Движение жидкости по трубам. Скорость
Течения.
|
Рассмотрим цилиндрическую трубу радиуса R и выделим в ней цилиндр с меньшим радиусом r . Площадь сечения малого цилиндра будет S = pr2 ; площадь 
боковой поверхности цилиндра будет S = 2prl . Здесь действуют две силы: сила, которая гонит жидкость по трубе, то есть сила, равная разности сил давления на жидкость справа и слева трубы F = F1 – F2 = p1pr2 – p2pr2 = (p1 – p2)pr2 и сила жидкого трения о стенки трубы Fтр = h(dv/dr)S = h(dv/dr)2prl. Эти силы равны по модулю, но противоположно направлены. Приравняем их: F = Fтр
(p1 – p2) = -h(dv/dr)2prl
Знак минус в правой части уравнения говорит о том, что dv/dr < 0, т.е. скорость жидкости уменьшается с увеличением радиуса r, иными словами, чем ближе к стенкам трубы, тем скорость жидкости меньше. Или:
dv = (p1-p2) rdr
2lh
Мы получили дифференциальное уравнение. Решая его, получим:
Окончательно получим:
v = (p1 – p2) (R2 – r2)
Lh
Согласно этому уравнению, при перемещении от центра трубы к периферии, скорость течения жидкости изменяется по параболическому закону:
Если r = 0,то есть по оси цилиндра, то v = (p1 – p2)R2/4lhимеет наибольшее значение, т.е. v = vmaxЕсли же r = R,то v = 0
Следовательно, наибольшая скорость течения жидкости – по оси трубы, а у стенки – наименьшая.
Закон Пуазейля. Гидравлическое
(периферическое) сопротивление.
Французский врач и физик Пуазейль, изучая движение жидкости по цилиндрической трубе, вывел закон, который получил его имя.
Введём единицу Q , которая будет обозначать секундный объём жидкости, протекающий через трубу, т.е. Q = V/t или dQ = vdS или dQ = v2prdr
Имеем из предыдущего параграфа:
v = (p1 – p2) (R2 – r2)
Lh
Тогда :
dQ = p(p1 – p2) (R2 – r2)rdr
Lh
Получили дифференциальное уравнение. Решая его, интегрируя по всему сечению, получим:
Q = (p1 – p2)pR4
Lh
Можно сравнить его с законом Ома для участка цепи: I = U/R
I ~ Q
U~ (p1 – p2)
R~ Z
Q = (p1 – p2)/Z
Здесь Z = 8lh/pR4 - гидравлическое (периферическое) сопротивление.
Следует отметить, что оно сильно зависит от радиуса трубы. При увеличении радиуса трубы в 2 раза, гидравлическое сопротивление уменьшается в 16 раз! Вот как выгодно для уменьшения сопротивления увеличивать радиус трубы.
Ламинарное и турбулентное течение.
Число Рейнольдса.
Когда жидкость течёт в трубе, то можно заметить такую закономерность: когда скорость жидкости мала, то её течение – плавное и скорость течения по мере удаления от оси трубы изменяется по параболическому закону. Такое течение называется ламинарным.
|
Когда же скорость движения жидкости станет выше определённого значения, в потоке жидкости появляются завихрения и порядок перемещения слоёв нарушается. Такое течение называется турбулентным (от слова турбо- обозначает вихрь) .
Турбулентное движение жидкости создаёт шум, тогда как ламинарное движение – бесшумно.
Критерием перехода от ламинарного движения к турбулентному служит число Рейнольдса
Re = rvD/h
Если Re > Reкр - то движение жидкости становится турбулентным .
Для гладких цилиндрических труб Reкр =2300.
Число Рейнольдса ещё можно записать в следующем виде:
Re = vD/n
Здесь n - кинематическая вязкость м2\с. В системе СГС единицей кинематической вязкости является стокс. 1ст = 10-4 м2\с.
Чем шире труба – тем на меньшей скорости возникает турбулентность
Мы часто в жизни замечаем турбулентность в движении жидкости. Журчание ручья, шипение воды в водопроводной трубе - это признак того, что имеет место турбулентность. Турбулентность может также проявляться при движении газов.