Математическое описание цифровых САУ

Глава I

Структурно-операторное описание цифровой системы управления

Математическое описание цифровых САУ

В системах управления, содержащих ЭВМ или микропроцессорный регулятор, сигналы квантуются по времени и по уровню. На рис.1.1 представлена одноконтурная система с управляющей ЭВМ. Съём сигналов с датчиков (Д) (опрос датчиков) осуществляется, как правило, с постоянным периодом Т. На схеме квантователь сигналов по времени изображен в виде ключа.

 
  Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

Рис. 1.1. Функциональная схема одноконтурной системы с управляющей ЭВМ

Если время съёма информации мало, то сигнал с выхода ключа представляет собой значение сигнала x(t) в дискретные моменты времени kT, где k=0,1,2,…( рис.1.2 а, б).

 
  Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

Рис. 1.2. Реальные и идеальные импульсные функции

а) непрерывная функция х(t); б) импульсная (решетчатая) функция x[kT]

Дискретный сигнал x[kT] в аналого-цифровом преобразователе А/Ц квантуется как по времени, так и по уровню. Управляющие ЭВМ обычно восьми или шестнадцати разрядные. В шестнадцати разрядной сетке последний разряд составляет 0,007% от уровня сигнала. Величина эта ниже величины шумов, поэтому дискретностью по уровню можно пренебречь.

После обработки информации сигналы с ЭВМ снимаются также с периодом Т и с задержкой на время выполнения алгоритма управления ТA. За тем эти сигналы поступают на цифро-аналоговый преобразователь Ц/А, с выхода которого снимаются импульсы конечной длительности ТИ (рис.1.3 а). Для простоты изложения сигналы на рис 1.2 и 1.3 совпадают по величине, т.е. передаточные функции алгоритма ЭВМ и Ц/А приняты равными единице. Поетому на рис.1.1 сигналу u*(t) соответствует сигнал x*(t) . Как правило, длительность ТИ равны периоду квантования, т.е. ТИ=Т.

 
  Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

Рис. 1.3. Последовательность идеальных d-импульсов

Таким образом, если не учитывать квантования по уровню, управляющая ЭВМ обрабатывает и выдает импульсные сигналы. Поэтому при описании управляющего алгоритма теряется смысл производной и интеграла, так как минимальное приращение временного интервала Dt=T. В этом случае производная по времени

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

заменяется дискретной функцией

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru (1.1)

называемой первой разностью. Величина Т=const, поэтому выражение (1.1) часто представляю в относительном времени, т.е. аргументом является число прошедших тактов квантования

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Аналогично определяются вторая и более высокие разности. Операция интегрирования для импульсных функций заменяется суммированием, а дифференциальные уравнения – разностными. Например, простейшее дифференциальное уравнение первого порядка

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

представляется как разностное уравнение первого порядка

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru ,

где

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

Динамическое звено n-го порядка реализуется алгоритмом работы ЭВМ как разностное уравнение того же порядка. Его удобно представлять, используя оператор сдвига D

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru (1.2)

где

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

Чтобы получить единообразное описание всей замкнутой системы, необходимо объект управления представить также дискретной моделью. Такое представление может быть осуществлено с помощью преобразования вида (1.1), но это может привести к значительным погрешностям. Для получения точной дискретной модели используется понятие идеального импульсного элемента или сигнала. Идеальный импульсный элемент (сигнал) преобразует непрерывный сигнал x(t) в дискретный по времени сигнал Математическое описание цифровых САУ - student2.ru , представляющий последовательность идеальных импульсов, площадь которых в моменты времени равна значению функции (сигнала) x(t) в эти моменты времени (рис.1.3б). Аналитическая зависимость между этими сигналами определяется выражением

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.3)

где Математическое описание цифровых САУ - student2.ru - идеальный импульс, равный нулю при t - kT > 0 и t - kT < 0, и площадью, равной единице при t - kT = 0, то есть в момент времени t = kT (дельта функция). Очевидно, что амплитуда такого сигнала равна бесконечности. Поэтому импульсы на рис.1.3 б изображены в виде стрелок.

