Механические колебания и волны

Вариант 1 Вариант 2
1. Что называется фазой гармонического колебания?   1. Что называется длиной волны, волновым числом?
2. Какова разность фаз двух маятников (второго относительно первого) (см. рисунок)? 2. Какова разность фаз двух маятников (второго относительно первого) (см. рисунок)?
 
 
  Механические колебания и волны - student2.ru

Механические колебания и волны - student2.ru

1 2

Крайнее

положние

   
       
    Механические колебания и волны - student2.ru
  Механические колебания и волны - student2.ru
 

1 2

 
3. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях. Какая фигура Лиссажу y(x) получается, если Механические колебания и волны - student2.ru   3. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях. Какая фигура Лиссажу y(х) получается, если Механические колебания и волны - student2.ru  
4. Сложите графически два гармонических одинаково направленных колебания равных периодов, но смещенных по фазе относительно друг друга на p, амплитуды соотносятся как 3 : 1. Будет ли колебание гармоническим? Чему равна частота сложного колебания? 4. Сложите графически два гармонических одинаково направленных колебания, у которых частоты соотносятся как 1 : 3, а амплитуды как 2 : 1. Будет ли колебание гармоническим? Чему равна частота сложного колебания?
5. Дано направление смещения частиц. Куда движется волна (влево, вправо)?
 
  Механические колебания и волны - student2.ru

5. Дано направление смещения частиц. Куда движется волна (влево, вправо)  
6. Написать дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Каков смысл коэффициента затухания, добротности? 6. Написать волновое уравнение. Пояснить его смысл
7. Дано уравнение волны Y = A × sin2p(t/T-x/l), где A, T, l – положительные величины, которые описывают волну. Чему равна скорость волны? 7. Смещение частиц среды в плоской бегущей звуковой волне выражается соотношением x = xm × сos(wt – kx). Найти скорость смещения частиц в этой волне.
8. Что такое фазовая скорость, групповая скорость волн? 8. Как образуется стоячая волна? Описать её характерные особенности. Написать уравнение стоячей волны.
9. Что называется интерференцией волн? 9. Как образуются биения?
10. Период колебаний пружинного маятника равен Т. Массу маятника увеличили в 4 раза. Как изменится период колебаний? 10. Что называется механическим резонансом, резонансной частотой?
       

ЗАДАЧИ

1. МЕХАНИКА

Кинематика

Примеры решения задач

1. Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону Механические колебания и волны - student2.ru = t3 Механические колебания и волны - student2.ru +3t2 Механические колебания и волны - student2.ru (м), где, Механические колебания и волны - student2.ru Механические колебания и волны - student2.ru орты осей x и y. Определить для момента времени t = 1 c:

а) модуль скорости;

б) модуль ускорения.

Дано: Механические колебания и волны - student2.ru = t3 Механические колебания и волны - student2.ru +3t2 Механические колебания и волны - student2.ru t = 1 с. Решение Вектор скорости определяем как первую производную радиус-вектора по времени. Механические колебания и волны - student2.ru = Механические колебания и волны - student2.ru = 3 Механические колебания и волны - student2.ru Механические колебания и волны - student2.ru + 6t Механические колебания и волны - student2.ru .
υ = ? Механические колебания и волны - student2.ru = ?

В то же время вектор скорости, как и любой вектор можно представить через его компоненты Механические колебания и волны - student2.ru = υx Механические колебания и волны - student2.ru + υy Механические колебания и волны - student2.ru + υz Механические колебания и волны - student2.ru .

Сравнивая это выражение с предыдущим, получим: υx = 3 Механические колебания и волны - student2.ru ; υy = 6t; υz = 0.

Модуль скорости определяется через компоненты:

Механические колебания и волны - student2.ru м/с.

Ускорение частицы равно производной от вектора скорости Механические колебания и волны - student2.ru

Механические колебания и волны - student2.ru , где компоненты Wx = 6t, Wy = 6.

Модуль ускорения

Механические колебания и волны - student2.ru = 8,48 м/c2 ≈ 8,5 м/c2.

Ответ: 1) Механические колебания и волны - student2.ru = 6,7 м/c;

2) W = 8,5 м/c2.

2. Точка движется в плоскости xy из положения с координатами х1 = у1 = 0 со скоростью Механические колебания и волны - student2.ru = a Механические колебания и волны - student2.ru +bx Механические колебания и волны - student2.ru (a; b – постоянные, Механические колебания и волны - student2.ru ; Механические колебания и волны - student2.ru – орты осей и х и у)

Определите: 1) уравнение траектории точки у(х); 2) форму траектории.

