Основные уравнения и формулы

2.1. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА

Скорость света в среде

,

где – скорость света в вакууме; – абсолютный показатель преломления среды.

Оптическая длина пути световой волны

,

где – геометрическая длина пути световой волны в среде с показателем преломления .

Оптическая разность хода двух световых волн

.

Оптическая разность хода световых волн, отражённых от верхней и нижней поверхностей тонкой плоскопараллельной пластинки или плёнки, находящейся в воздухе,

или ,

где – толщина пластинки (плёнки); – угол падения; – угол преломления; – длина световой волны в вакууме.

Второе слагаемое в этих формулах учитывает изменение оптической длины пути световой волны на при отражении её от среды оптически более плотной.

В проходящем свете отражение световой волны происходит от среды оптически менее плотной, и дополнительной разности хода световых лучей не возникает.

Связь разности фаз колебаний с оптической разностью хода волн

.

Условие максимумов интенсивности света при интерференции:

( =0, 1, 2, 3, …).

Условие минимумов интенсивности света при интерференции:

.

Радиусы светлых колец Ньютона в отражённом свете (или тёмных в проходящем)

,

где – номер кольца ( = 1, 2, 3, …); – радиус кривизны поверхности линзы, соприкасающейся с плоскопараллельной стеклянной пластинкой.

Радиусы тёмных колец в отражённом свете (или светлых в проходящем)

.

Радиус -й зоны Френеля:

– для сферической волны ,

где – расстояние от диафрагмы с круглым отверстием до точечного источника света; – расстояние от диафрагмы до экрана; – номер зоны Френеля; – длина волны;

– для плоской волны .

Дифракция света на одной щели при нормальном падении лучей

Условие максимумов интенсивности света:

; =1, 2, 3, …,

где – ширина щели; – угол дифракции; – номер минимума; – длина волны.

Условие минимумов интенсивности света:

; =1, 2, 3, …

Дифракция света на дифракционной решётке при нормальном падении лучей

Условие главных максимумов интенсивности:

=0, 1, 2, …,

где – период (постоянная) решётки; – номер главного максимума; – угол между нормалью к поверхности решётки и направлением дифрагированных волн.

Разрешающая сила дифракционной решётки

,

где – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий ( и ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решётки; – число штрихов решётки; – порядковый номер дифракционного максимума.

Угловая дисперсия дифракционной решётки

.

Линейная дисперсия дифракционной решётки

;

для малых углов дифракции

,

где F– главное фокусное расстояние линзы, собирающей на экране дифрагирующие волны.

Формула Вульфа – Брэгга:

,

где – расстояние между атомными плоскостями кристалла; – угол скольжения.

Закон Брюстера:

,

где – угол падения, при котором отражённая световая волна полностью поляризована; – относительный показатель преломления.

Закон Малюса:

,

где – интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего через анализатор; – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор; – угол между направлением колебаний светового вектора волны, падающей на анализатор, и плоскостью пропускания анализатора.

Степень поляризации света

,

где и – максимальная и минимальная интенсивность частично поляризованного света, пропускаемого анализатором.

Угол поворотаплоскости поляризации оптически активными веществами определяется соотношениями:

­ в твёрдых телах , где – постоянная вращения; – длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе;

­ в чистых жидкостях , где – удельное вращение; – плотность жидкости;

­ в растворах , где – массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.

2.2. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ

Закон Стефана – Больцмана:

,

где – энергетическая светимость чёрного тела; – термодинамическая температура тела; – постоянная Стефана-Больцмана.

Закон смещения Вина:

,

где – длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения чёрного тела; – постоянная Вина.

Энергия фотона

,

где – постоянная Планка; – частота света.

Давление света при нормальном падении на поверхность

,

где E – энергетическая освещённость (интенсивность света); r – коэффициент отражения; w – объёмная плотность энергии излучения.

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

,

где А – работа выхода электронов из металла; – максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Комптоновская длина волны частицы

,

где m₀ – масса покоящейся частицы; E₀ – энергия покоя частицы.

Изменение длины волны излучения при эффекте Комптона

,

где l и – длина волны падающего и рассеянного излучения; Q – угол рассеяния.

Энергетическая светимость серого тела

,

где a_Т – коэффициент теплового излучения (степень черноты) серого тела.

