Молекулярная (статистическая) физика и термодинамика

7. Распределение Максвелла и Больцмана

1. Зависимость давления идеального газа во внешнем однородном поле силы тяжести от высоты для двух разных температур (Т2 > Т1) представлена на рисунке …

1.   2. 3. 4.

Решение: Зависимость давления идеального газа от высоты h для некоторой температуры T определяется барометрической формулой: , где p0 – давление на высоте h = 0 , m0 – масса молекулы, g ускорение свободного падения, k постоянная Больцмана. Из формулы следует, что при постоянной температуре давление газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону тем медленнее, чем больше температура T. Давление p0 определяется весом всего газа и не меняется при изменении температуры.

2. На рисунке представлен график функции распределения молекул кислорода по скоростям (распределение Максвелла) для температуры Т=273 К, при скорости 380 м/с функция достигает максимума. Здесь – плотность вероятности или доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от υ до υ + dυ в расчете на единицу этого интервала. Для распределения Максвелла справедливы утверждения, что …

Укажите не менее двух вариантов ответов 1.с понижением температуры площадь под кривой уменьшается 2.с ростом температуры наиболее вероятная скорость молекул увеличится 3.площадь заштрихованной полоски равна доле молекул со скоростями в интервале от υ1 = 380 м/с до υ2 = 385 м/с или вероятности того, что скорость молекулы имеет значение в этом интервале скоростей 4.отлична от нуля вероятность того, что молекула кислорода при Т = 273 К имеет скорость, точно равную 380 м/с

Решение: Функция распределения Максвелла имеет смысл плотности вероятности , где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале от υ до υ + dυ. В нашем случае dυ = 5 м/с вблизи наиболее вероятной скорости молекул, близкой к которой движется большее число молекул. dN число молекул, скорости которых заключены в интервале от 380 м/с до 385 м/с, N число всех молекул газа. Площадь заштрихованной полоски определяет долю молекул, скорости которых заключены в интервале от 380 м/с до 385 м/с. С ростом температуры максимум кривой смещается вправо, высота максимума убывает. Наиболее вероятная скорость зависит от температуры газа: она увеличивается с повышением температуры. Вероятность того, что величина скорости может принять хотя бы какое-нибудь значение (достоверное событие), равна единице , поэтому при изменении температуры площадь под кривой остается равной единице. Если точно задана скорость υвер = 380,0 м/с, то dυ = 0, следовательно, вероятность dp = 0.

3. Формула Больцмана характеризует распределение частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения, в потенциальном силовом поле, в частности распределение молекул по высоте в изотермической атмосфере. Соотнесите рисунки и соответствующие им утверждения.

Установите соответствие (рис.4) 1.Распределение молекул в силовом поле при температуре . 2.Распределение молекул по кинетическим энергиям. (рис.1) 3.Распределение молекул в силовом поле при очень высокой температуре, когда энергия хаотического теплового движения значительно превосходит потенциальную энергию молекул. (рис.2)4.Распределение молекул не является больцмановским и описывается функцией . (рис.3) 5.Распределение молекул воздуха в атмосфере Земли.

Решение: Концентрация молекул в однородном поле силы тяжести убывает с высотой по закону (распределение Больцмана на рис. 3), где n – концентрация молекул на высоте z, n0 – концентрация молекул на высоте z0 = 0, M молярная масса, m – масса молекулы, g – ускорение свободного падения, R – универсальная газовая постоянная, k – постоянная Больцмана, T – температура. В предельных случаях: если , то и молекулы равномерно распределяются по высоте (рис. 1); если , то и молекулы располагаются на нулевом уровне (рис. 4). Если число молекул, имеющих большую потенциальную энергию, увеличивается по экспоненциальному закону , то такое распределение можно назвать «антибольцмановским», или инверсным (рис. 2).

3. Зависимость концентрации молекул идеального газа во внешнем однородном поле силы тяжести от высоты для двух разных температур (Т2 > Т1) представлена на рисунке …

1.   2. 3.   4.

Решение: Зависимость концентрации молекул идеального газа от высоты h для некоторой температуры T определяется распределением Больцмана: , где n0 – концентрация молекул на высоте h = 0, m0 – масса молекулы, g – ускорение свободного падения, k – постоянная Больцмана. Из формулы следует, что при постоянной температуре концентрация газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул Wp, и уменьшается с высотой по экспоненциальному закону тем медленнее, чем больше температура: Т2 > Т1. С повышением температуры из-за увеличения энергии хаотического теплового движения молекулы более равномерно распределяются по высоте, и поэтому концентрация молекул газа на «нулевом уровне» (h = 0) уменьшается, а на высоте h увеличивается.

4. На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от υ до υ + dυ в расчете на единицу этого интервала. Для этой функции является верным утверждение, что …	1. с увеличением температуры величина максимума функции увеличивается 2.при изменении температуры площадь под кривой не изменяется 3.при изменении температуры положение максимума не изменяется 4.с уменьшением температуры величина максимума функции уменьшается
Решение: Полная вероятность равна: , т.е. площадь, ограниченная кривой распределения Максвелла, равна единице и при изменении температуры не изменяется. Из формулы наиболее вероятной скорости , при которой функция максимальна, следует, что при повышении температуры максимум функции сместится вправо.

5. Внутренняя энергия молекулярного азота (газ считать идеальным) в результате процесса 1-2-3, изображенного на рисунке, изменяется на ___ Дж.	1.6 2. 3. 4 4. 0
Решение: Изменение внутренней энергии как функции состояния не зависит от вида процесса, а определяется значением параметров газа в начальном и конечном состоянии. Следовательно, . Из диаграммы процесса видно, что ; значит, (точки 1 и 3 лежат на одной изотерме). Изменение внутренней энергии равно .

6. При увеличении давления в 3 раза и уменьшении объема в 2 раза внутренняя энергия идеального газа …	1. увеличится в 1,5 раза 2.уменьшится в 1,5 раза 3. уменьшится в 6 раз 4. увеличится в 6 раз
Решение: Внутренняя энергия идеального газа равна (учитываем, что , где р – давление, V – объем, полное число степеней свободы, R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура, m – масса газа, M – молярная масса газа. Учитывая, что , , получаем . Следовательно, .

7. Идеальный газ имеет минимальную внутреннюю энергию в состоянии …

1.2 2.1,2,3 3.3 4.1

Решение: Внутренняя энергия идеального газа равна (учитываем, что ), где р – давление, V – объем, i – полное число степеней свободы, R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура, m – масса газа, M – молярная масса газа. В нашем случае минимальное значение произведения соответствует состоянию газа, обозначенному на p-V диаграмме точкой 1. Следовательно, идеальный газ имеет минимальную внутреннюю энергию в состоянии 1.

8.На рисунке представлены графики зависимости концентрации молекул идеального газа n от высоты h над уровнем моря для двух разны температур – Т1, Т2 (распределение Больцмана). Для графиков этих функций верными являются утверждения, что …

Укажите не менее двух вариантов ответов 1. концентрация молекул газа на «нулевом уровне» (h = 0) с повышением температуры уменьшается 2. температура Т2 выше температуры Т1 3.температура Т2 ниже температуры Т1 4.концентрация молекул газа на «нулевом уровне» (h = 0) с повышением температуры увеличивается

9. Зависимость давления р идеального газа во внешнем однородном поле силы тяжести от высоты h для двух разных температур представлены на рисунке. Для графиков этих функций невернымявляются утверждения, что …

Укажите не менее двух вариантов ответов 1. зависимость давления идеального газа от высоты определяется не только температурой газа, но и массой молекул 2.температура Т1 ниже температуры Т2 3.температура Т1 выше температуры Т2 4.давление газа на высоте h равно давлению на «нулевом уровне» (h = 0), если температура газа стремится к абсолютному нулю

10. На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от υ до υ + dυ в расчете на единицу этого интервала. Для этой функции верными являются утверждения, что …

Укажите не менее двух вариантов ответов 1. при изменении температуры положение максимума не изменяется 2. с увеличением температуры величина максимума функции увеличивается 3. при изменении температуры площадь под кривой не изменяется 4. с увеличением температуры максимум кривой смещается в право

11. На рисунке представлены графики функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от υ до υ + dυ в расчете на единицу этого интервала. Для этой функции верными являются утверждения, что …

Укажите не менее двух вариантов ответов 1. распределение 1 соответствует газу, имеющему наименьшую массу молекул 2. распределение 1 соответствует газу, имеющему наибольшую массу молекул 3.распределение 3 соответствует газу, имеющему наименьшую температуру 4. распределение 3 соответствует газу, имеющему наибольшую температуру

12. На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от υ до υ + dυ в расчете на единицу этого интервала. Для этой функции неверными являются утверждения, что …

Укажите не менее двух вариантов ответов 1. при понижении температуры площадь под кривой уменьшается 2. при понижении температуры величина максимума функции уменьшается 3. положение максимума кривой зависит не только от температуры, но и от природы газа 4. с ростом температуры наиболее вероятная скорость молекул увеличивается

8. Средняя энергия молекул

1. Если не учитывать колебательные движения в линейной молекуле углекислого газа СО2 (см. рис.), то отношение кинетической энергии вращательного движения к полной кинетической энергии молекулы равно …

1. 2. 3. 4.