Дано: х1 = у1 = 0 Механические колебания и волны - student2.ru = a Механические колебания и волны - student2.ru x+bx Механические колебания и волны - student2.ru y   Решение: Компоненты скорости υx = а, υу = bx . Так как υx = Механические колебания и волны - student2.ru , a υ Механические колебания и волны - student2.ru = Механические колебания и волны - student2.ru (х и у – компоненты радиус-вектора) Механические колебания и волны - student2.ru= а; Механические колебания и волны - student2.ru= bx.  
1) y(x) = ? 2) форма траектории?

Из последних выражений, исключая время, получаем Механические колебания и волны - student2.ru или Механические колебания и волны - student2.ru . Интегрируя, получим Механические колебания и волны - student2.ru . Траектория является параболой.

Ответ: 1) у = Механические колебания и волны - student2.ru ; 2) парабола.

3. Частица движется по окружности радиусом Механические колебания и волны - student2.ru м, и путь изменяется со временем по закону Механические колебания и волны - student2.ru , где Механические колебания и волны - student2.ru м/с³. Найти: а) момент времени Механические колебания и волны - student2.ru , при котором нормальное ускорение Механические колебания и волны - student2.ru будет равно тангенциальному Механические колебания и волны - student2.ru ; б) полное ускорение в этот момент времени.

Дано: Механические колебания и волны - student2.ru м Механические колебания и волны - student2.ru Механические колебания и волны - student2.ru м/с³ Механические колебания и волны - student2.ru Механические колебания и волны - student2.ru Решение   а) Выражения для нормального, тангенциального и полного ускорений имеют вид: Wn = Механические колебания и волны - student2.ru ; Wr = Механические колебания и волны - student2.ru ; Механические колебания и волны - student2.ru Из условия задачи получим уравнение относительно t0: Механические колебания и волны - student2.ru или Механические колебания и волны - student2.ru . Отсюда для t0 имеем: Механические колебания и волны - student2.ru с;
a) Механические колебания и волны - student2.ru б) Механические колебания и волны - student2.ru

б) для полного ускорения из условия задачи получим

Механические колебания и волны - student2.ru м/с2 Механические колебания и волны - student2.ru м/с2.

Ответ: t0 = 0,87 с, W = 15 м/с².

4. Тело брошено с вышки в горизонтальном направлении со скоростью Механические колебания и волны - student2.ru = 30 м/с. Найти значения следующих величин через две секунды τ = 2,0 с: а) скорости Механические колебания и волны - student2.ru , тангенциального ускорения Wτ, нормального ускорения Wn; б) радиуса кривизны траектории R.

Дано: Механические колебания и волны - student2.ru = 30 м/с τ = 2,0 с Решение Траектория движения тела показана на рисунке. Направление вектора Механические колебания и волны - student2.ru , составляющих скорости Механические колебания и волны - student2.ru , Механические колебания и волны - student2.ru , а также Механические колебания и волны - student2.ru , Механические колебания и волны - student2.ru , Механические колебания и волны - student2.ru через время τ также показано на рисунке.  
а) Механические колебания и волны - student2.ru , Wτ, Wn –? б) R –?
 

Механические колебания и волны - student2.ru

Механические колебания и волны - student2.ru

Механические колебания и волны - student2.ru

Механические колебания и волны - student2.ru Механические колебания и волны - student2.ru

Механические колебания и волны - student2.ru

Механические колебания и волны - student2.ru Механические колебания и волны - student2.ru Механические колебания и волны - student2.ru

Введем систему координат XOY, как показано на рисунке, чтобы учесть независимость движений тела по горизонтали и вертикали. Проекция вектора скорости на ось OX Механические колебания и волны - student2.ru остается всегда постоянной и равной Механические колебания и волны - student2.ru . Проекция вектора скорости на ось OY Механические колебания и волны - student2.ru растет со временем по закону Механические колебания и волны - student2.ru = gt, так как вдоль оси OY тело движется равноускоренно с ускорением свободного падения g. Поэтому для модуля скорости тела получим

Механические колебания и волны - student2.ru . (1)

Через две секунды значение модуля скорости будет равно:

Механические колебания и волны - student2.ru Механические колебания и волны - student2.ru м/с.

