Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности

Равномерное прямолинейное движение: Ускорение: Скорость: = const; Перемещение: ; Координата: x = x0 + t	Равномерное движение по окружности: Ускорение: ε = 0; an =v2/R = ω2R = ωv: a = an Угловая скорость: ω =Δ φ /Δ t =2π ν= 2π /T; v = ωR; ω = ω0 +εt; Путь: s =Rφ ; Угол поворота: φ = 2πn; Период и частота: T=t/n; ν = n/t = T-1;
Равнопеременное прямолинейное движение: Тангенциальное ускорение: at=const Нормальное ускорение; an=0; Полное ускорение a=const; Скорость: Средняя скорость: v Путь: Координата:	Равнопеременное движение по окружности: Угловое ускорение: ε = const; Тангенциальное ускорение at = ε r; Нормальное ускорение: Полное ускорение: Угловая скорость: Средняя угловая скорость: Угол поворота Пройденный путь: s = rφ; φ= 2πn

Пример 1.Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид х = А + В t + С t³, где А = 4 м, В = 2 м/с, С = - 0,5 м/с²_. Для момента времени t₁ = 2 с определить: 1) координату х₁ точки; 2) мгновенную скорость V₁; 3) мгновенное ускорение а₁.

Решение. Найдем координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, подставив в уравнение движения вместо t заданное значение t₁:

х₁ = А + В t₁ + С t₁³; х₁ = 4 м.

Мгновенную скорость V в произвольный момент времени t найдем, продифференцировав координату х по времени:

V = = B + 3Ct².

Тогда в заданный момент времени мгновенная скорость:

V₁ = B + 3Ct²₁; V₁ = - 4 м/с.

Знак минус указывает на то, что в момент времени t₁ = 2 с точка движется в отрицательном направлении координатной оси.

Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты по времени:

a = = 6Ct.

Мгновенное ускорение в заданный момент времени равно:

a₁ = 6Ct₁; a₁ = - 6 м/c².

Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси.

Пример 2.Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выражаемому формулой φ = 10 + 20 t - 2 t² (рис. 1). Найдите по величине и направлению полное ускорение точки, находящейся на расстоянии R = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t₁ = 4 с.

Условие:

φ=10+20t-2t²;

R=0,1 м;

t₁=4 c;

a - ? α - ?

Решение. Точка вращающегося тела описывает окружность. Полное ускорение точки определяется геометрической суммой тангенциального и нормального ускорения:

(1)

Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:

а _t= εR; (2)

a_n = ω²R, (3)

где ω - угловая скорость тела; ε - его угловое ускорение; R - расстояние от оси вращения.

Подставляя выражения а_t и а_n в формулу (1) находим:

a = R . (4)

Угловая скорость вращающегося тела равна первой производной от угла поворота по времени

ω = = 20 – 4t.

В момент времени t = 4 с угловая скорость ω = 4 с^-1.

Угловое ускорение вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени:

ε = = - 4 c^-2.

Подставляя найденные и заданные значения в формулу (4) получим:

a = 1,65 м/c².

Направление полного ускорения можно определить, если найти углы, которые векторы ускорения составляют с касательной к траектории или нормалью к ней:

cos α = . (5)

По формулам (2) и (3) найдем значения а_t и a_n:

a_t = - 0,4 /c²; a_n = 1,6 /c² .

Подставив эти значения и значения полного ускорения в формулу (5), получим:

cos α = 0,242; α = 76⁰.