Динаміка обертального руху

Для виводу основного рівняння динаміки обертального руху скористаємося позначеннями, що пояснюються рисунком 1.3.

Рисунок 1.3

= - момент сили відносно точки (початку координат),

- радіус-вектор точки А відносно початку координат (т.о.),

- радіус-вектор точки А відносно осі (радіус-вектор сили),

|| осі (в площині паралельній осі),

| осі (в площині перпендикулярній осі),

= - момент сили відносно осі, чисельно дорівнює проекції на вісь.

= - момент імпульсу відносно початку координат.

= d /dt – основний закон динаміки обертального руху.

Якщо система замкнена (тобто сума моментів зовнішніх сил дорівнює нулю), то закон збереження моменту імпульсу має вигляд:

d /dt = 0; L₀ = const

= d(I^. )/dt = I^.d /dt = I^. - основне рівняння динаміки обертального руху.

I = - момент інерції тіла, міра інертності в обертально­му русі.

Робота при обертальному русі

dA = M^.d

Кінетична енергія тіла, що обертається:

E_k = I^. /2

Теорема Штейнера: момент інерції тіла відносно довільної осі:

I = I₀ + m^.a²

I₀ – момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр мас паралельно до даної,

a – відстань між осями.

Приклади розв'язку задач

Приклад 1. Рівняння руху матеріальної точки вздовж осі х має ви­гляд: х = А + Вt + Ct³, де А = 2м, В = 1 м/с, С = - 0,5 м/с³. Знайти координату х, швидкість V_x та прискорення а_х точки в момент часу t = 2с.

Розв'язок

Координату х знайдемо, підставивши в рівняння числові значе­ння коефіцієнтів А, В і С та часу t:

х = (2 + 1 ^.2 - 0,5 ^.2³)м = 0

Миттєва швидкість відносно осі х є перша похідна від координати по часу:

V_x = dx/dt = B + 3Ct²

Прискорення - друга похідна від швидкості:

а_х = d V_x /dt = 6 Ct

В момент часу t = 2с:

V_x = (1 - 3 ^.0,5 ^.2²) = - 5 м/с,

а_х = 6 ^.(- 0,5) ^.2 м/с² = - 6 м/с²

Приклад 2. Тіло обертається навколо нерухомої осі по закону = А + Вt + Ct², де А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = - 2 рад/с². Знайти повне прискорення точки, що знаходиться на відстані r = 0,1м від осі обертання, для моменту часу t = 4с.

Розв'язок

Повне прискорення точки:

= + ,

де - тангенціальне прискорення,

- нормальне прискорення (див. рисунок 1.4)

Рисунок 1.4

та взаємно-перпендикулярні, тому модуль прискорення

a =

а = ^. r, а_n = ^. r,

де - модуль кутової швидкості,

- модуль кутового прискорення.

а = = r ^. (1.1)

Кутова швидкість = d /dt = В + Сt.

В момент часу t = 4с модуль кутової швидкості

= [20 + 2^.(-2) ^.4] рад/с = 4 рад/с.

Кутове прискорення = d /dt = 2С = - 4 рад/с².

Підставивши значення , та r в формулу (1.1), одержимо

а = 0,1^. = 0,564 м/с².

Приклад 3. При пострілі із пружинного пістолета вертикально вгору куля масою m = 20г піднялась на висоту h = 5м. Визначити жорсткість пружини пістолета, якщо вона була стиснута на х = 10см. Масою пружини та силами тертя знехтувати.

Розв'язок

Використовуємо закон збереження енергії в механіці, тому що в системі пружина-куля діють тільки консервативні сили.

Е_к1 + Е_р1 = Е_к2 + Е_р2,

де Е_к1 - кінетична енергія системи до пострілу,

Е_р1 - потенціальна енергія системи до пострілу,

Е_к2 - кінетична енергія системи в кінцевому стані,

Е_р2 - потенціальна енергія системи в кінцевому стані.

Е_к1 = Е_к2 = 0,

Е_р1 = Е_р2 (1.2),

Е_р1 = kx²/2, Е_р2 = mgh.

Після підстановки Е_р1 та Е_р2 в формулу (1.2) одержимо

k = 2 mgh/x².

Перевірка на відповідність одиницям вимірювання:

[k] = кг^.м^.м/с²/м² = кг/с² = Н/м,

k = 2^.0,02^.9,81^.5/(0,1)² = 196 Н/м.

Приклад 4. Куля масою m₁, що рухається горизонтально з деякою швидкістю V₁, стикається з нерухомою кулею масою m₂. Кулі аб­солютно пружні. Удар прямий, центральний. Яку частину своєї кінетичної енергії перша куля передала другій?

