Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ

И ТЕРМОДИНАМИКИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К практическим занятиям

По курсу общей физики

Уфа 2005

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ

И ТЕРМОДИНАМИКИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К практическим занятиям

По курсу общей физики

Уфа 2005

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ

И ТЕРМОДИНАМИКИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к практическим занятиям

по курсу общей физики

Уфа 2005

Составители С.А. Шатохин, Э.В. Сагитова

УДК [539.19+536](07)

ББК [22.36+22.317](Я7)

Основы молекулярной физики и термодинамики: Методические указания к практическим занятиям по курсу общей физики. / Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т; Сост.: С.А. Шатохин, Э.В. Сагитова -Уфа, 2005. - 32 c.

Приведены примеры решения различных типов задач по темам практических занятий раздела «Основы молекулярной физики и термодинамики». Предназначены для студентов 1 и 2 курсов.

Библиогр.: 5 назв.

Рецензенты: А.С. Краузе

Э.З. Якупов

© Уфимский государственный

авиационный

технический университет, 2005

Содержание

Введение........................................................................................................... 4

Основные формулы........................................................................................ 5

Примеры решения задач................................................................................ 9

1. Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов ........................ 9

2. Основы термодинамики.......................................................................... 15

Список литературы....................................................................................... 32

Введение

Практические занятия являются одной из важнейших компонент учебного процесса по физике. Они способствуют приобщению студентов к самостоятельной работе, учат анализировать изучаемые физические явления, использовать на практике полученные теоретические знания.

Предназначены для студентов, изучающих раздел курса общей физики «Основы молекулярной физики и термодинамики». В методических указаниях представлены примеры решения типичных задач разной степени трудности. Решения сопровождаются необходимыми примерами и комментариями. Задачи систематизированы по основным темам раздела. Приведены основные формулы, облегчающие усвоение алгоритмов решения задач.

Основы молекулярной физики и термодинамики

Основные формулы

Количество вещества ,

где

N – число молекул,

N_A – постоянная Авогадро,

m – масса вещества,

M – молярная масса.

Уравнение Менделеева- Клайперона

,

где

р – давление газа,

V – его объем,

R – молярная газовая постоянная,

T – термодинамическая температура.

Уравнение молекулярно – кинетической теории газов

,

где

n₀ – концентрация молекул,

<E_пост> – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул,

m₀ – масса молекулы,

<υ_кв> – средняя квадратичная скорость.

Средняя кинетическая энергия молекулы

,

где

i – число степеней свободы,

k – постоянная Больцмана.

Внутренняя энергия идеального газа

.

Скорости молекул:

средняя квадратичная ,

средняя арифметическая ,

наиболее вероятная .

Средняя длина свободного пробега молекулы

,

где d – эффективный диаметр молекулы.

Среднее число столкновений молекулы в единицу времени

.

Уравнение диффузии

,

где

D – коэффициент диффузии,

Ρ – плотность,

dS – элементарная площадка, перпендикулярная к оси Х.

Уравнение теплопроводности

,

где χ – коэффициент теплопроводности.

Сила внутреннего трения ,

гдеη – динамическая вязкость.

Коэффициент диффузии .

Вязкость (динамическая) .

Теплопроводность ,

где с_V - удельная изохорная теплоемкость.

Молярная теплоемкость идеального газа:

Изохорная ,

Изобарная .

Первое начало термодинамики

Работа расширения газа при процессе:

Изобарном ,

Изотермическом ,

адиабатном

,

где .

Уравнение Пуассона (уравнение адиабатного процесса)

, , .

Коэффициент полезного действия цикла Карно

,

где

Q и T – количество теплоты, полученное от нагревателя, и его температура,

Q₀ и T₀ – количество теплоты, переданное холодильнику, и его температура.

Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2

Уравнение Ван - дер - Ваальса:

для 1 моль газа ,

для ν моль газа ,

где a и b – постоянные Ван - дер - Ваальса,

V_M – объем 1 литра газа.

Критические параметры .

Собственный объем молекулы .

Высота поднятия жидкости в капилляре радиусом r

.

Примеры решения задач

Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов

Задача 1. Определить, сколько киломолей и молекул водорода содержится в объеме 50 м³ под давлением 767 мм рт. ст. при температуре 18°С. Какова плотность и удельный объем газа?