Найдем преобразование Лапласа для этой импульсной последовательности

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Так как дискретная функция x[kT] относительно аргумента t является постоянной величиной и равна 0 между моментами kT,

можно записать

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

(1.4)

Учитывая, что

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru ,

получим

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Преобразование (1.4) является дискретным эквивалентом непрерывного преобразования Лапласа. Для упрощения записи обозначим Математическое описание цифровых САУ - student2.ru через z. В резильтате получим следующее выражение

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

Выражение (1.5) называется Z - преобразованием. Этот бесконечный ряд сходится, если Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Для перехода от непрерывной передаточной функции объекта к дискретной передаточной функции, связывающей дискретные входные и выходные сигналы после ключей (квантователей по времени), примем, что эти квантователи (ключи) работают синхронно. Импульсы, поступающие на вход объекта, согласно (1.3) описываются следующим образом:

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.6)

Реакция на единичный импульс последовательности (1.6) определятся весовой функцией объекта Математическое описание цифровых САУ - student2.ru . Напомним, что весовая функция – это реакция звена на дельта - функцию.

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru ,

где h(t) - реакция этого же звена (объекта) на единичное воздействие 1(t).

Следовательно, сигнал с выхода объекта определяется зависимостью

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.7)

Учитывая, что сигнал y(t) после квантователя передается в ЭВМ в дискретные моменты nT (номер такта n не равен номеру k) ,

из (1.7) получим

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.8)

Подвергнем выражение (1.8) дискретному преобразованию Лапласа

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Обозначим n-k=g или n=g+k.

Тогда

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Принимая во внимание, что при отрицательных значениях g функция Математическое описание цифровых САУ - student2.ru и Математическое описание цифровых САУ - student2.ru ,

получим

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.9)

Вторая сумма в (1.9) является согласно (1.7), изображением входного сигнала. Следовательно, первая сумма представляет дискретную передаточную функцию или

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Переходя к переменной z, получим Z - преобразованную передаточную функцию.

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.10)

Рассмотрим в качестве примера объект первого порядка

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.11)

где

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Весовая функция объекта

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Подвергнем z-преобразованию это выражение

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Этот ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с коэффициентом Математическое описание цифровых САУ - student2.ru . Следовательно, сумма этого ряда будет определяться следующим образом

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru ,

где

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Преобразование (1.11) для элементарных функций w[kT] и x[kT] приводится в таблицах. Пример такой таблицы приведен ниже (таблица 1).

Таблица 1

x(t) x(p) x[kT] x(z)
d(t) d[kT]
1(t) Математическое описание цифровых САУ - student2.ru   1[kT] Математическое описание цифровых САУ - student2.ru
at2 Математическое описание цифровых САУ - student2.ru   aK2T2 Математическое описание цифровых САУ - student2.ru
K0e-aT Математическое описание цифровых САУ - student2.ru   K0e-akT Математическое описание цифровых САУ - student2.ru
sinw1t Математическое описание цифровых САУ - student2.ru sinw1kT Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

Если требуется выразить x(z) относительно переменой z в отрицательной степени, переход от табличных выражений, очевидно, элементарно прост. Нужно числитель и знаменатель умножить на z-n , где n – максимальное значение положительного показателя степени при z.

Рассмотренная процедура преобразований представляет следующую последовательность операций

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.12)

где символ D обозначает определение W(z) или x(z) непосредственно по W(p) или x(p). Для рассмотренного выше примера

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Такое D - преобразование проще всего осуществлять с помощью таблицы переходов (таблица 1, колонки x(p) и x(z)). Это позволяет исключить определение дискретной весовой функции.

Если передаточная функция W(p) имеет сложный (не табличный) вид, ее необходимо представить в виде элементарных слагаемых, определяемых одним из известных методов. Для каждого слагаемого по таблице находится Z-преобразованная функция, и исходя из свойства линейности z-преобразования

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru (1.13)

результирующая дискретная передаточная функция W(z) определяется суммированием элементарных слагаемых.

Другим важным свойством Z - преобразования является изображение сдвига по времени на n-тактов влево

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.14)

и сдвига на n-тактов вправо (упреждение) при нулевых начальных условиях

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.15)

Начальные и конечные значения дискретных функций определяются выражениями

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.16)

Операция D - преобразования значительно упрощается, если воспользоваться приближенной заменой переменных

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.17)

Правомерность такой замены вытекает из разложения в ряд функции z=eTp

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Преобразования (1.9) и (1.10) справедливы для случая, когда на вход объекта подается последовательность идеальных импульсов нулевой ширины и бесконечно большой амплитуды и площадью, равной u[kT]. Реально на объект действует последовательность импульсов конечной ширины T и конечной амплитуды, равной u[kT] (рис.1.3 а). Поэтому передаточную функцию объекта необходимо дополнить передаточной функцией формирователя WФ(p), преобразующего дискретную функцию ud(t) (или xd(t) на рис.1.3 б) в дискретную функцию u*(t) (или x*(t) на рис.1.3 а). Связь между этими функциями определяется очевидным выражением

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Применяя преобразование Лапласа, получим

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

или

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.18)

Результирующая передаточная функция непрерывной части

WK(p)=WФ(p)WO(p). (1.19)

На рис.1.4 представлена на основании (1.18) и (1.19) структурная схема непрерывной части системы с идеальным импульсным элементом.