Формула Планка:

;

,

где – спектральные плотности энергетической светимости черного тела; l – длина волны; w – циклическая частота; с – скорость света в вакууме; k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура; – постоянная Планка ( ).

Зависимость максимальной спектральной плотности энергетической светимости от температуры:

,

где С – постоянная (С = 1,30×10^-5 Вт/(м³×К⁵).

Связь энергетической светимости абсолютно черного тела с равновесной объемной плотностью и энергией излучения:

,

где с – скорость света в вакууме.

Энергия фотона

; ,

где – постоянная Планка; w – циклическая частота; l – длина волны.

Масса и импульс фотона:

;

.

Комптоновская длина волны

(при рассеянии фотона на электроне l_с = 2,43 нм).

2.3. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ,

АТОМНОЙ И ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ

Длина волны де Брайля:

λ = h/p,

где h – постоянная Планка; p – импульс частицы.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга:

­ для координаты и импульса

;

,

где ∆х – неопределенность координаты частицы; ∆р_х – неопределенность проекции импульса частицы на соответствующую координатную ось;

­ для энергии и времени

,

где ∆Е – неопределенность энергии частицы в некотором состоянии; ∆t – время нахождения частицы в этом состоянии.

Плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства

,

где ψ – волновая функция частицы.

Волновая функция, описывающая состояние частицы в бесконечно глубокой однополярной потенциальной яме,

,

где l – ширина ямы; х – координата частицы в яме (0< х < l); n – квантовое число (n = 1, 2, 3,…).

Энергия частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

,

где m – масса частицы.

Сериальные формулы спектра водородоподобных атомов:

,

где λ – длина волны спектральной линии; R – постоянная Ридберга; Z – порядковый номер элемента; n = 1, 2, 3,…; k = n + 1, n + 2,…

Спектральные линии характеристического рентгеновского излучения:

,

где а – постоянная экранирования.

Дефект массы ядра

,

где m_p – масса протона; m_n – масса нейтрона; m_я – масса ядра; Z и А – зарядовое и массовое числа.

Энергия связи ядра

Е_св = с²∆m,

где с – скорость света в вакууме.

Удельная энергия связи

.

Закон радиоактивного распада:

N = N₀exp(– λt),

где N₀ – начальное число радиоактивных ядер в момент времени t = 0; N – число нераспавшихся радиоактивных ядер в момент времени t; λ – постоянная радиоактивного распада.

Активность радиоактивного вещества

.

Энергия ядерной реакции

,

где m₁ и m₂ – массы покоя частиц, вступающих в реакцию; Sm_i – сумма масс покоя частиц, образовавшихся в результате реакции.

Закон поглощения излучения веществом:

I = I₀exp(– mх),

где I₀ – интенсивность излучения на входе в поглощающий слой вещества; I – интенсивность излучения после прохождения поглощающего слоя вещества толщиной х; m – линейный коэффициент поглощения.

Момент импульса электрона в водородоподобном атоме, находящемся в стационарном состоянии:

L_n = mur = nħ (n = 1, 2, 3,…),

где m – масса электрона; u – его скорость на орбите радиуса r; n – главное квантовое число.

Энергия электрона в водородоподобном атоме

,

где е – элементарный заряд; e₀ – электрическая постоянная; Z – атомный номер (зарядовое число).

Радиус электронной орбиты в водородоподобном атоме

.

Радиус первой боровской орбиты в атоме водорода

м.

Коротковолновая граница λ_min сплошного рентгеновского спектра

,

где е – заряд электрона; U – разность потенциалов, приложенная к рентгеновской трубке.

Радиус ядра

R = R₀А^1/3,

где R₀ – коэффициент пропорциональности, который можно считать для всех ядер постоянным, равным 1,3×10^-15м; А – массовое число (число нуклонов в ядре).

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. В зеркале Ллойда (рис. 1) точечный источник S находится на расстоянии l = 2 м от экрана. На экране образуется система интерференционных полос (когерентными источниками являются первичный источник S и его мнимое изображение в зеркале). Ширина интерференционных полос b на экране равна 1,2 мм. Определить длину волны l света, если после того, как источник света S отодвинули от плоскости зеркала на = 0,5 мм, ширина полос уменьшилась в n = 2 раза.