Дано: V = 50 м3 Ρ = 767 мм. рт. ст. @ 767·133 Па Т = 291 К М = 2 кг/моль	Решение: На основании уравнения Менделеева – Клайперона: устанавливаем число киломолей ν, содержащихся в заданном объеме V. Зная р - давление, V – объем, Т – температуру газа, R – молярную газовую постоянную
ν – ? N – ? ρ – ? d – ?

можно определить ν:

Число молекул N, содержащихся в данном объеме, находим, используя число Авогадро N_А (которое определяет какое количество молекул содержится в одном киломоле). Общее количество молекул, находящихся в массе m данного газа, может быть установлено, так как известно число молей ν.

Подставляя в формулу число киломолей, устанавливаем число молекул, содержащихся в объеме V: .

Плотность газа ρ = m/V определяем из уравнения Менделеева - Клайперона:

Подставляя числовые значения в единицах СИ в формулу, определим плотность газа:

Удельный объем газа d определяем из уравнения Менделеева - Клайперона:

(м3/кг).

Ответ: 11,9 м³/кг.

Задача 2. В сосуде объемом 2 м³ находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27°С. Определить давление и молярную массу смеси газов.

Дано: V = 2 м3 m1= 4 кг М1= 4·10-3 кг/кмоль m2= 2 кг М2= 2·10-3 кг/кмоль Т1= 300 К	Решение: Воспользуемся уравнением Менделеева - Клайперона, применив его к гелию и водороду: (1) (2) где р1 – парциальное давление гелия; m1– масса гелия;
р - ? М - ?

М₁ – егомолярная масса; V – объем сосуда; Т – температура газа; R = 8,31 Дж/(моль·К) –молярная газовая постоянная; р₂– парциальное давление водорода; m₂– масса водорода; М₂ – его молярная масса.

По закону Дальтона: (3)

Из уравнений (1) и (2) выразим р₁и р₂и подставим в уравнение (3):

(4)

С другой стороны, уравнение Менделеева - Клайперона для смеси газов имеет вид:

(5)

Сравнивая (4) и (5) найдем молярную массу смеси газов по формуле:

, (6)

где ν₁ и ν₂ – число молей гелия и водорода соответственно.

(кг/моль).

Ответ: 3·10^-3 кг/моль.

Задача 3. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода <λ> = 2,5 см при температуре 68°С? Диаметр молекул водорода принять равным d = 2,3·10 ^–10 м.

Дано: <λ>= 2,5·10-2 м Т= 341 К d= 2,3·10-10 м NA = 6,02·1026 кмоль-1	Решение: Давление водорода при температуре Т можно найти по уравнению Менделеева- Клайперона, в котором удобно ввести число молекул n0 в 1 м3.
р – ?

Это проводится следующим образом:

; ; ;

где N_A – число Авогадро и k – постоянная Больцмана.

Следовательно, Так как , имеем .

Число молекул в 1 м³ выразим через среднюю длину свободного пробега. Из формулы , находим Таким образом:

(Па).

Ответ: 0,8 Па.

Задача 4. Определить плотность разреженного азота, если средняя длина свободного пробега молекул 10 см. Какова концентрация молекул?

Дано: < λ > = 10 см = 0,1 м	Решение: Средняя длина пробега молекулы определяется формулой:
р - ? n0 - ?

, (1)

где d – эффективный диаметр молекул (для азота d = 0,31·10 ^–9 м).

Концентрацию молекул найдем из равенства:

, (2)

где N_A – число Авогадро; М = 28·10 ^–3 кг/моль – молярная масса азота.

Решая совместно уравнения (1) и (2), находим:

(кг/м3).

Ответ: 1,09·10^-6 кг/м³.

Задача 5. Вычислить коэффициент внутреннего трения и коэффициент диффузии кислорода, находящегося при давлении 0,2 МПа и температуре 280 К.

Дано: p = 2·105 Па d = 2,9·10-10 м М = 32·10-3 кг/моль Т = 280 К	Решение: На основании представлений молекулярно – кинетической теории газов коэффициент внутреннего трения идеального газа (динамическая вязкость) и коэффициент диффузии определяются по формулам:
η - ? D - ?