Из рисунка следует, что

Механические колебания и волны - student2.ru , следовательно, значение нормального ускорения

Механические колебания и волны - student2.ru

Аналогично

Механические колебания и волны - student2.ru отсюда тангенциальное ускорение

Механические колебания и волны - student2.ru

Радиус кривизны из выражения для нормального ускорения

Механические колебания и волны - student2.ru

Ответ: Механические колебания и волны - student2.ru = 35,8 м/с; Wτ = 5,4 м/с²; Wn = 8,2 м/с²; R = 1,6 Механические колебания и волны - student2.ru м.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.1. Компоненты скорости частицы изменяются со временем по законам: Механические колебания и волны - student2.ru , Механические колебания и волны - student2.ru , uz = 0, где а и w – константы. Найти модули скорости | Механические колебания и волны - student2.ru | и ускорения Механические колебания и волны - student2.ru , а также угол a между векторами Механические колебания и волны - student2.ru и Механические колебания и волны - student2.ru . По какой траектории движется частица?

(| Механические колебания и волны - student2.ru | = а, Механические колебания и волны - student2.ru = аw, a = p/2)

1.2. Зависимость координат движения частицы от времени имеет вид Механические колебания и волны - student2.ru , Механические колебания и волны - student2.ru , z = 0, где а и w – константы.

а) определить радиус-вектор Механические колебания и волны - student2.ru , скорость Механические колебания и волны - student2.ru и ускорение Механические колебания и волны - student2.ru частицы, а также их модули;

б) найти уравнение траектории частицы.

( Механические колебания и волны - student2.ru = a(coswt Механические колебания и волны - student2.ru + sinwt Механические колебания и волны - student2.ru ); Механические колебания и волны - student2.ru = a;

Механические колебания и волны - student2.ru = aw (-sinwt Механические колебания и волны - student2.ru +coswt Механические колебания и волны - student2.ru ); | Механические колебания и волны - student2.ru | = aw;

Механические колебания и волны - student2.ru = -aw2 (coswt Механические колебания и волны - student2.ru +sinwt Механические колебания и волны - student2.ru ); Механические колебания и волны - student2.ru = aw2;

x2/a2 + y2/a2 = 1)

1.3. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Закон ее движения выражается уравнением S = A+Bt2, где А = 8 м, В = -2 м/с2. Определить момент времени t, когда нормальное ускорение Wn точки равно 9 м/с2. Найти модули скорости u, тангенциального Wt и полного W ускорения точки в тот же момент времени t.

(t = 1,5 с, u = 6 м/с, Wt= 4 м/с2, W = 9,8 м/с2)

1.4. Частица движется со скоростью Механические колебания и волны - student2.ru = at(2 Механические колебания и волны - student2.ru +3 Механические колебания и волны - student2.ru +4 Механические колебания и волны - student2.ru ) (а = 1,0 м/с2). Найти:

а) модуль скорости частицы в момент времени t = 1 с;

б) ускорение частицы Механические колебания и волны - student2.ru и его модуль;

в) путь S, пройденный частицей с момента времени t1 = 2 с до t2 = 3 с;

г) какой характер имеет движение частицы? Почему?

(u = 5,4 м/с, Механические колебания и волны - student2.ru = a(2 Механические колебания и волны - student2.ru +3 Механические колебания и волны - student2.ru +4 Механические колебания и волны - student2.ru ), Механические колебания и волны - student2.ru = 5,4 м/с2, S = 14 м)

1.5. Точка движется вдоль оси Х, причем координата изменяется по закону Механические колебания и волны - student2.ru . Найти:

а) выражение для проекции на ось Х скорости Механические колебания и волны - student2.ru и ускорения Механические колебания и волны - student2.ru точки;

б) путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = T/8 до t = T/4.

(uх = -(2p/ T) a sin(2p /T) t, Wx = -(2p /T)2 a cos (2p/T) t, S = 0,707 a)

1.6. Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону

Механические колебания и волны - student2.ru = 3t2 Механические колебания и волны - student2.ru +2t Механические колебания и волны - student2.ru +1 Механические колебания и волны - student2.ru . Найти:

a) скорость Механические колебания и волны - student2.ru и ускорение Механические колебания и волны - student2.ru частицы;

б) модуль скорости в момент времени t = 1 с;

в) приближенное значение пути S, пройденное частицей за 11-ю секунду движения.

(а) Механические колебания и волны - student2.ru = 6t Механические колебания и волны - student2.ru +2 Механические колебания и волны - student2.ru (м/с); б) Механические колебания и волны - student2.ru = 6 Механические колебания и волны - student2.ru (м/с2); в) | Механические колебания и волны - student2.ru | = 6,3 м/с, S = 63 м).

