Не зацикливайтесь на деталях

В пятницу вечером вы выбрались с друзьями в клуб поиграть в бильярд . Сейчас

мы говорим о бильярде из реального мира, а не о «бильярде физиков», в кото-

Глава 8 . Энтропия и беспорядок

ром мы пренебрегаем трением и шумом .11 Один из ваших друзей только что

эффектно разбил пирамиду . Раскатившиеся по столу шары остановились, вы

принялись обдумывать свой следующий удар, и вдруг проходящий мимо не-

знакомец восклицает: «Ух ты! Это невероятно!»

В недоумении вы спрашиваете, что же тут невероятного, и слышите в ответ:

«Вы только посмотрите: все эти шары оказались ровно в этих точках на столе!

Какова вероятность того, что вам когда-либо удастся расположить их в точ-

ности таким же образом? Да вы не сможете повторить этого и за миллион лет!»

От загадочного незнакомца попахивает безумием — наверное, он немного

свихнулся, читая слишком много философских трактатов об основах статисти-

ческой механики . Однако в его словах есть определенный смысл . На столе

с несколькими шарами появление любой заданной конфигурации крайне мало-

вероятно . Представьте, что вы запустили биток в группу случайным образом

расставленных по столу шаров, а они, покатавшись туда-сюда, остановились

ровно в тех же точках, в которых находились до удара . Увидев такое, вы были

бы поражены до глубины души! Однако вероятность данной конфигурации

(конечные положения в точности совпадают с начальными) не больше и не

меньше вероятности любого другого расположения шаров на столе .12 Имеем

ли мы право выделять ее на фоне других, называя «поразительной» или «не-

вероятной», а все остальные именовать «непримечательными» или «случай-

ными»?

Этот пример превосходно иллюстрирует центральный вопрос больцманов-

ского определения энтропии и понимания второго начала термодинамики: кто

решает, можно ли считать два данных микроскопических состояния системы

одинаковыми с нашей, макроскопической, точки зрения?

Формула для энтропии, выведенная Больцманом, основывается на величи-

не W, которую мы определили как «количество способов разместить микро-

скопические составляющие системы так, чтобы ее макроскопический образ не

изменился» . В предыдущей главе мы определили «состояние» физической

системы как полный набор информации, необходимой для однозначного опи-

сания ее движения с течением времени; в классической механике это положения

и импульсы всех составляющих систему частиц . Теперь, когда мы рассматрива-

ем статистическую механику, удобно использовать термин «микросостояние»,

подразумевая точное состояние системы, в противоположность «макрососто-

янию», включающему лишь те характеристики, которые поддаются наблюдению

с макроскопической точки зрения . В этом случае можно дать величине W

краткое определение: число микросостояний, соответствующих данному ма-

кросостоянию .

Часть III . Энтропия и ось времени

Для контейнера с газом, разделенного перегородкой на две половины,

микросостоянием в любой момент времени является список положений и им-

пульсов всех молекул газа . Однако нас интересовало только, сколько молекул

находится слева от перегородки, а сколько — справа . Неявным образом каждый

вариант деления группы молекул на части — сколько-то слева, а оставшиеся

справа — определял «макросостояние» контейнера . А когда мы вычисляли

значения W, мы всего лишь подсчитывали количество микросостояний, соот-

ветствующих данному макросостоянию .13

Раньше решение не отслеживать ничего, кроме количества молекул в каждой

половине контейнера, казалось нам совершенно безобидным . Но мы могли бы

следить и за массой других параметров . Имея дело с атмосферой в настоящей

комнате, мы можем учитывать намного больше параметров, чем просто коли-

чество молекул в каждой части помещения: например, отслеживать темпера-

туру, плотность и атмосферное давление в каждой точке комнаты или, по

крайней мере, в некотором наборе точек . Если в атмосфере содержится смесь

газов, то мы могли бы по отдельности следить за плотностью и другими пара-

метрами каждого из газов . В любом случае, объем информации, которым нам

пришлось бы при этом манипулировать, все равно был бы намного меньше, чем

если бы мы записывали положения и импульсы всех молекул в комнате . Тем не

менее процедура выбора, какую информацию относить к макроскопическим

характеристикам, а какую отбрасывать как несущественную составляющую

микросостояния, определена недостаточно четко .

Процесс деления пространства микросостояний какой-то физической систе-

мы (газ в контейнере, стакан воды или Вселенная) на наборы, которые мы по-

мечаем как «макроскопически неразличимые», называется «огрублением» . Это

такая черная магия, играющая критически важную роль в наших рассуждениях

об энтропии . Рисунок 8 .5 демонстрирует, как она работает: мы всего лишь делим

пространство всех состояний системы на области (макросостояния), которые

с точки зрения макроскопического наблюдателя кажутся одинаковыми . Каждая

точка внутри любой такой области соответствует одному из микросостояний,

а энтропия, связанная с данным микросостоянием, пропорциональна логарифму

площади этой области, которому это микросостояние принадлежит (в действи-

тельности не площади, а объема, так как мы говорим о чрезвычайно многомерном

пространстве) . При взгляде на подобную схему становится очевидно, почему

энтропия имеет тенденцию к увеличению: как правило, система развивается по

направлению от состояний с низкой энтропией, соответствующих крошечной

части пространства состояний, к состояниям из объемных областей, с которыми

связаны большие значения энтропии .