(1); (2),

где ρ– плотность газа; < λ > – средняя длина свободного пробега молекул; <υ_ар> – средняя арифметическая скорость молекул.

Из (1) и (2) следует (3)

Среднюю арифметическую скорость и среднюю длину свободного пробега молекул находим по формулам:

(4) , (5)

где R = 8,31 Дж/(моль·К) – молярная газовая постоянная; Т – термодинамическая температура; d = 2,9·10 ^–10 м – эффективный диаметр молекулы кислорода; n₀ – число молекул в 1 м³ (концентрация).

Из уравнения Менделеева - Клайперона определяем n₀

(см. задачу 3): (6)

где р – давление; k = 1,38·10 ^–23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Подставляя (6) в уравнение (5), получаем: . (7)

Окончательный вид расчетной формулы для коэффициента диффузии найдем, подставляя выражения (4) и (7) в уравнение (2):

. (8)

Плотность кислорода определяется по формуле: . С учетом (6) имеем: . (9)

Подставляя (9) и (8) в (3), получаем расчетную формулу для коэффициента внутреннего трения: .

Вычисляем:

Ответ: .

Задача 6. Наружная поверхность кирпичной стены площадью 25 м² и толщиной 37 см имеет температуру 259 К, а внутренняя поверхность–293 К. Помещение отапливается электроплитой. Определить ее мощность, если температура в помещении поддерживается постоянной. Теплопроводность кирпича 0,4 Вт/(м·К).

Дано: S = 25 м2 D = 37 см = 0,37 м T1 = 259 K T2 = 293R χ = 0,4 Вт/(м·К)	Решение: Количество теплоты, прошедшее через наружную стену, определим по закону Фурье: (1) где t – время протекания теплоты.
N - ?

За время t – электроплита должна выделить такое же количество теплоты: (2)

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получаем:

,

откуда ,

Ответ: 0,92 кВт.

2. Основы термодинамики

Задача 7. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К.

Дано: т = 2 кг Т = 400 К М = 2·10 –3 кг/моль	Решение: Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода – двухатомная. Связь между атомами считаем жесткой, тогда
<Eпост> - ? <Eвр> - ?

число степенейсвободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия: Поступательному движению приписывается три (i = 3), а вращательному две (i= 2) степени свободы. Тогда энергия одной молекулы:

, .

Число молекул, содержащихся в массе газа m: , где ν – число молей, N_A – число Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул водорода будет: , (1)

где R = kN_A – молярная газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул водорода: . (2)

Подставляя числовые значения и формулы (1) и (2), имеем:

Ответ: 4986 кДж, 3324 кДж.

Задача 8. При адиабатическом сжатии давление воздуха было увеличено от Р₁ = 100 кПа до Р₂ = 1 МПа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определить давление Р₃ газа в конце процесса.

Дано: Р1 =100 кПа=1·105 Па Р2 = 1 МПа =1·106 Па V2 = const g = 1,4 Р3 – ?

Решение: На PV диаграмме представлен график, соответствующий процессу, указанному в условии задачи.

Процесс адиабатического сжатия 1-2 совершается без теплообмена и согласно уравнению Пуассона:

(1)

Макроскопические параметры P, V, T воздуха в состоянии 1, 2, 3 связаны соотношением:

,

откуда P₁V₁ = P₃V₃.

По условию задачи V₂ = V₃.Используя уравнение (1) можно записать

.

Тогда

Ответ:

Задача 9. Вычислить массу столба воздуха высотой 1 км и сечением 1 м², если плотность воздуха у поверхности Земли а давление Р₀ = 1,013 ∙ 10⁵ Па. Температуру воздуха считать одинаковой.

Дано: h = 1 км = 1000 м S = 1 м2 Т = const Р0=1,013 ∙ 105 Па = 1,2 кг/м 3	Решение: Атмосферное давление меняется с высотой, плотность воздуха также является функцией высоты . Массу воздуха в элементе объема dV представим в виде: dm = . Найдем изменение плотности воздуха с высотой.
m – ?	Согласно уравнению состояния идеального газа

. (1)

Продифференцировав (1), получим (2)

С другой стороны убыль давления dP при переходе от высоты h₀ к высоте h₀ + dh

(3)

где – плотность воздуха на высоте h.