1.7. Тело брошено под углом a к горизонту и в начальный момент времени имеет скорость Механические колебания и волны - student2.ru . Построить качественные зависимости Механические колебания и волны - student2.ru и Механические колебания и волны - student2.ru как функции от времени движения тела до момента падения. Определить радиус кривизны траектории в момент времени t = t/4, где t – время движения до падения. Сопротивления движению нет.

(R = Механические колебания и волны - student2.ru )

1.8. Тело в течение времени t движется с постоянной скоростью u0. Затем скорость его линейно нарастает со временем так, что в момент времени 2t она равна 2u0. Определить путь, пройденный телом за время t. Cчитать что t<t<2t.

(S = Механические колебания и волны - student2.ru + Механические колебания и волны - student2.ru )

1.9. Тoчка движется по криволинейной траектории с постоянным тангенциальным ускорением wt = 0,5 м/с2. Определить полное ускорение точки в момент времени t = 5 с от начала движения, если радиус кривизны траектории в этот момент времени R = 2 м.

(W = 3,2 м/с2)

1.10. Начальное значение скорости Механические колебания и волны - student2.ru = 1 Механические колебания и волны - student2.ru +3 Механические колебания и волны - student2.ru +5 Механические колебания и волны - student2.ru , (м/с), конечное Механические колебания и волны - student2.ru = 2 Механические колебания и волны - student2.ru +4 Механические колебания и волны - student2.ru +6 Механические колебания и волны - student2.ru , (м/с). Найти:

а) приращение скорости Δ Механические колебания и волны - student2.ru ; б) модуль приращения скорости | Δ Механические колебания и волны - student2.ru |;

в) приращение модуля скорости Механические колебания и волны - student2.ru u.

(а) Δ Механические колебания и волны - student2.ru = 1 Механические колебания и волны - student2.ru +1 Механические колебания и волны - student2.ru +1 Механические колебания и волны - student2.ru м/с; б) | Δ Механические колебания и волны - student2.ru | = 1,73 м/с, в) Механические колебания и волны - student2.ru u = 1,57 м/с).

1.11. По дуге окружности радиусом R = 10 м движется точка. В некоторый момент времени от начала движения ускорение точки Wn = 5,0 м/с2; вектор полного ускорения Механические колебания и волны - student2.ru образует в этот момент с вектором тангенциального ускорения Механические колебания и волны - student2.ru угол a = 30 Механические колебания и волны - student2.ru . Считая Wt = const, найти закон изменения Wn = f(t).

(Wn = 7,5 t2 м/с2).

1.12. Точка движется по дуге окружности радиусом R. Ее скорость зависит от пройденного пути S по закону Механические колебания и волны - student2.ru , где k – постоянная. Найти угол между вектором полного ускорения и вектором скорости в зависимости от S.

( Механические колебания и волны - student2.ru )

1.13. Тело брошено под углом a = 45° к горизонту с начальной скоростью u = 30 м/с. Определить радиус кривизны траектории R в максимальной точке подъема тела и в точке его касания с землей. Качественно постройте зависимости кинетической Wk, потенциальной Wp, и полной W энергии тела как функции времени. Сопротивления движению не учитывать.

(R1 = 46 м, R2 = 130 м)

1.14. Материальная точка движется по окружности радиусом R. Ее тангенциальное ускорение изменяется по закону Wt = kt, где k>0. В какой момент времени t с начала движения модули нормального и тангенциального ускорения будут равны? Чему равно полное ускорение материальной точки в этот момент времени? Какой угловой путь j пройдет точка к этому моменту времени? Качественно изобразите закон изменения угловой скорости w как функцию времени.

( Механические колебания и волны - student2.ru ; Механические колебания и волны - student2.ru ; j = 0,67 рад)

1.15. Точка движется по окружности радиусом R = 30 см с постоянным угловым ускорением. Определить тангенциальное ускорение точки, если известно, что с некоторого момента за интервал времени t = 4 с она совершила три оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение Wn = 2,7 м/с2. Определить угловую w0 и линейную Механические колебания и волны - student2.ru 0 скорости в начале указанного интервала времени. Построить графики зависимости модулей ускорения и угловой скорости от времени на интервале движения:

Механические колебания и волны - student2.ru =f(t); Wt = f(t); w = f(t).