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

Рис. 1.4. Структурная схема непрерывной части системы с

идеальным импульсным элементом

На рисунке показан общий случай для импульсов шириной Ти. При ширине импульсов, выдаваемых формирующим элементом, равным периоду квантования (Ти = Т), что чаще всего встречается на практике

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Используя свойства Z - преобразования, можно доказать, что

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.20)

В общем случае квантователи по времени (ключи на рис.1.1) замыкаются синхронно, но не синфазно, так как замыкание ключа на выходе происходит с задержкой на время выполнения ЭВМ программы управления Та. Очевидно, что 0 £ Ta £ T. Это приводит к появлению в замкнутой системе звена чистого запаздывания в наихудшем случае на такт квантования.

В этом случае согласно (1.14)

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.21)

Довольно просто осуществляется Z - преобразование дискретной части замкнутой системы регулирования - алгоритма управляющей программы ЭВМ, представленного разностным уравнением (1.2).

Используя свойства z-преобразования (1.14), получаем

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.22)

Из сравнения (1.2) и (1.22) следует, что Z - преобразование сводится к замене Di на z-i. Следовательно, дискретная передаточная функция Wa(z), описывающая управляющий алгоритм, определится из (1.22) как

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.23)

Объединяя (1.23) с (1.19) получим дискретную передаточную функцию разомкнутой системы

WP(z)=Wa(z)WC(p).

Передаточная функция замкнутой импульсной системы будет иметь вид

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

где F(z) - изображение внешнего (задающего или возмущающего) воздействия.

Применение Z - преобразования позволяет решать для импульсных систем те же задачи, что и для непрерывных систем: исследование устойчивости, синтез корректирующих звеньев, определение реакции на внешние воздействия и так далее. Например, определение реакции на единичное воздействие производится следующим образом. Находим

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Применяем обратное z-преобразование

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.24)

Преобразование (1.24) наиболее просто осуществляется с помощью таблицы 1. Для этого, как и при прямом преобразовании, выражение в фигурных скобках представляется в виде элементарных слагаемых.

В качестве примере рассмотрим систему, представленную на рис.1.1, с объектом первого порядка (1.11) и управляющей ЭВМ, выполняющей функцию И – регулятора.

Согласно (1.20)

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru Используя таблицу 1, получим

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Окончательно

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.23)

где

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru Уравнение непрерывного И – регулятора имеет вид

(1.26)

где e(t) = uЗ(t) - uOC(t) - разность между задающим сигналом и сигналом обратной связи (ошибка регулирования). Непрерывная передаточная функция регулятора хорошо знакомый вид

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.27)

Дискретный И – регулятор описывается уравнением

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.28)

Выражение (1.28) представляет нерекуррентный алгоритм управления. Однако, для программирования ЭВМ удобны рекуррентные алгоритмы. Они основаны на использовании для вычисления управляющего воздействия u[kT] значение этого воздействия на предыдущем шаге расчета

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.29)

Вычтем из уравнения (1.28) уравнение (1.29)

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.30)

Это уравнение дает рекуррентный алгоритм дискретного И – регулятора

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.31)

Для получения дискретной передаточной функции подвергнем z-преобразованию разностное уравнение (1.30)

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

Следовательно

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

(1.32)

Заметим, что такое же выражение дает непосредственный переход, например, с помощью таблиц или D - преобразования от непрерывной передаточной функции (1.27) к дискретной.

Структурная схема рассматриваемой системы аналогична структуре непрерывной системы (рис.1.5).

 
  Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

Рис. 1.5. Структурная схема одноконтурной

дискретной системы управления

Результирующая передаточная функция этой системы согласно (1.25) и (1.31) имеет вид

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru или

(1.33)

где

Математическое описание цифровых САУ - student2.ru .

По этой передаточной функции (1.33) можно исследовать устойчивость замкнутой системы, определить оптимальный коэффициент регулятора KИ и так далее. Эти вопросы будут рассмотрены во второй главе.

Наши рекомендации