Используя уравнения (2) и (3) получим:

или

Вычислим массу столба воздуха

Подставив данные, приведенные в условии задачи получим:

m = 1,13 · 10³ кг.

Ответ: m = 1,13 · 10³ кг.

Задача 10. Определить скорость вылета поршня массой 4 кг из цилиндра при адиабатном расширении кислорода в 40 раз, если начальное давление воздуха 10⁷ Па, а объем 0,3 л.

Дано: Т = 4 кг V2/V1 = 40 p1 = 10 7Па V1 = 0,3 л = 3·10-4 м3	Решение: Работа А, совершаемая адиабатически расширяющимся воздухом, в данном случае идет на увеличение кинетической энергии поршня, т. е
υ - ?

,

где т и υ – масса и скорость поршня.

Для подсчета работы адиабатически расширяющегося газа воспользуемся формулой: , где γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для кислорода γ =1,4).

Так как , то ,

Ответ: 54 м/с.

Задача 11. Молекулярный пучок кислорода ударяется о неподвижную стенку. После соударения молекулы отражаются от стенки с той же по модулю скоростью. Определить давление пучка на стенку, если скорость молекул 500 м/с и концентрация молекул в пучке 5·10 ²⁴ м ^-3.

Дано: υ = 500 м/с n0= 5·10 24 м –3	Решение: Давление определяется по формуле: , (1)
р - ?

где F – сила давления, S – площадь.

Силу давления найдем из второго закона Ньютона:

, (2)

где m – масса кислорода, ударившегося о стенку за время t, Δυ – изменение скорости молекул при ударе.

Массу одной молекулы кислорода найдем из закона Авогадро: , где М = 32·10²³ кг/моль – молярная масса кислорода; N_A = – постоянная Авогадро.

За время t о стенку ударяются молекулы, находящиеся в объеме: , масса которых: . (3)

Изменение скорости при соударении: . (4)

Подставляя выражения (3), (4) в (2), находим: , откуда , .

Ответ: 1,33·10⁵ Па.

Задача 12. Определить удельные теплоемкости с_р, с_v, для смеси 1 кг азота и 1 кг гелия.

Дано: m1= 1 кг М1= 28 кг/кмоль i1 = 5 m2 = 1 кг М2= 4 кг/кмоль газа. i2 = 3	Решение: Удельной теплоемкостью какого – либо газа называется величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить единице массы тела, чтобы повысить его температуру на 1 градус. При этом величина теплоемкости зависит от условий, при которых
ср - ? сv - ?

происходит нагревание. Если нагревание происходит при постоянном объеме, то: , где , т.е. все сообщаемое количество теплоты идет на изменение внутренней энергии системы. Изменение внутренней энергии смеси газа определяется формулой: , где i₁ и i₂ – число степеней свободы первого и второго газов.

Окончательно получим: . (1)

Если нагревание происходит при постоянном давлении, то

, (2)

где , т.е. сообщаемое газу количество теплоты идет не только на изменение внутренней энергии, но и на работу по расширению газа. Работа при изобарическом расширении для каждого газа равна: ; , поэтому:

.

Подставляя это значение в уравнение (2), получим:

.

Произведем вычисления:

Ответ: .

Задача 13. В цилиндре под поршнем находится водород, который имеет массу 0,02 кг и начальную температуру 27°С. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершаемую газом. Изобразить процесс графически.

Дано: m = 0,02 кг Т1 = 27°С = 300 К М = 2 кг/кмоль i = 5	Решение: При адиабатном процессе температура и объем газа связаны соотношением: , где – отношение теплоемкостей газа при
T2 - ? А - ?

постоянном давлении и постоянном объеме. Для водорода γ = 1,4.

Отсюда выражение для конечной температуры Т₂ будет:

.

Работа А₁ газа при адиабатическом расширении равна изменению внутренней энергии:

.

(Дж).

Работа А₂ газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде:

(Дж).

Подставляя известные числовые значения величин, входящих в правую часть равенства, и выполняя арифметические действия, находим: .

Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается над газом внешними силами. Полная работа, совершенная газом при описанных процессах, равна:

(Дж).

.

График процесса приведен на рисунке 1.

Ответ: 8,7 · 10³ Дж.