Решение: Средняя кинетическая энергия молекулы равна , где k – постоянная Больцмана, T – термодинамическая температура, i – сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы: . Для линейной молекулы углекислого газа СО2 (см. рис.) число степеней свободы поступательного движения , вращательного – , колебательного – , поэтому i = 3 + 2 + 0 = 5. Следовательно, средняя кинетическая энергия молекулы СО2 равна . Средняя энергия вращательного движения и составляет части от полной энергии.

2. Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул в 2 г водорода при температуре 100 К равна …

Введите ответ: 831

Решение: Средняя кинетическая энергия одной молекулы равна , где k – постоянная Больцмана, T – термодинамическая температура, i – сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы . Молекула водорода H2 имеет 2 вращательные степени свободы, следовательно, . В 2 г водорода содержится молекул, где m – масса газа, M – молярная масса водорода, NA – число Авогадро. Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул будет равна:

3. Из предложенных ниже идеальных газов выберите те, для которых отношение молярных теплоемкостей равно (колебаниями атомов внутри молекулы пренебречь).

Укажите не менее двух вариантов ответов 1. Водяной пар 2. Гелий 3. Воздух 4. Кислород

Решение: Из отношения ; найдем сумму числа поступательных и числа вращательных степеней свободы молекулы i = 5, . На рисунке изображена модель молекулы газа, для которой выполняется последнее равенство. Прямыми стрелками показаны вероятные направления поступательного движения молекулы, круглыми – вращательного движения. Из предложенных газов этому условию удовлетворяет воздух, т.к. в этой смеси газов большую часть составляют двухатомные газы азот и кислород, и газ кислород.

4. Средняя кинетическая энергия молекул газа при температуре Т зависит от их конфигурации и структуры, что связано с возможностью различных видов движения атомов в молекуле и самой молекулы. При условии, что имеет место только поступательное и вращательное движение молекулы как целого, средняя кинетическая энергия молекул азота (N2) равна …

1. 2. 3. 4.

Решение: Для статистической системы в состоянии термодинамического равновесия на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная , а на каждую колебательную степень – kT. Средняя кинетическая энергия молекулы равна , где i – сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы. При условии, что имеют место только поступательное и вращательное движение, сумма числа степеней свободы равна ; где – число степеней свободы поступательного движения, равное ; – число степеней свободы вращательного движения, которое может быть равно . Для молекулярного азота (двухатомной молекулы) и . Следовательно, i = 3 + 2 = 5 (3 степени свободы поступательного движения по направлениям осей ординат X, Y, Z и 2 степени свободы вращательного движения вокруг осей Y и Z) (см. рис.). Тогда средняя энергия молекул азота (N2) равна .

5. Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении равна , где R = 8,31 Дж/(кг∙моль) – универсальная газовая постоянная. Число вращательных степеней свободы молекулы равно …

1. 2 2. 3 3.9 4.1

Решение: Молярные теплоемкости CV и Cp в изохорном и изобарном процессах соответственно равны: и . Сравним: . Сумма числа степеней свободы i = 7 может быть представлена как ; где – число степеней свободы поступательного движения ; – число степеней свободы вращательного движения, которое может быть равно ; – число степеней свободы колебательного движения, минимальное количество которых равно 1 (см. рис.). Следовательно, 7 = 3 + + 2 и = 2.

6. Изменение внутренней энергии газа при изохорном процессе возможно …

1. в результате совершения газом работы 2. без теплообмена с внешней средой 3. в результате совершения внешними силами работы над газом 4.при теплообмене с внешней средой

Решение: Согласно первому началу термодинамики изменение внутренней энергии системы определяется формулой , где Q – количество теплоты, переданное системе внешней средой и не связанное с изменением объема; – работа, совершенная внешними телами над системой и связанная с изменением объема. Так как при изохорном процессе объем V = const то работа . Тогда первое начало термодинамики приобретает вид: , т.е. изменение внутренней энергии возможно лишь при передаче газу теплоты извне (либо при передаче газом теплоты внешним телам).

7. Идеальный газ переводят из состояния 1 в состояние 3 двумя способами: по пути 1-3 и 1-2-3. Отношение работ , совершенных газом, равно …	1.2 2. 1,5 3.3 4.4
Решение: Работу газа можно найти как площадь под графиком процесса. В процессе 1-3 работа газа равна: . С учетом того, что в изохорном процессе 2-3 газ работу не совершает , имеем : Отношение работ равно: .