Решение. Ширина интерференционной полосы (расстояние между двумя соседними максимумами или минимумами) не зависит от порядка интерференции (величины m) и является постоянной для данных l, d и l, откуда расстояние между источником S и его мнимым изображением

. (1)

После того, как источник S отодвинули от плоскости зеркала на , расстояние между источником и его мнимым изображением стало

(2)

(учли, что ширина полос стала в n раз меньше).

Вычитая выражение (1) из выражения (2), получаем: .

Откуда искомая длина волны равна .

Вычисляя, получаем м.

Задача 2. Какую наименьшую толщину должна иметь мыльная пленка, чтобы отраженные лучи имели красную окраску (l = 0,63 мкм)? Белый луч падает на пленку под углом 30° (n = 1,33).

Решение. Условие максимума при интерференции: , где D – разность хода лучей; k – порядок интерференционного максимума; l – длина волны.

При интерференции на тонкой пленке толщиной d, обладающей показателем преломления n, в отраженном свете разность хода лучей определяется выражением: .

Приравнивая выражения для D, получим: .

Откуда .

Очевидно, что d будет минимальной при k = 1:

мкм.

Задача 3. Для получения колец Ньютона используют плосковыпуклую линзу. Освещая ее монохроматическим светом с длиной волны 0,6 мкм, установили, что расстояние между 5-м и 6-м светлыми кольцами в отраженном свете равно 0,56 мм. Определить радиус кривизны линзы.

Решение. Расстояние Dr между кольцами есть разность радиусов r₆ и r₅ колец: .

Радиус светлого кольца в отраженном свете определяется по формуле:

,

где k – номер кольца.

;

.

Откуда м.

Задача 4. Найти длину волны света, падающего на установку в опыте Юнга, если при помещении на пути одного из интерферирующих лучей стеклянной пластинки (n = 1,52) толщиной 3 мкм картина интерференции на экране смещается на 3 светлые полосы.

Решение. При помещении пластинки с показателем преломления n₂ на пути одного из лучей образуется дополнительная разность хода лучей , которая по условию максимумов будет равна . Приравнивая правые части, получим .

Откуда м.

Задача 5. На толстую стеклянную пластинку (n_ст = 1,5), покрытую очень тонкой пленкой, абсолютный показатель преломления вещества которой равен 1,4, падает параллельный пучок лучей монохроматического света (l = 0,6 мкм). Определить толщину пленки, при которой отраженный свет максимально ослаблен вследствие интерференции.

Решение. Выделим один луч SA. Ход этого луча в случае, когда угол падения , показан на рис. 2. В точках А и В падающий луч частично отражается и частично преломляется. Отраженные лучи AS₁ и BCS₂ падают на собирающую линзу L, пересекаются в ее фокусе и интерферируют между собой. Так как n₁ = 1; n₂ = 1,4; n₃ = 1,5, то в обоих случаях отражение происходит от среды оптически более плотной. Поэтому фаза колебания луча AS₁ при отражении в точке А изменяется на p рад и точно так же на p рад изменяется фаза колебаний луча BCS₂ при отражении в точке В. Следовательно, результат интерференции этих лучей при пересечении в фокусе F линзы будет такой же, как если бы никакого изменения фазы колебаний ни у того, ни у другого луча не было.

Из рисунка видно, что оптическая разность хода лучей SADS₁ и SABCS₂: .

Следовательно, условие максимального ослабления света примет вид:

.

При a = 0 геометрическая разность хода АВ + ВС = 2h и

.

Откуда .

Полагая m = 0, 1, 2, 3, …, получим ряд возможных значений толщин пленки:

мкм; мкм и т.д.

Задача 6. На стеклянный клин (n = 1,5) с преломляющим углом нормально падает монохроматический свет с длиной волны l = 600 нм. Определить в интерференционной картине расстояние между двумя соседними минимумами.

Решение. Параллельный пучок света, падая нормально к граням клина, отражается от его верхней и нижней грани (рис. 3). Так как угол клина мал, то отраженные лучи когерентны и на поверхности клина будут наблюдаться интерференционные полосы.

Рис. 3

Условие минимума для клина в общем случае:

; , (1)

где d – толщина клина в месте темной полосы, соответствующей номеру m; g – угол преломления; l/2 – дополнительная разность хода, обусловленная отражением световой волны от оптически более плотной среды.

