Магнитное поле. Закон Био – Савара - Лапласа

Магнитное поле описывается вектором напряженности Н.Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции , связан с вектором напряженности следующим соотношением:

, (где ед. измерения [В]=Тл, [Н] = )

где m₀ — магнитная постоянная, m —магнитная проницаемость среды, показывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков Н усиливается за счет поля микротоков среды.

Закон Био - Савара - Лапласа для проводника с током I, элемент которого dl создает в некоторой точке А индукцию поля , записывается в виде

, (16.2)

где — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий пo направлению с током, — радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля, r — модуль радиуса вектора .

Направление перпендикулярно и , т.е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление , если поступательное движение винта

Рис. 16.1. соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора определяется выражением

, (16.3)

где a — угол между векторамии .

Для магнитного поля, как и для электрического, справедливпринцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

. (16.4)

Расчет характеристик магнитного поля ( и ) по приведенным формулам в общем случае довольно сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био-Савара-Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет довольно просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.

Магнитное поле прямого тока— тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины. В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («от нас»).

Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол a (угол между векторами и ), выразив через него все остальные величины. Из этого следует, что

(радиус дуги СD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать

Рис. 16.2. прямым). Подставив эти выражения в (16.3), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника равна

, (15.5)

Так как угол a для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до p, то, согласно (16.4) и (16.5)

,

следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

. (16.6)

Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Все элементы кругового проводника с токомсоздают в центре магнитное поле одинакового направления - вдоль нормали от витка.

Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin a = 1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (16.3),

Рис. 16.3. .

Тогда .

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

.