Элементы статистической физики, распределения

Примеры решения задач

17. На рисунке приведен график функции распределения некоторой случайной величины x. Считая известной величину a, определить константу A из условия нормировки функции распределения. Вычислить средние значения x и x².

Решение

Знание функции распределения f(x) позволяет найти среднее любой функции F(x) по формуле:

(1)

Для определения вида функции распределения необходимо найти константу A. Это можно сделать из условия нормировки функции распределения:

. (2)

Из геометрической интерпретации этого интеграла следует, что выражение (2) равно площади под кривой графика функции распределения, т. е. . Отсюда для константы A получается: . По известной величине A и по графику можно установить аналитический вид функции распределения f(x):

. (3)

Из формулы (1) и выражения (3) для средних значений <x> и <x²> следует:

Ответ: ; ; .

18. На какой высоте давление воздуха вдвое меньше, чем на уровне моря?. Температура воздуха T = 290 К.

Дано: = 0,5 T = 290 К μ = 29∙10-3кг/моль	Решение Зависимость давления P(h) атмосферы с высотой выражается барометрической формулой , (1) где P0 – давление на уровне моря; μ – молярная масса воздуха; g – ускорение свободного падения; R – универсальная газовая постоянная.
h –?

Логарифмирование выражения (1) дает . (2)

Из соотношения (2) находим высоту h: .

Ответ: h = 5,87 км.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

2.6. На рисунке приведен график функции распределения вероятности

значения некоторой величины x. Найти константу А, при которой функция оказывается нормированной. Вычислить среднее значение x и x².

О (1/2a; <x> = 0№ <x²> = a²/3)

2.7. Азот находится в равновесном состоянии при Т = 421 К. Определить относительное число DN/N молекул, скорости которых заключены в пределах от 499,9 до 500,1 м/с.

(DN/N = 3,32×10^-4)

2.8. Имеется N частиц, энергия которых может принимать лишь два значения: Е₁ и Е₂. Частицы находятся в равновесном состоянии при температуре Т. Чему равна суммарная энергия Е всех частиц в этом состоянии?

(Е = )

2.9. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m = 1,00×10^{-18 г. Во сколько раз уменьшиться их концентрация n при увеличении высоты на} Dh = 10,0 м? Температура воздуха Т = 300 К.

(В e^23.6 раз)

2.10. В кабине вертолета барометр показывает давление p = 9,00×10⁴ Па. На какой высоте находится вертолет, если на взлетной площадке барометр показывал p₀ = 1,01×10⁵ Па? Считать, что температура воздуха Т = 290 К не изменяется с высотой.

(h = 890 м)

2.11. На какой высоте давление воздуха составляет 60 % от давления на уровне моря? Температуру воздуха считать постоянной и равной 0° С.

(h = 4.07×10³ м)

Физическая кинетика

Пример решения задачи

19. Определить среднюю длину свободного пробега < >, среднее число столкновений в единицу времени z, среднюю продолжительность свободного пробега молекул водорода в сосуде при температуре T = 290 К и плотности ρ = 1,0 кг/м³. Эффективный диаметр молекулы водорода

d = 2,3∙10^{-10 м}.

Дано: T = 290 К ρ = 1,0 г/м3 μ = 2,0 г/моль d = 2,3∙10-10 м	Решение Средняя длина свободного пробега молекул определяется концентрацией n по формуле (1) Среднее число столкновений в единицу времени выражается соотношением, в которое входит средняя скорость молекул : (2) Средняя продолжительность свободного пробега молекул < τ > имеет вид (3)
а) < λ> –? б) < z > –? в) < τ> –?

По известной плотности газа ρ концентрация молекул n может быть вычислена из формулы:

, (4)

где N_А – число Авогадро. Средняя арифметическая скорость молекул газа равна

(5)

где R – универсальная газовая постоянная. Из соотношений (1) и (4) для < λ> получается

м.

Из формул (1), (2) и (5) для < z > следует

с^-1.

По известному значению < z > из выражения (3) для < τ> имеем:

с.

Ответ: < λ> = 1,4∙10^{-8 м; < z > = 1,3∙1011}с^-1; < τ> = 7,7∙10^-12 с.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

2.12. Найти среднюю длину свободного пробега < l > молекулы азота в сосуде объёмом V = 5,0 л. Масса газа m = 0,50 г. Во сколько раз необходимо изобарически изменить температуру газа, чтобы длина свободного пробега молекулы уменьшилась в 2 раза?

(<l> = 1,2×10^{-6 м; T}₂/T₁ = 0,5)

2.13. Какой наибольшей скорости может достичь дождевая капля шарообразной формы диаметром d = 0,30 мм, если она падает в атмосфере при нормальных условиях? Считать, что на интервале установившегося движения капли давление не изменяется с высотой. Эффективный диаметр молекулы воздуха принять равным 3,0×10^{-10 м.}

(u = 2,7 м/с)

2.14. Сколько молекул азота N₂ находится в сосуде объёмом в 1,0 л, если температура его 27 °С, а давление 10 Па? Определить число столкновений z молекулы азота за 1,0 с. Эффективный диаметр молекулы d = 3,0×10^{-10 м.}

(N = 2,4×10¹⁸; z = 4,6×10⁵)

2.15. На высоте h = 20 см над горизонтальной трансмиссионной лентой, движущейся со скоростью = 70 м/с, параллельно ей подвешена пластина площадью S = 4,0 см². Какую силу надо приложить к этой пластине, чтобы она оставалась неподвижной? В условиях опыта температура воздуха t = 27 °С, давление атмосферное. Принять эффективный диаметр молекулы d = 3,0×10^{-10 м.}

(F = 2,6×10^-6 H)

2.16. Определить отношение числа столкновений молекул газа за единицу времени для двух состояний, если переход из одного состояния в другое был изобарическим, а отношение объемов в этих состояниях соответствует V₂/V₁ = 2.

(z₂/z₁ = 0,71)

2.17. Идеальный газ находится при температуре Т₀ и давлении r₀. Качественно изобразить зависимость длины свободного пробега l и числа z столкновений его молекул в секунду от давления, если газ сжимается изотермически.

2.18. Двухатомный газ адиабатически расширяется до объема в 2 раза больше начального. Определить, во сколько раз изменится коэффициент диффузии D газа. Эффективный диаметр молекулы считать постоянным.

(D₂/D₁ = 1,7)

2.19. Найти верхний предел давления водорода в шарообразном сосуде объёмом V = 1,0 л, при котором длина свободного пробега молекулы больше размеров сосуда. Расчет произвести при температуре Т = 300 К. Эффективный диаметр молекулы водорода d = 2,3×10^{-10 м.}

(0,14 Па)