Глава 8 . Энтропия и беспорядок

Рис . 8 .5 . Процедура огрубления представляет собой разделение пространства всех воз-

можных микросостояний на области, считающиеся неразличимыми с макроскопической

точки зрения, — макросостояния . С каждым макросостоянием связано значение энтропии,

пропорциональное логарифму объема этого макросостояния в пространстве состояний .

Размер областей с низкой энтропией увеличен в целях наглядности; в действительности они

чрезвычайно малы по сравнению с областями с высокой энтропией

Рисунок 8 .5 не масштабирован; если бы мы хотели представить реальную

систему, то макросостояния с низкой энтропией занимали бы намного меньшую

площадь по сравнению с площадью, отведенной под макросостояния с высокой

энтропией . Как мы убедились на примере с поделенным на две части контей-

нером, количество микросостояний, соответствующих макросостояниям

с высокой энтропией, куда больше количества микросостояний, определяющих

макросостояния с низкой энтропией . Нет ничего удивительного в том, что

система с низкой начальной энтропией перейдет в более объемные области

пространства состояний, к макросостояниям с высокой энтропией . Если же

вначале система обладает высокой энтропией, то она может очень долго блуж-

дать по пространству состояний, не встречая при этом областей с низкой эн-

тропией . Вот что мы имеем в виду, говоря, что система находится в равновесии:

она не находится в статическом микросостоянии, просто никогда не выходит

из области, соответствующей макросостоянию с высокой энтропией .

Все эти рассуждения могут показаться вам нелепыми . Два микросостояния

принадлежат одному и тому же макросостоянию, если они макроскопически

неразличимы . Но это всего лишь один из способов сказать: «…когда мы не

можем отличить одно от другого, основываясь на своих макроскопических

Часть III . Энтропия и ось времени

наблюдениях» . Именно это «мы» и должно вызывать у вас тревогу . Почему

вообще мы приплели сюда какие-то свои способности? Мы говорим об энтро-

пии как о характеристике всего мира, а не как об одной из сторон нашего умения

воспринимать мир . Два стакана воды находятся в одном и том же макрососто-

янии, если весь объем воды в них имеет одинаковую температуру, даже если

распределения положений и импульсов молекул воды в них отличаются, по-

тому что мы не можем непосредственно измерить эти величины . Однако пред-

ставьте себе, что нам встретилась раса супернаблюдательных инопланетян,

способных впериться взором в толщу воды и увидеть положения и импульсы

каждой заключенной там молекулы . Неужели эта раса вправе будет заявить, что

энтропии вообще не существует?

Ученые, работающие в области статистической механики, пока что не при-

знали единственно верным ни один из возможных ответов на озвученные выше

вопросы (если бы это произошло, то мы бы только его и рассматривали) . Да-

вайте обсудим пару мнений .

Прежде всего, многие считают, что это вообще не важно . То есть вам-то

может быть очень даже важно, как именно вы будете объединять микрососто-

яния в макросостояния в целях какой-то конкретной актуальной для вас физи-

ческой задачи, но в конечном итоге не имеет значения, как вы сделаете это, если

единственная ваша цель — доказать истинность какого-то утверждения вроде

второго начала термодинамики . Если посмотреть на рис . 8 .5, станет понятно,

почему второе начало термодинамики работает: в пространстве состояний

гораздо больший объем отведен под состояния с высокой энтропией, чем

с низкой, поэтому если мы начнем путешествие из последнего состояния, нет

ничего удивительного в том, что в итоге мы окажемся в первом . Однако так

будет всегда, независимо от того, как мы отсортируем микросостояния . Второе

начало термодинамики непоколебимо; оно зависит от определения энтропии

как логарифма от некоего объема внутри пространства состояний, но не от

точного способа выбрать этот объем . Как бы то ни было, на практике из мно-

жества альтернатив мы выбираем что-то одно, поэтому такая прозрачная по-

пытка избежать прямого ответа не может нас полностью удовлетворить .

Второе мнение заключается в том, что выбор — как именно провести

огрубление — не может быть абсолютно произвольным и зависящим от чело-

века, даже если без определенной степени предвзятости не обойтись . Действи-

тельно, мы сортируем микросостояния естественным, на наш взгляд, образом,

учитывая реальные физические условия, а не собственные прихоти . Например,

наблюдая за температурой и давлением в стакане воды, мы отбрасываем ту

информацию, получить которую можно лишь путем изучения содержимого

Глава 8 . Энтропия и беспорядок

данного стакана под микроскопом . Мы определяем средние свойства в отно-

сительно небольших областях пространства, потому что так работают наши

органы чувств . Определившись с доступными критериями огрубления, мы

получаем относительно хорошо определенный набор поддающихся макроско-

пическому наблюдению величин .

Усреднение величин в небольших областях пространства — это не случай-

ный метод и не специфическая особенность функционирования человеческих

органов чувств в противоположность органам чувств гипотетических ино-

планетян . Это совершенно естественный подход с учетом того, как работают

законы физики .14 Когда я среди нескольких чашек кофе отмечаю те, куда только

что вылили ложку молока, и те, в которых молоко уже хорошенько перемешали

с основным содержимым, мои решения, к какой категории «состояний кофе»

отнести ту или иную чашку, не случайны; я руководствуюсь тем, как кофе, с моей

точки зрения, выглядит — непосредственно и феноменологически . Итак, даже

если, в принципе, наш подход к огрублению микросостояний в макросостояния

кажется абсолютно произвольным, в действительности мудрая природа одари-

ла нас умением делать это правильно и разумно .