Угол падения, согласно условию, равен нулю, следовательно, g = 0. Тогда условие (1) запишется в виде . Откуда . Из рис. 3 следует, что

. (2)

Однако из-за малости угла , поэтому, подставив в формулу (2) толщины и , получим .

Откуда найдем искомое расстояние между двумя соседними минимумами:

(a здесь выражается в радианах).

Вычисляя, получаем b = 1,03 мм.

Задача 7. Определить радиус пятой зоны Френеля, если расстояние а от точечного монохроматического источника света ( = 600 нм) до волновой поверхности равно 2 м, а расстояние b от волновой поверхности до точки наблюдения равно 3 м.

Решение. На рис. 4 S – точечный источник монохроматического света, распространяющегося в однородной среде, М – точка наблюдения, Ф – волновая поверхность. Внешняя граница m-ой зоны Френеля радиуса r_m (cм. рис. 4) выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высотой h_m. Размеры кольцевых зон Френеля таковы, что разность хода лучей, идущих от соответственных точек каждой соседней зоны до точки наблюденія М, равна , поэтому, если имеем m зон Френеля, то

( ).

Очевидно, что

. (1)

Поскольку мала , членом пренебрегаем. Тогда

. (2)

Из уравнения (1) следует, что , а при

. (3)

Подставив формулу (2) в выражение (3), найдем искомый радиус зоны Френеля: .

Вычисляя, получим мм.

Задача 8. На дифракционную решетку с периодом d = 10 мкм под углом к ее поверхности падает монохроматический свет с длиной волны нм. Определить угол дифракции, отвечающий третьему главному максимуму.

Решение. Оптическая разность хода двух сходственных лучей (рис. 5) при наклонном падении параллельного пучка монохроматического света на дифракционную решетку (на рисунке АД – период d дифракционной решетки)

, (1)

где – угол дифракции, – угол падения пучка света к поверхности дифракционной решетки.

Условие главных максимумов для дифракционной решетки:

, (2)

где согласно условию задачи m = 3.

Приравняв выражения (1) и (2), получим

,

или

.

Откуда искомый угол дифракции

.

Вычисляя, получаем .

Задача 9. На щель шириной а = 0,1 мм параллельно падает пучок света от монохроматического источника ( = 0,6 мкм). Определить ширину l центрального максимума в дифракционной картине, проецируемой с помощью линзы, находящейся непосредственно за щелью, на экран, отстающий от линзы на расстояние L = 1м.

Решение. Центральный максимум интенсивности света занимает область между ближайшими от него справа и слева минимумами интенсивности. Поэтому ширину центрального максимума интенсивности примем равной расстоянию между этими двумя минимумами интенсивности (рис. 6). Минимумом интенсивности света при дифракции от одной щели наблюдается под углами , определяемыми условием:

, (1)

где m – порядок минимума; в нашем случае равен единице.

Расстояние между двумя минимумами на экране определим непосредственно по чертежу: . Так как при малых углах , перепишем эту формулу в виде:

(2)

Выразим из формулы (1) и подставим его в равенство (2):

.

После вычисления получим см.

Задача 10. На дифракционную решетку с периодом 2 мкм нормально падает пучок света от разрядной трубки, наполненной гелием. Какую разность длин волн может разрешить эта решетка в области красного света ( мкм) в спектре второго порядка, если ширина решетки 2,5 см? На какую длину волны в спектре второго порядка накладывается синяя линия ( мкм) спектра третьего порядка?

Решение. Разрешающая способность дифракционной решетки

, (1)

где N – общее число щелей решетки, m – порядок спектра.

Период решетки , где – число щелей на 1 м длины.

Зная ширину дифракционной решетки, находим общее число щелей решетки

. (2)

Из формулы (1) с учетом (2) находим:

; м.

Направления на главные максимумы дифракционной решетки определяются условием , где m = 0, 1, 2, … – порядок спектра, – угол между направлением на дифракционный максимум и нормалью к решетке.

При наложении спектральных линий выполняется условие:

; или , откуда ;

м.

Задача 11. Свет от монохроматического источника ( мкм) падает нормально на диафрагму с круглым отверстием r = 0,6 мм. Темным или светлым будет центр дифракционной картины на экране, находящемся на расстоянии b = 0,3 м от диафрагмы?

