Тема 13. механические колебания и волны

13.1 Механические колебания

Уравнение гармонических колебаний: x = Acos (ω0t + φ); x = A sin (ω0t + φ), где x –смещение колеблющейся величины от положения равновесия; А – амплитуда колебаний; ω=2πν =2π/T - угловая (циклическая) частота; ν - частота колебаний; T - период; φ - начальная фаза. Скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания; vx= t = -Aω0sin (w0t + φ) = - Aω0cos (ωot + φ + π/2); ax= = - Aω2cos (ω0t + φ) = -ω02x

Динамическое уравнение гармонических колебаний: - kx или , где ω02 = k/m

Кинетическая энергия колеблющегося тела массой m: Wk =mv2/2 = mA2ω02sin2(ω0t + φ)/2. Потенциальная энергия: Wn= mA2ω02cos2(ω0t + φ)/2. Полная энергия: W = Wk + Wn = mA2ω02/2 = const

Периоды колебания маятников: пружинного: математического: , физического: , где J- момент инерции маятника относительно оси колебаний; l - расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; L =J/ml - приведенная длина физического маятника; g - ускорение свободного падения

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы и его решение: ; x = Ae-β tcos (ωt + φ), где x – колеблющаяся величина, описывающая физический процесс; β= r/2m - коэффициент затухания; r –коэффициент сопротивления среды; m - масса; ω 0 –свободная циклическая частота незатухающих колебаний той же системы; ω= (ω02- β2)1/2- частота затухающих колебаний; Ae-β t - амплитуда затухающих колебаний.

Декремент затухания: A(t)/A(t +T) = eβt, где A(t), A(t+T) - амплитуды двух последовательных колебаний соответствующих моментам времени, отличающимся на период. Логарифмический декремент затухания: θ=ln A(t)/ A(t+T) = β T = T/τ = 1/N, где τ – время релаксации N - число колебаний, совершаемых за время уменьшения колебаний в е раз. Добротность колебательной системы: Ω = π / θ = ω0/2β

Дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний и его решение для установившихся колебаний: x= Acos (Ωt - φ), где x – координата колеблющейся точки; F=F0cos Ωt – внешняя сила, вызывающая вынужденные колебания; Амплитуда: A = F0/ m [(ω02 - Ω2) + 4 β Ω2]1/2; Фаза: φ=arctg 2βπ/(v02-Ω2) Резонансная частота и резонансная амплитуда: ;

13.2. Упругие волны

Связь длины волны λ, периода колебаний T и частоты ν: λ = vT = v/ ν; v = λν , где v –фазовая скорость (скорость распространения колебаний в среде)

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х: x(t) = Acos (ωt – kx + φ0) где х(t) – координата точки в момент времени; A –амплитуда волны; ω - циклическая (круговая) частота; k = 2π/λ =2π/vT = ω/v – волновое число; λ – длина волны; v-фазовая скорость; T – период колебаний; φ0 – начальная фаза колебаний

Связь между разностью фаз Δφ и разностью хода d: Δφ= π d/ λ

Условия максимумов и минимумов амплитуды при интерференции: Δ φmax= ± 2πm; Δφmin= ± (2m+1)πm Δ dvax = ±m λ; Δ dmin= ± (2m+1) λ /2, где m = 0, 1, 2.

Фазовая v и групповая скорость u: v= ω/k; u =dω/dk; u = v - λ dv/dλ

Уравнение стоячей волны: x(t) = 2A(cos 2π x / λ)cosωt = 2Acoskx cos ωt. Координаты nучностей и узлов: xn = + m λ /2; xy = + (m +1/2)λ /2, m=0, 1, 2.

Пример 17.Сплошной однородный диск колеблется около оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через край диска (рис.). Найти радиус диска, если приведенная длина этого физического маятника равна L = 0,15 м.

Условие:

L = 0,15 м;

R - ?

Решение. Период колебания физического маятника может быть рассчитан двояко: Т_ф = 2π(L/g)^1/2, или Т_ф = 2π(J/mgd)^1/2,

где J - момент инерции диска относительно оси вращения, проходящей через точку О; d – расстояние от оси вращения до центра тяжести, в данном случае d = R.

2π(L/g)^1/2 = 2π(J/mgd)^1/2 (1)

Из уравнения (1) находим: L = J/md.

По теореме Штейнера: J = J₀ + md²,

где J₀ –момент инерции относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр тяжести. Для диска J₀ = mR²/2.

Итак, L = (J₀ + md²)/md = 3R/2.

Откуда: R = 2L/3 = 0,10 м.

Пример 18.Определить возвращающую силу F в момент времени t = 0,2 c и полную энергию W точки массой m = 20 г, совершающей гармонические колебания согласно уравнению х = Asin ωt, где А =15 см; ω = 4 с^-1. Найти также время t, когда х = А/2.

Решение. Силу по второму закону Ньютона определим как

F = ma, где ускорение а = d²x/dt² = - Aω²sin ωt.

Тогда F = - mAω²sin ωt = -0,02 H.

Полная энергия колеблющейся точки равна W = mω²A²/2 = =3,55·10^-2 Дж.

Время, через которое смещение х =А/2, найдем из того, что

А/2 = Аsin ωt, sin ωt = 1/2, ωt = π/6.

Откуда t = π/6ω = 4,17·10^-2 c.