(w0 = 6,4 рад/с; Механические колебания и волны - student2.ru 0 = 1,9 м/c)

Динамика

Примеры решения задач

5. Система состоит из частицы 1 массой 1,0 г, расположенной в точке с координатами (1, 1, 1) м, частицы 2 массой 2,0 г, расположенной в точке с координатами (-2, 2, 2) м, частицы 3 массой 3,0 г, расположенной в точке с координатами (-1, 3, -2) м, частицы 4 массой 4,0 г, расположенной в точке с координатами (3, -3, 3) м. Найти радиус – вектор Механические колебания и волны - student2.ru центра масс системы и его модуль.

Дано: m1 = 1,0г m2 = 2,0г m3 = 3,0г m4 = 4,0г Механические колебания и волны - student2.ru = 1 Механические колебания и волны - student2.ru +1 Механические колебания и волны - student2.ru +1 Механические колебания и волны - student2.ruМеханические колебания и волны - student2.ru = -2 Механические колебания и волны - student2.ru +2 Механические колебания и волны - student2.ru +2 Механические колебания и волны - student2.ruМеханические колебания и волны - student2.ru = -1 Механические колебания и волны - student2.ru + -3 Механические колебания и волны - student2.ru +3 Механические колебания и волны - student2.ruМеханические колебания и волны - student2.ru = 3 Механические колебания и волны - student2.ru - 3 Механические колебания и волны - student2.ru +3 Механические колебания и волны - student2.ru Решение Положение центра масс определяется выражением Механические колебания и волны - student2.ru где mi – масса i-й частицы системы; Механические колебания и волны - student2.ru – радиус-вектор i-й частицы системы. Отсюда для радиус-вектора центра масс рассматриваемой системы, получим  
а) Механические колебания и волны - student2.ru – ? б) | Механические колебания и волны - student2.ru | – ?

Механические колебания и волны - student2.ru Механические колебания и волны - student2.ru = Механические колебания и волны - student2.ru , м.

Модуль радиус-вектора центра масс системы

| Механические колебания и волны - student2.ru | = Механические колебания и волны - student2.ru = Механические колебания и волны - student2.ru = 1,27 м.

Ответ: Механические колебания и волны - student2.ru = 0,6 Механические колебания и волны - student2.ru +0,2 Механические колебания и волны - student2.ru +1,1 Механические колебания и волны - student2.ru м; | Механические колебания и волны - student2.ru | = 1,27 м

6. На горизонтальной плоскости лежит доска массой m1 = 1 кг, а на доске – брусок массой m2 = 2кг. Коэффициент трения между бруском и доской μ1 = 0,25, между доской и горизонтальной плоскостью μ2 = 0,5. С каким ускорением должна двигаться доска, чтобы брусок начал с нее соскальзывать? Какую горизонтальную силу F0 следует при этом приложить к доске?

Дано: m1 = 1,0 кг m2 = 2,0 кг μ1 = 0,25 μ2 = 0,50 Решение Механические колебания и волны - student2.ru
а) am –? б) F0 –?

Движения доски и бруска одномерные и происходят вдоль оси OX, как показано на рисунке. Поэтому для решения задачи достаточно воспользоваться проекцией уравнения 2-го закона Ньютона на ось OX (как для бруска, так и для доски). Брусок в горизонтальном направлении вынуждает двигаться с ускорением без проскальзования сила трения покоя со стороны поверхности доски. По мере роста ускорения доски растет и величина силы трения покоя. Когда она достигает предельной величины, равной силе трения скольжения Fтр2, брусок начинает соскальзывать с доски. В этом случае из 2-го закона Ньютона получим

m2Wm = Fтр2 = μ1Fn2 (1)

где Fn2 – сила нормального давления бруска на поверхность доски.

Fn2 = m2g. (2)

Из выражений (1) и (2) следует:

Wm = μ1∙g = 0,25∙9,81 = 2,45 м/с².

На доску действуют в горизонтальной плоскости силы Механические колебания и волны - student2.ru , Механические колебания и волны - student2.ru и Механические колебания и волны - student2.ru , как показано на рисунке. Уравнение движения доски в этом случае имеет вид:

m1Wm = F0 – Fтр1 – Fтр2, (3)

где Fтр1 = μ2Fn1 – сила трения скольжения между доской и горизонтальной плоскостью; Fn1 – сила нормального давления доски с брусом на горизонтальную плоскость.

Fn1 = (m1+m2)g. (4)

Из выражений (3) и (4) получим:

F0 = m1μ1g + m2μ1g +μ2(m1 + m2)g = (m1 + m2) (μ12)g = 22 Н.

Ответ: Wm = 2,5 м/с²; F0 = 22 Н.

Наши рекомендации