Решение. Радиусы зон Френеля, на которые следует разбить отверстия, чтобы определить их число, определяются по формуле , где m – номер зоны, – длина волны, b – расстояние от диафрагмы до экрана.

Из этой формулы ; .

Число зон четное, следовательно, центр картины на экране будет темным.

Задача 12. Определить расстояние между атомными плоскостями в кристалле каменной соли, если дифракционный максимум первого порядка наблюдается при падении рентгеновских лучей с длиной волны 0,147 нм под углом 15°12′ к поверхности кристалла.

Решение. Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах – это результат интерференции рентгеновского излучения, зеркально отражающегося от системы параллельных плоскостей, которые проходят через узлы – атомы (например, А, рис. 7) кристаллической решетки. Эти плоскости называют атомными. Отражение наблюдается лишь в тех направлениях, соответствующих дифракционным максимумам, которым удовлетворяет соотношение , или

, (1)

где m = 1, 2, 3, … – порядок дифракционного максимума, – угол скольжения, то есть угол между падающим лучом и плоскостью кристалла, d – расстояние между соседними плоскостями, называемое межплоскостным.

Исходя из условия (1) и учитывая, что m = 1, имеем:

; нм.

Задача 13. Естественный свет падает на кристалл алмаза под углом полной поляризации. Найти угол преломления света (n = 2,42).

Решение. При падении естественного света на поверхность под углом a_Б полной поляризации отраженный луч будет полностью поляризован. По закону Брюстера равен отношению показателей преломления алмаза и воздуха, и угол между отраженным и преломленным лучами равен 90°. Поэтому и a_Б = 67°30′, а из рис. 8 видно, что угол преломления .

Задача 14. Интенсивность естественного света, прошедшего через поляризатор, уменьшилась в 2,3 раза. Во сколько раз она уменьшится, если за первым поставить второй такой же поляризатор так, чтобы угол между их главными плоскостями был равен 60°?

Решение. Естественный свет можно представить как наложение двух некогерентных волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях и имеющих одинаковую интенсивность. Идеальный поляризатор пропускает колебания, параллельные его главной плоскости, и полностью задерживает колебания, перпендикулярные этой плоскости. На выходе из первого поляризатора получается плоскополяризованный свет, интенсивность которого I₁ с учетом потерь на отражение и поглощение света поляризатором равна

. (1)

После прохождения второго поляризатора интенсивность света уменьшается как за счет отражения и поглощения света поляризатором, так и из-за несовпадения плоскости поляризации света с главной плоскостью поляризатора. В соответствии с законом Малюса и с учетом потерь на отражение и поглощение света эта интенсивность равна

, (2)

где a – угол между плоскостью поляризации света, которая параллельна главной плоскости первого поляризатора, и главной плоскостью второго поляризатора.

Найдем, во сколько раз уменьшилась интенсивность света:

. (3)

Выразим из (1):

. (4)

Подставляя (4) в (3), получим: .

Проверяя вычисления, найдем: .

Задача 15. Плоскопараллельная пластинка из исландского шпата с минимальной толщиной d_min = 1,93 мкм служит пластинкой в полдлины волны для оранжевого света (l = 656 нм). Определить показатель преломления для необыкновенного луча, если показатель преломления для обыкновенного луча n₀ = 1,655.

Решение. Кристаллическая пластинка в полдлины волны – пластинка, вырезанная параллельно оптической оси, для которой оптическая разность хода

,

причем знак «+» соответствует отрицательным кристаллам, а знак « – » – положительным. При нормальном падении на пластинку «l/2» плоскополяризованного света между обыкновенным и необыкновенным лучами в пластинке (в кристалле эти лучи пространственно не разделены) возникает оптическая разность хода, равная l/2.

Рассматриваемый в задаче исландский шпат – отрицательный кристалл ( ), поэтому можно записать:

.

Минимальная толщина пластинки в полдлины волны соответствует m = 0. Тогда .

Откуда искомый показатель преломления для необыкновенного луча . Вычисляя, получаем: n_e = 1,485.

Задача 16. Естественный свет падает на поверхность диэлектрика под углом полной поляризации. Степень поляризации преломленного луча составляет 0,124. Найти коэффициент пропускания света.