Розв'язок

Частина енергії, що передана першою кулею другій, буде визначатися співвідношенням:

= Е_к2/Е_к1 = m₂ /m₁ = m₂/m₁(U₂/V₁)², (1.3)

де Е_к1 – кінетична енергія першої кулі до зіткнення,

Е_к2 – кінетична енергія другої кулі після зіткнення,

U₂ – швидкість другої кулі після зіткнення.

По закону збереження імпульсу:

m₁V₁ = m₁U₁ + m₂U₂ (1.4)

По закону збереження енергії:

m₁ /2 = m₁ /2 + m₂ /2 (1.5)

Розв'язуємо систему рівнянь (1,4) та (1,5):

U₂ = 2m₁V₁/(m₁ + m₂)

Підставляємо цей вираз в формулу (1,3) і одержуємо:

= m₂/m₁[2m₁V₁/ V₁/(m₁ + m₂)]² = 4m₁m₂/(m₁ + m₂)²

Із одержаного співвідношення видно, що доля переданої енергії залежить тільки від мас взаємодіючих куль.

Приклад 5. Маховик у вигляді суцільного диску радіусом R = 0,2м і масою m = 50кг розкручений до частоти n₁ = 480 хв^-1 . Під дією сил тертя він зупинився через t = 50 с. Знайти момент сил тертя.

Розв'язок

Скористаємося основним рівнянням динаміки обертального руху у вигляді:

dL_z = M_zdt, (1.6)

де dL_z - зміна проекції на вісь z моменту імпульсу маховика, що обертається відносно осі z, яка співпадає з геометричною віссю маховика, за інтервал часу dt; M_z – момент зовнішніх сил (сил тертя), діючих на маховик віднос­но осі z.

Момент сил тертя можна вважати сталим у часі, тому інтегру­ван­ня рівняння (1.6) приводить до виразу:

DL_z = M_zDt, (1.7)

При обертанні твердого тіла відносно нерухомої осі зміна проекції моменту імпульсу може бути записана як:

DL_z = I_z , (1.8)

де I_z – момент інерції маховика відносно осі z, - з міна кутової швидкості маховика.

Прирівнявши праві частини (1.7) і (1.8), одержуємо

M_zDt = I_z , звідки:

M_z = I_z^.D /Dt. (1.9)

I_z = mR²/2 – момент інерції суцільного диска,

= - = 2 n₂ - 2 n₁ = 2 (n₂ - n₁).

Підставляючи в формулу (1.9) вирази I_z та одержимо:

M_z = mR² (n₂ - n₁)/Dt. (1.10)

Перевірка розмірності розрахункової формули (1.10):

[M_z] = кг^.м^2.с^-1/с = кг^.м²/с² = Н^.м,

M_z = 3,14^.50^.(0,2)^2.(0 - 8)/50 = - 1 Н^.м.

Знак мінус вказує, що момент сил тертя буде гальмувати маховик.

Приклад 6. Платформа у вигляді суцільного диска радіусом R = 1,5м і масою m = 180 кг обертається навколо вертикальної осі, яка проходить через її центр мас, з частотою n₁ = 10 хв^-1. В центрі платформи стоїть людина масою m = 60кг. Яку лінійну швидкість V відносно підлоги приміщення буде мати людина, якщо вона перейде на край платформи?

Розв'язок

Скористаємося законом збереження моменту імпульсу. Момент зовнішніх сил відносно осі обертання z, що співпадає з геометричною віссю платформи, можна вважати рівним нулю (за умовами задачі).

При цій умові:

L_z = I_z ×w, (1.11)

де I_z – момент інерції платформи з людиною,

- кутова швидкість платформи,

I_z = I₁ + I₂ - в початковому стані,

= + - в кінцевому стані.

З урахуванням цього рівняння (1.11) приймає вигляд:

(I₁ + I₂) = ( + ) (1.12)

Момент інерції платформи не змінюється: I₁ = = m₁R²/2.

Момент інерції людини змінюється: I₂ = 0, = m₂R².

Підставляємо моменти інерції в рівняння (1.12), а також враховуємо, що = 2 n, а кінцева швидкість платформи = V/R, де V - швидкість людини відносно підлоги.

(m₁R²/2 + 0) ^.2 n = (m₁R²/2 + m₂R²) ^.V/R

V = 2 nRm₁/(m₁ + 2m₂)=2 3,14 1,5 30/(180+120)=0,94 м/с.

Перевіримо розмірність:

[V] = с^-1.м^.кг/кг = м/с