Задача 14. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V₁= 1 м³ и находится под давлением р₁= 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂= 3 м³, а затем при постоянном объеме до давления р₃= 0,5 МПа. Найти изменение ΔU внутренней энергии газа, совершенную им работу А и количество теплоты Q, переданное газу. Построить график процесса.

Дано: m = 2 кг М = 32 кг/моль V1= 1 м3 р1 = р2 = 2·105 Мпа V2= 3 м3 р3 = 5·105 Мпа R = 8,31·10 –3 Дж/(кмоль·К)	Решение: Изменение внутренней энергии газа выражается формулой: , (1) где i – число степеней свободы молекул газа для двухатомных молекул кислорода (i = 5); М – молярная масса; R – молярная газовая постоянная.
ΔU - ? А - ? Q - ?

Начальную и конечную температуры найдем, используя уравнение Менделеева - Клайперона:

. (2)

Решая его относительно Т, получим: (3)

Подставляя в выражение (1) числовые значения входящих в него

величин, находим:

Работа расширения газа при постоянномдавлении выражается формулой: . Подставив числовые значения, получим:

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А₂ = 0. Следовательно, полная работа, совершенная газом, равна: . Согласно первому началу термодинамики количество теплоты Q, переданное газу, равно сумме изменения внутренней энергии ΔU и работы А: , следовательно: .

График процесса приведен на рисунке 2.

Ответ: 3,65 МДж.

Задача 15. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества n = 1 моль и находящийся под давлением Р₁ = 0,1 МПа при температуре Т₁ = 300 К, нагревают при постоянном объеме до давления Р₂ = 0,2 МПа. После этого газ изотермически расширялся до начального давления и затем изобарно был сжат до начального объема V₁. Построить график цикла. Определить температуру Т газа для характерных точек цикла и его термический КПД h.

Дано: Р1= 0,1 Мпа = 1·105 Па Т1= 300 К Р2= 0,2 Мпа = 2·105 Па	Решение: В координатах Р, V график цикла имеет следующий вид
T2 – ? Т3 – ? h – ?	V1 V2 V

Переход газа на участке 1-2 происходит изохорически при V₁ = const. Давления и температуры газов в состояниях 1 и 2 связаны между собой соотношением:

= .

Отсюда T₂ = 2Т₁ = 600 K.

Так как переход газа 2-3 изотермический, то Т₂ = Т₃.

Термический КПД цикла определяется выражением

, (1)

где Q₁ – количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл, Q₂ – количество теплоты, отданное холодильнику за цикл.

Газ получает количество теплоты на участках 1-2 и 2-3

Q ₁= Q _1-2 + Q _2-3,

где Q _1-2 = C _v v (T ₂ - T ₁) – количество теплоты, полученное при изохорическом нагревании,

– количество теплоты, полученное при изотермическом расширении.

Газ отдает количество теплоты на участке 3-1 при изобарическом сжатии:

Q _3-1 = Q ₂ = C_р

– молярная теплоемкость газа при V = const, C _р – молярная теплоемкость газа при P = const.

Подставив значения Q ₁ и Q ₂, С _v и С _р в формулу (1) получим:

,

Ответ: T ₂ = T ₃ = 600 K, η = 9,9 %.

Задача16. Кислород массой 1 кг совершает цикл Карно. При изотермическом расширении газа его объём увеличивается в 2 раза, а при последующем адиабатическом расширении совершается работа 3000 Дж. Определить работу, совершенную за цикл.

Дано: V2 = 2V1 A2-3 = 3000 Дж i = 5	Решение: Идеальный цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат (рис. 3).
А - ?

На рисунке 3 участок 1-2 соответствует изотермическому расширению газа (Т₁ = Т₂), участок 2-3 – адиабатическому расширению газа, участок 3-4 – изотермическому сжатию (Т₃ = Т₄) и участок 4-1 – адиабатическому сжатию.

При изотермическом расширении внутренняя энергия идеального газа остается постоянной, следовательно, все подводимое тепло Q₁ идет на работу по расширению газа на участке 1-2, т.е.

(1)

При изотермическом сжатии на участке 3-4 Q₂ тепло отдается холодильнику (Q₂), и это количество теплоты определяется работой, затраченной на сжатие газа: