Механический и магнитный моменты атома водорода

Представление физических величин квантовомеханическими операторами

В физике принимают как постулат идею о том, что каждой измеряемой физической величине А соответствует квантовомеханический оператор Â, такой, что действие этого оператора на собственную волновую функцию дает физически измеримую величину, умноженную на эту функцию

. (6.1)

Единственно возможным результатом измерений физической величины является собственное значение соответствующего оператора.

Полная энергия есть сумма кинетической и потенциальной. Тогда из (4.1) и (4.3) следует, что оператор полной энергии

− (операция дифференцирования по времени), (6.2)

оператор кинетической энергии

, - (операция дифференцирования по координатам), (6.3)

оператор потенциальной энергии

− (операция умножения). (6.4)

Для одномерной задачи

. (6.5)

Из связи между кинетической энергией и импульсом р

следует, что оператор импульса

, (6.6)

а его проекции на декартовы координатные оси

. (6.7)

Операторы координат

− (операция умножения) (6.8)

Момент импульса частицы относительно начала координат в классической физике определяется векторным произведением радиус – вектора и импульса. В квантовой механике такое определение не имеет смысла, поскольку не существует состояния, в котором бы оба вектора и имели определенные значения. В квантовой механике векторному произведению соответствует оператор

, (6.9)

а его проекции на декартовы оси

(6.10)

Квантование момента импульса

При изучении движения в центрально симметричном поле важную роль играет момент импульса относительно неподвижного центра (для атома таким центром является ядро). Его значение связано с тем, что сохраняется, если система изолирована или движется в центральном силовом поле.

Для определения вектора момента импульса (его величины и направления) нужно знать все три его проекции. В квантовой механике существует теорема о том, что две величины А и В измеримы одновременно только, если соответствующие им операторы и коммутируют, т.е. удовлетворяют соотношению

.

Используя соотношения (6.10) нетрудно показать, что

Таким образом, любые две проекции оператора момента импульса не коммутируют между собой. Поэтому не существует состояния, в котором бы все три проекции и даже какие – либо две из трех проекций имели определенные значения. Значит, не существует состояния, в котором бы сам вектор момента импульса имел определенное значение, т.е. был бы полностью определен как по величине, так и по направлению. Иными словами, оператор момента импульса не имеет собственных функций и соответствующих им собственных значений.

Можно показать, что коммутирующими операторами являются оператор квадрата момента импульса и оператор проекции момента импульса на некоторое направление. Следовательно, характеристиками данного состояния являются модуль момента импульса и его проекция на некоторое выделенное направление, которые можно одновременно определить.

Перейдя от декартовых координат к сферическим, получим

(6.11)

Вычислим проекцию момента импульса на ось z, приняв во внимание (5.14)

(6.12)

Теперь найдем квадрат модуля момента импульса. Используя выражения (6.11), (5.10) и (5.11), запишем

Из (5.12) следует, что выражение в квадратных скобках равно . Тогда

, . (6.13)

Таким образом, орбитальное или азимутальное квантовое число l определяет разрешенные значения момента импульса частицы, а магнитное квантовое число − значения его проекции на выделенное направление. Напомним, что разрешенные значения энергии атома задаются квантовым числом п, которое называется главным квантовым числом.

Отметим еще раз, что классический и квантовый моменты импульса существенно различаются.

Во-первых, классический момент зависит от выбора точки О, относительно которой берется радиус–вектор. В квантовой теории момент импульса не зависит от выбора точки О.

Во-вторых, модуль момента импульса может быть задан точно, но при этом его направление не определено. Вместе с заданием модуля момента импульса можно задать его проекцию лишь на одну из координатных осей, например, z, две другие проекции могут быть любыми. Целочисленность (в единицах ) проекции момента импульса можно истолковать как квантование ориентации вектора (правда, только относительно одной оси). Пространственная ориентация его остается неизвестной.

Проекция вектора не может быть больше его модуля ( ). Поэтому должно выполняться условие , т.е. максимальное значение равно l. Отсюда следует, что число принимает значения

= 0, ±1, ±2, …±l, (6.14)

и всего при заданном l число может иметь значений .

Таким образом, в квантовой теории можно определить модуль момента импульса и его проекцию на одну координатную ось (ось произвольна). Направление же этого вектора остается неопределенным.

Для наглядности пространственное квантование момента импульса обычно представляют графически на векторных диаграммах. По оси z откладывают возможные значения , рассматривая их как проекции вектора длины , имеющего дискретные направления в пространстве. Неопределенность остальных двух проекций представляют как прецессию этого вектора относительно оси z. В качестве примера на рис.6.1 приведена векторная диаграмма для случая l = 2 (за единицу момента принята постоянная Планка ). Эту диаграмму нельзя понимать буквально. Она правильно передает Рис. 6.1 только два факта: возможные значения и l.

Магнитный момент атома водорода

Пусть по классическим представлениям электрон движется со скоростью V по орбите радиусом r. Через площадку, пересекающую его орбиту, переносится ежесекундно заряд (е – заряд электрона, число оборотов электрона вокруг ядра в секунду) Скорость электрона можно представить . Движущийся по орбите электрон образует круговой ток. Магнитный момент такого тока в системе СИ равен . Учитывая, что момент импульса электрона , получим

. (6.15)

Знак минус указывает, что направления обоих моментов противоположны, поскольку для отрицательно заряженного электрона направление тока противоположно направлению его движения. Соотношение (6.15) называют гиромагнитным отношением. Оно справедливо и в квантовой теории.

Тогда, принимая во внимание (6.15) и (6.13), можно записать

, (6.16)

. (6.17)

Постоянная величина называется магнетоном Бора. Ее значение в системе СИ . (В гауссовой системе единиц )

Лекция 7