Электрическая емкость уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник,т. е. проводник, который удален от других проводников, тел и зарядов. Его потенци­ал, согласно (84.5), прямо пропорциона­лен заряду проводника. Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, принимают различные по­тенциалы. Поэтому для уединенного про­водника можно записать Q=Сj. Величину

C=Q/j (93.1) называют электроемкостью(или просто емкостью)уединенного проводника. Ем­кость уединенного проводника определяет­ся зарядом, сообщение которого провод­нику изменяет его потенциал на единицу. Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от мате­риала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциа­ла. Сказанное не противоречит формуле (93.1), так как она лишь показывает, что емкость уединенного проводника прямо пропорциональна его заряду и обратно пропорциональна потенциалу. Единица электроемкости — фарад(Ф): 1 Ф — емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяет­ся на 1В при сообщении ему заряда в 1 Кл. Согласно (84.5), потенциал уединенно­го шара радиуса R, находящегося в одно­родной среде с диэлектрической проницае­мостью e, равен

Используя формулу (93.1), получим, что емкость шара

С = 4pe₀eR. (93.2)

Отсюда следует, что емкостью в 1 Ф обла­дал бы уединенный шар, находящийся в вакууме и имеющий радиус R=С/(4pe₀)»9•10⁶ км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (элек­троемкость Земли С»0,7мФ). Следова­тельно, фарад — очень большая величина, поэтому на практике используются доль­ные единицы — миллифарад (мФ), микро­фарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). Из формулы (93.2) вытекает также, что единица электрической посто­янной e₀ фарад на метр (Ф/м) (см. (78.3)).

Конденсаторы

Как видно из § 93, для того чтобы про­водник обладал большой емкостью, он дол­жен иметь очень большие размеры. На практике, однако, необходимы устройства, обладающие способностью при малых раз­мерах и небольших относительно окружа­ющих тел потенциалах накапливать зна­чительные по величине заряды, иными сло­вами, обладать большой емкостью. Эти устройства получили название конденса­торов.

Если к заряженному проводнику при­ближать другие тела, то на них возникают индуцированные (на проводнике) или свя­занные (на диэлектрике) заряды, причем ближайшими к наводящему заряду Q бу­дут заряды противоположного знака. Эти заряды, естественно, ослабляют поле, соз­даваемое зарядом Q, т. е. понижают по­тенциал проводника, что приводит (см. (93.1)) к повышению его электро­емкости.

Конденсатор состоит из двух провод­ников (обкладок), разделенных диэлект­риком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияния окружающие тела, поэ­тому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми зарядами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют (см. § 82): 1) две плоские пластины; 2) два коакси­альных цилиндра; 3) две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические.

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начинаются на одной обкладке и кончают­ся на другой, поэтому свободные заряды, возникающие на разных обкладках, явля­ются равными по модулю разноименными зарядами. Под емкостью конденсаторапо­нимается физическая величина, равная отношению заряда Q, накопленного в кон­денсаторе, к разности потенциалов (j₁-j₂) между его обкладками: C=Q/(j₁-j₂). (94.1)

Рассчитаем емкость плоского конден­сатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью 5 каж­дая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды +Q и -Q. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными разме­рами, то краевыми эффектами можно пре­небречь и поле между обкладками считать однородным. Его можно рассчитать ис­пользуя формулы (86.1) и (94.1). При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов между ними, согласно (86.1),

j₁-j₂=sd/(e₀e), (94.2)

где e — диэлектрическая проницаемость. Тогда из формулы (94.1), заменяя Q=sS, с учетом (94.2) получим выражение для емкости плоского конденсатора:

C=e₀eS/d. (94.3)

Для определения емкости цилиндрического конденсатора, состоящего из двух полых ко­аксиальных цилиндров с радиусами r₁и r₂ (r₂>r₁), вставленных один в другой, опять прене­брегая краевыми эффектами, считаем поле радиально-симметричным и сосредоточенным между цилиндрическими обкладками. Разность потенциалов между обкладками вычислим по формуле (86.3) для поля равномерно заряжен­ного бесконечного цилиндра с линейной плотно­стью t=Q/l (l—длина обкладок). С учетом наличия диэлектрика между обкладками

Подставив (94.4) в (94.1), получим выражение для емкости цилиндрического конденсатора:

Для определения емкости сферического кон­денсатора, состоящего из двух концентрических обкладок, разделенных сферическим слоем ди­электрика, используем формулу (86.2) для раз­ности потенциалов между двумя точками, лежа­щими на расстояниях r₁и r₂ (r₂>r₁) от центра заряженной сферической поверхности. С учетом наличия диэлектрика между обкладками

Подставив (94.6) в (94.1), получим

Если d=r₂-r₁<<r₁, то r₂»r₁»r и С= 4pe₀r²/d. Так как 4pr² — площадь сфериче­ской обкладки, то получаем формулу (94.3). Таким образом, при малой величине зазора по сравнению с радиусом сферы выражения для емкости сферического и плоского конденсаторов совпадают. Этот вывод справедлив и для ци­линдрического конденсатора: при малом зазоре между цилиндрами по сравнению с их радиуса­ми в формуле (94.5) ln(r₂/r₁) можно разложить в ряд, ограничиваясь только членом первого порядка. В результате опять приходим к форму­ле (94.3).

Из формул (94.3), (94.5) и (94.7) вы­текает, что емкость конденсаторов любой формы прямо пропорциональна диэлек­трической проницаемости диэлектрика, за­полняющего пространство между обк­ладками. Поэтому применение в качест­ве прослойки сегнетоэлектриков значи­тельно увеличивает емкость конденсато­ров.

Конденсаторы характеризуются про­бивным напряжением— разностью потен­циалов между обкладками конденсатора, при которой происходит пробой— элек­трический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств ди­электрика и его толщины.

Для увеличения емкости и варьирова­ния ее возможных значений конденсаторы соединяют в батареи, при этом использу­ется их параллельное и последовательное соединение.

1. Параллельное соединение конденса­торов(рис. 144). У параллельно соединен­ных конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна j_А-j_B. Если емкости отдельных конденсаторов С₁, С₂, ..., С_n, то, согласно (94.1), их заряды равны

Q₁=C₁(j_A-j_B),

Q₂=C₂(j_A-j_B),

Q_n=С_n(j_A-j_B), а заряд батареи конденсаторов

Полная емкость батареи

т. е. при параллельном соединении кон­денсаторов она равна сумме емкостей от­дельных конденсаторов.

2. Последовательное соединение кон­денсаторов(рис. 145). У последовательно соединенных конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю, а разность потенциалов на зажимах батареи

где для любого из рассматриваемых кон­денсаторов

С другой стороны,

откуда

т. е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, об­ратные емкостям. Таким образом, при по­следовательном соединении конденсаторов результирующая емкость С всегда меньше наименьшей емкости, используемой в ба­тарее.