного взаимодействия, придав тем самым идеям Римана более четкую форму. Клиффорд высказал предположение, что эти два таинственных открытия в математике (многомерные пространства) и физике (электричество и магнетизм) — в сущности, одно и то же и что электромагнитное взаимодействие вызвано искривлением многомерного пространства.

Так впервые за 50 лет до Эйнштейна была высказана догадка о том, что сила — не что иное, как искривление самого пространства. Предположение Клиффорда о том, что электромагнетизм вызывают колебания в четвертом измерении, предшествовало работе Теодора Калуцы, который также пытался объяснить электромагнетизм высшими измерениями. Таким образом, Клиффорд и Риман предвосхитили открытия ученых XX в., догадавшись, что многомерное пространство способно дать простое и элегантное описание взаимодействий. Впервые было верно оценено истинное физическое значение высших измерений — как теории пространства, дающей нам объединяющую картину взаимодействий.

Эти пророческие взгляды были изложены математиком Джеймсом Сильвестром, который в 1869 г. писал: «Мистер Клиффорд позволил себе высказать примечательные предположения касательно способности человека на основании некоторых необъясненных явлений света и магнетизма сделать вывод о том, что наше трехмерное пространство подвергается воздействию пространства четырех измерений… аналогично бумаге, которую комкают» (процитировано в: Хендерсон «Четвертое измерение и неевклидова геометрии в современном искусстве», с. 19).

В 1870 г. в статье с интригующим названием «О пространственной теории вещества» Клиффорд напрямую пишет, что «эта разновидность искривления пространства — то, что в действительности происходит при явлении, которое мы называем движением материи, будь она осязаемой или неосязаемой». (Клиффорд Уильям «О пространственной теории вещества» (William Clifford, On the Space-Theory of Matter, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 2, 1876: 157–158).

^[15] А точнее, в условиях N измерений риманов метрический тензор gμν представляет собой матрицу NxN, определяющую расстояние между двумя точками, так что бесконечно малое расстояние между двумя точками дается выражением ds2 = Σdxμgμνdxν. В ограниченном плоском пространстве риманов метрический тензор становится диагональным, т. e. gμν = δμν, в итоге все формулы сводятся к теореме Пифагора для N измерений. Отклонение метрического тензора от δμν, грубо говоря, показывает, насколько пространство отличается от плоского. На основании метрического тензора можно построить риманов тензор кривизны, представленный Rβμνα .

Искривление пространства в любой данной точке можно измерить, нарисовав в этой точке окружность и измерив ее площадь. В плоском двумерном пространстве площадь круга равна πr2. Но в условиях положительной кривизны, например, на сферической поверхности, эта площадь меньше πr2. А если кривизна отрицательная и поверхность седлообразная или воронкообразная, площадь круга больше πr2.

Строго говоря, принято считать, что кривизна скомканного листа бумаги равна нулю. Дело в том, что площади кругов, нарисованных на этой скомканной бумаге, по-прежнему равны πr2. В римановом примере взаимодействия, созданного смятым листом бумаги, мы косвенным образом подразумеваем, что бумага деформирована, растянута и сложена, поэтому кривизна отлична от нуля.

^[16] Процитировано в: Белл «Математики», с. 501.

^[17] Процитировано в: Белл «Математики», с. 14.

^[18] Процитировано в: Белл «Математики».

^[19] В 1917 г. друг Эйнштейна физик Пауль Эренфест, опубликовал статью под заголовком «Каким образом в фундаментальных законах физики проявляется трехмерность пространства?». Эренфест задался вопросом, возможны ли звезды и планеты в высших измерениях. Например, свет свечи тускнеет по мере нашего удаления от нее. Так и гравитационное притяжение звезды по мере удаления от нее слабеет. Согласно Ньютону сила гравитации уменьшается по закону обратных квадратов. Если наше расстояние от свечи или звезды увеличивается в два раза, свет или гравитационное притяжение становится в четыре раза слабее. Если расстояние увеличивается втрое, они слабее в девять раз.

Если пространство четырехмерное, тогда свет свечи и гравитация должны ослабевать гораздо быстрее по обратному кубическому закону. Удвоение расстояния от свечи или звезды ослабит свет или гравитацию в восемь раз.

Может ли Солнечная система существовать в таком четырехмерном мире? В принципе, может, но орбиты планет вряд ли будут стабильными. Малейшей вибрации хватит, чтобы изменить их. Со временем все планеты отклонятся от своих орбит и врежутся в Солнце.

Но и Солнце не сможет существовать в мире высших измерений. Сила гравитации стремится сжать Солнце, ее уравновешивает сила термоядерных реакций, которая стремится разорвать его. Таким образом, Солнце — результат точного равновесия сил ядерного взаимодействия, способных взорвать его, и сил гравитационного взаимодействия, способных сжать его в точку. В многомерной Вселенной это шаткое равновесие неизбежно нарушится, что приведет к спонтанному схлопыванию звезд.

^[20] Хендерсон «Четыре измерения и неевклидова геометрия в современном искусстве», с. 22.