Решение. Естественный свет можно представить как наложение двух некогерентных волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях и имеющих одинаковую интенсивность:

, (1)

где индексы обозначают колебания, параллельные и перпендикулярные плоскости падения света на поверхность диэлектрика, причем интенсивность падающего света

. (2)

При падении света под углом полной поляризации отражаются только волны, поляризованные в плоскости, перпендикулярной к плоскости падения. В преломленной волне преобладают колебания, параллельные плоскости падения.

Интенсивность преломленной волны можно записать как

. (3)

Составляющие и интенсивности преломленной волны равны:

= и , (4)

где – интенсивность отраженного света.

Степень поляризации преломленного луча

. (5)

С учетом равенств (4) и (1) выражение (5) можно представить в виде:

. (6)

Коэффициент пропускания света определяется как

, (7)

или с учетом выражения (6) .

Проведя вычисления, получим: .

Задача 17. Раствор сахара с концентрацией 0,25 г/см³ толщиной 20 см поворачивает плоскость поляризации монохроматического света на 30°20′. Другой раствор толщиной 15 см поворачивает плоскость поляризации на 20°. Определить концентрацию сахара во втором растворе.

Решение. Угол поворота плоскости поляризации определяется по формуле

,

где – удельное вращение, , отсюда ; , тогда ; г/см³.

Задача 18. Показатель преломления сероуглерода для света с длинами волн 509, 534 и 589 нм равен соответственно 1,647; 1,640 и 1,630. Вычислить фазовую и групповую скорость света вблизи длины волны 534 нм.

Решение. Групповая скорость U связана с фазовой скоростью света в среде соотношением:

. (1)

Учитывая, что , из (1) получаем: .

Для средней дисперсии вещества имеем:

(2)

Для нм и n = 1,640 находим относительную дисперсию . Из соотношения (2) определяем

; . (3)

Учитывая, что фазовая скорость , находим ее значение вблизи нм:

м/с.

По формуле (3) вычисляем групповую скорость:

м/с.

Задача 19. В черенковском счетчике из каменной соли релятивистские протоны излучают в конусе с раствором 82°. Определить кинетическую энергию протонов. Показатель преломления каменной соли 1,54.

Решение. Излучение Вавилова – Черенкова возникает, когда скорость движения заряженной частицы в среде больше фазовой скорости света в этой среде (с – скорость света в вакууме, n – показатель преломления среды). Излучение направлено вдоль образующих конуса, ось которого совпадает с направлением движения частицы. Угол между направлением излучения и направлением движения частицы определяется формулой

. (1)

Кинетическая энергия релятивистской частицы определяется как

, (2)

где – энергия покоя частицы, m – масса.

Для протонов Е₀ = 938,28 МэВ. Отношение определим из (1):

. (3)

Подставляя (3) в (2), получим:

.

Проведя вычисления, найдем:

МэВ.

Задача 20. Абсолютно чёрное тело было нагрето от температуры 100 °С до 300 °С. Найти, во сколько раз изменилась мощность суммарного излучения при этом.

Решение. Мощность N излучения тела определяется выражением

N = RS,

где R – энергетическая светимость тела; S – площадь его поверхности.

В соответствии с законом Стефана – Больцмана R=σT⁴. Из этих выражений получаем:

N₂/N₁ = σT₂⁴S/σT₁⁴;

N₂/N₁ = (T₂/T₁)⁴ = (573/373)⁴ ≈ 5,6.

Мощность излучения возрастает в 5,6 раза.

Задача 21. Температура абсолютно чёрного тела понизилась с 1000 К до 850 К. Определить, как и на сколько при этом изменилась длина волны, отвечающая максимуму распределения энергии.

Решение. В соответствии с законом смещения Вина длина волны λ_max, на которую приходится максимум распределения энергии, выражается формулой λ_max=b/T. Исходя из этого, запишем:

λ_1max = b/T₁; λ_2max = b/T₂;

Δλ_max = b/T₂ – b/T₁ = b((T₁ – T₂)/T₂T₁);

Δλ_max = 2,89∙10^-3((1000 – 850)/1000∙850) = 0,51∙10^-6 (м);

λ_1max = (2,89∙10^-3)/1000 = 2,89∙10^-6 (м);

λ_2max = (2,89∙10^-3)/850 = 3,4∙10^-6 (м).

