Задачі для самостійного розв’язування. 15.1. Визначити вільну енергію і ентропію системи з невзаємодіючих квантових лінійних осциляторів

15.1. Визначити вільну енергію і ентропію системи з невзаємодіючих квантових лінійних осциляторів.

15.2. Оцінити температуру Дебая твердого тіла і мінімальну довжину хвилі власних коливань кристала, якщо відомі швидкість звуку у кристалі та період гратки .

15.3. Двохатомний квантовий ідеальний газ містить молекул, частота коливань яких . Знайти коливальні частини вільної енергії та ентропії . Розглянути також граничні випадки:

а) ;

б) ,

де – характеристична температура для коливального руху молекул.

15.4. За даними умови попередньої задачі знайти коливальні частини внутрішньої енергії та ізохорної теплоємності . Розглянути також відповідні граничні випадки.

15.5. Обчислити коливальну частину молярної теплоємності азоту при 500 К. Частота нормальних коливань молекули с^-1.

15.6. Двохатомний квантовий ідеальний газ містить молекул, моменти інерції яких . Знайти обертальні частини вільної енергії та ентропії при , де – характеристична температура для обертального руху молекул.

15.7. Обчислити обертальну частину молярної теплоємності газоподібного кисню при К. Момент інерції молекули кг·м².

15.8. Отримати наближені значення для обертальних частин молярних теплоємностей орто- та параводню при К. Момент інерції молекули кг·м².

15.9. За результатами попередньої задачі обчислити обертальну частину молярної теплоємності водню у рівноважному стані при К. Рівноважне співвідношення молекул орто- та параводнів у природному водні складає 3:1.

Розділ 16

СТАТИСТИЧНА ТЕОРІЯ РІВНОВАЖНОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ

Теоретичні відомості

Вивчення властивостей електромагнітного випромінювання наприкінці ХІХ століття поклало початок нового – квантового погляду на усі мікроскопічні явища у природі. Саме розходження класичної теорії з експериментом у цій області фізики дозволило М. Планку у 1900 році увести фундаментальне поняття дискретності випромінювання і одержати формулу для спектральної густини енергії у стані рівноваги випромінювання з оточуючими його стінками. Втім виявилося, що випромінювання (або, інакше, газ фотонів) є завжди виродженою системою, тобто статистика випромінювання може бути тільки квантовою за будь-яких термодинамічних умов.

Отримаємо ключову формулу квантової статистики рівноважної системи фотонів для спектральної густини їх енергії. Будемо виходити з того, що імпульс фотона дорівнює , а останні є бозонами зі спіном , але лише з двома спостережувальними його проекціями на напрямок руху, тобто формулу (14.21) використовуватимемо далі як

. (16.1)

Отже, за основу беремо розподіл Бозе–Ейнштейна

, (16.2)

маючи на увазі, що для фотонів хімічний потенціал дорівнює нулю.

Переходячи у (16.1) до частоти фотонів, отримаємо

, (16.3)

звідки

. (16.4)

Формула (16.4) виражає середню кількість фотонів з частотами у проміжку . Помноживши (16.4) на енергію одного фотона , одержимо середню енергію газу фотонів у цьому проміжку частот:

. (16.5)

Спектральна густина енергії визначається як енергія фотонів в одиниці об’єму, і яка припадає на проміжок , тобто з (16.5) маємо

. (16.6)

Вираз (16.6) і є вищезгадуваною знаменитою формулою Планка – першою квантовою формулою фізичної науки. Елементарний аналіз показує, що розподіл густини енергії за частотами (16.6) є дзвонуватою кривою, яка має характерний максимум у деякій точці . Проінтегрувавши (16.6) за частотами (із заміною ), отримаємо густину енергії рівноважного випромінювання:

. (16.7)

З урахуванням того, що останній інтеграл дорівнює , маємо знайомий закон Стефана–Больцмана з – відповідною однойменною сталою.

З (16.7) зразу одержуємо калоричне рівняння стану газу фотонів

(16.8)

та деякі інші важливі термодинамічні характеристики:

– термічне рівняння стану

, (16.9)

– ентропію

, (16.10)

– енергію Гельмгольца

. (16.11)

Пропонуємо також самостійно довести, що потенціал Гіббса рівноважного випромінювання тотожно дорівнює нулю.