8. На рисунке изображен циклический процесс, происходящий с одним молем двухатомного идеального газа. Газ совершает работу только за счет полученного извне тепла на участке…

1. 2-3 2. 1-2 3. 1-2, 2-3 4.3-1

Решение: Из графика видно, что газ получает теплоту в процессах 1-2 и 3-1. Переход 3-1 осуществляется при постоянном объеме, следовательно, работа газа А3-1 = 0. Из графика видно, что точки 1 и 2 лежат на одной изотерме, т.к. ; следовательно, Т1 = Т2 и изменение внутренней энергии . По I началу термодинамики для процесса 1-2 количество теплоты равно: , т.е. газ совершает работу только за счет полученного извне тепла. Процесс 2-3 является изобарным сжатием, газ передает тепло внешней среде.

9. При комнатной температуре отношение молярных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме равно для …

1. водяного пара 2. воздуха 3. кислорода 4. гелия

10. В соответствии с законом распределения энергии по степеням свободы средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа при температуре Т равна: . Здесь , где , и – число степеней свободы поступательного, вращательного и колебательного движений молекулы соответственно. Для гелия (Не) число i равно …

1. 5 2. 6 3. 3 4. 7

11. Средняя кинетическая энергия молекул газа при температуре Т зависит от их конфигурации и структуры, что связано с возможностью различных видов движения атомов в молекуле и самой молекулы. При условии, что имеет место поступательное, вращательное движение молекулы как целого и колебательное движение атомов в молекуле, средняя кинетическая энергия молекулы кислорода (О2) равна …

1. 2. 3. 4.

12. Кинетическая энергия (в Дж) всех молекул в 2 г неона при температуре 300 К равна …

1.249 2. 374 3. 748 4. 831

13. Если учитывать колебательное движение в молекуле водяного пара, то отношение кинетической энергии вращательного движения к полной кинетической энергии молекулы равно …

1. 2. 3. 4.

9. Второе начало термодинамики. Энтропия. Циклы.

1. КПД цикла Карно равен 40%. Если на 20% увеличить температуру нагревателя и на 20% уменьшить температуру охладителя, КПД (в % ) достигнет значения …	Введите ответ: 60
Решение: КПД обратимого цикла Карно равен: или (в долях). После изменения температуры , . Первоначальный КПД равен, следовательно, , отсюда . После изменения ,

2. Адиабатному расширению газа (р – давление, V – объем, Т –температура, S – энтропия) соответствует диаграмма …

Укажите не менее двух вариантов ответов 1.3 2.6 3.5 4.2 5.4 6.1

Решение: Для адиабатного процесса , тогда изменение энтропии системы и , т.к. . Верным будет график 1. На графике 2 энтропия возрастает. Сравнивая графики 4 и 3, исключаем последний, т.к. он соответствует изохорному процессу. Для адиабатного процесса: , где коэффициент Пуассона . Обозначив , получим . Следовательно, p ~ Tn , график степенной функции изображен на рисунке 4. Для графиков 5 и 6 можно применить формулу . Обозначив , получим , т.е. V ~ . График обратной степенной функции похож на график гиперболы. Следовательно, график 5 не отвечает адиабатному процессу, так же как и график 6.

3. Чтобы расплавить некоторую массу меди, требуется большее количество теплоты, чем для плавления такой же массы цинка, так как удельная теплота плавления меди в 1,5 раза больше, чем цинка ( Дж/кг, Дж/кг). Температура плавления меди примерно в 2 раза выше температуры плавления цинка ( ). Разрушение кристаллической решетки металла при плавлении приводит к возрастанию энтропии. Если энтропия цинка увеличилась на , то изменение энтропии меди составит …

1. 2. 3. 4.

Решение: В термодинамике изменение энтропии определяется формулой , где – количество теплоты, полученное системой при температуре Т. Пусть изменение энтропии при плавлении цинка , тогда энтропия меди при ее плавлении возрастет на . Найдем отношение . Следовательно, .

4. Уравнение кинетической теории для давления идеального газа имеет вид , где n – концентрация молекул. Для газа водорода равно …	1. 2. 3. 4.
Решение: Давление газа обусловлено ударами молекул о стенку сосуда и определяется средним значением кинетической энергии поступательного движения молекул, а значит, поступательными степенями свободы . Следовательно, и не зависит от вида газа.

5. На каждую степень свободы движения молекулы приходится одинаковая энергия, равная (k – постоянная Больцмана, T – температура по шкале Кельвина). Средняя кинетическая энергия атомарного водорода равна …	1. 2. 3. 4.
Решение: Средняя кинетическая энергия молекулы равна , где i – число степеней свободы молекулы. Атомарный водород – это одноатомный газ, атомы которого в данной модели участвуют только в поступательном движении . Число степеней свободы , т.к. положение центра инерции атома задается тремя координатами (x, y, z). Следовательно, .