Следовательно, длина волны возросла на 0,51 мкм.

Задача 22. Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны λ = 500 нм. Принимая Солнце за чёрное тело, определить: 1) энергетическую светимость Солнца; 2) поток энергии Ф_е, излучаемый Солнцем; 3) массу m электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1 с.

Решение. 1. Энергетическая светимость чёрного тела выражается формулой Стефана – Больцмана: R=σT⁴. Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина: λ_m = b/T. Выразив отсюда температуру Т и подставив её в формулу Стефана – Больцмана, получим: = σ(b/λ)⁴. Произведя вычисления, получим:

= 6,4∙10⁷ (Вт/м²).

2. Поток энергии Ф_е, излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической светимости Солнца на площадь S его поверхности:

Ф_е = S или Ф_е = 4πr² ,

где r – радиус Солнца.

Подставив в формулу значения π, r и и произведя вычисления, получим:

Ф_е = 3,9∙10²⁶ (Вт).

3. Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за время t = 1 с, определим, применив закон пропорциональности массы и энергии: E = mc². Энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению потока энергии Ф (мощности излучения) на время:

Е = Ф_еt.

Следовательно,

Ф_еt = mc²,

откуда

m = Ф_еt/c².

Произведя вычисления по этой формуле, найдём:

m = 4,3∙10⁹ (кг).

Задача 23.Длина волны λ_m, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения черного тела, равна 580 нм. Определить максимальную спектральную плотность энергетической светимости , рассчитанную на интервал длины волны ∆λ = 1 нм, вблизи λ_m.

Решение.Максимальная спектральная плотность энергетической светимости пропорциональна пятой степени температуры Кельвина и выражается формулой

= СТ ⁵. (1)

Температуру Т выразим из закона смещения Вина:

,

откуда

.

Подставив полученное выражение температуры в формулу (1), найдем:

. (2)

В таблице значение С дано в единицах СИ, в которых единичный интервал длин волн λ_m = 1 м. По условию же задачи требуется вычислить спектральную плотность энергетической светимости, рассчитанную на интервал длин волн 1 нм, поэтому взамен значения С в единицах СИ пересчитаем его на заданный интервал длин волн:

С = 1,30×10^-5 Вт / (м³ ×К⁵) = 1,30×10^-5 Вт / (м² ×м×К⁵ ) = 1,30×10^-14 Вт / (м² ×нм×К⁵).

Вычисление по формуле (2) дает:

= 40,6 КВт /(м²×нм).

Задача 24. На зачерненную поверхность нормально падает монохроматический свет с длиной волны 0,65мкм, производя давление 5×10^-6 Па. Определить концентрацию фотонов вблизи поверхности и число фотонов, падающих на площадь 1 м² за 1 с.

Решение.Давление света при нормальном падении на поверхность с коэффициентом отражения ρ вычисляется по формуле

р = ω(1 + ρ) (1)

или

, (2)

где ω – объемная плотность энергии; Е_е – энергетическая освещенность; с – скорость света в вакууме, ρ – коэффициент отражения поверхности, в данном случае ρ = 0.

Объемная плотность энергии равна произведению концентрации фотонов (число фотонов в единицу объема) на энергию одного фотона:

, (3)

откуда

. (4)

Определяя объемную плотность энергии из (1) и подставляя в (4), имеем:

; (5)

(м^-3).

Число фотонов, падающих на площадь 1 м² за 1 с, численно равно отношению энергетической освещенности к энергии одного фотона:

. (6)

Энергетическую освещенность определяем из выражения (2) и, подставляя в (6), получаем:

. (7)

С учетом (5) выражение (7) примет вид: n = n₀c. Подставляя числовые значения, получаем:

n = 1,6×10¹³ ×3×10⁸ = 4,8×10²¹ (с^-1м^-2).

Задача 25. Пучок монохроматического света с длиной волны λ = 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток энергии Ф_е = 0,6 Вт. Определить силу F давления, испытываемую этой поверхностью, а также число N фотонов, падающих на нее за время ∆t = 5 с.

Решение.Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления р на площадь S поверхности:

F = р×S. (1)

Световое давление может быть найдено по формуле: