Бозе-эйнштейна распределение

БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - функция распределения по уровням энергии тождеств. частиц с нулевым или целочисл. спином при условии, что взаимодействие частиц слабое и им можно пренебречь, т. е. ф-ция распределения идеального квантового газа, подчиняющегося статистике Бозе-Эйнштейна.В случае статистич. равновесия ср. число таких частиц в состоянии с энергией e_i при темп-ре T выше вырождения температуры определяется Б--Э. р. где - набор квантовых чисел, характеризующих состояние частицы, - хим. потенциал.

Б.- Э. р. соответствует максимуму статистического веса (или энтропии) с учётом неразличимости частиц, отвечающей требованиям бозе-статистики. При темп-ре ниже темп-ры вырождения бозе-газ испытывает Бозе - Эйнштейна конденсацию, при к-рой часть частиц Скапливается в состоянии с нулевым импульсом, а остальные частицы распределены согласно Б.- Э. р. с

6) Фононы. Статистические свойства фононного газа

Если кристаллическое тело рассматривать как систему N связанных частиц, то смещение одного из атомов из положения равновесия влечет за собой смещение других соседних с ним атомов. В результате этого в кристалле возникает упругая волна. Дойдя до границы кристалла, волна отражается. При наложении прямой и отраженной волн образуется стоячая волна.

В соответствии с гипотезой Де Бройля с каждой бегущей монохроматической волной связаны энергия и импульс, определяемые соотношениями

, , (2)

введенными по аналогии с теорией фотонов. Волна, несущая энергию и импульс, определяемые формулами (2), в каком-то отношении ведет себя как частица. Частица, уподобляемая звуковой волне в вышеуказанном смысле, называется фононом.

Фонон во многих отношениях ведет себя так, как если бы он был частицей с энергией и импульсом (2). Однако в отличие от обычных частиц (электронов, протонов, фотонов) фонон не может возникнуть в вакууме – для своего возникновения и существования фонон нуждается в некоторой среде. Подобного рода частицы называются квазичастицами.

Фононы хорошо приспособлены для описания слабых коллективных возбуждений атомов в кристалле. Между последовательными столкновениями фонон движется свободно, и если «длина свободного пробега» его достаточно велика по сравнению с постоянной кристаллической решетки, то возбужденное состояние кристалла можно в известном отношении рассматривать как фононный газ, подобно тому, как электромагнитное излучение можно представить как фотонный газ, заполняющий полость. Однако между фотонами и фононами имеется существенное различие: в то время как фотоны являются истинными частицами, фононы являются квазичастицами.

Так как волны, длина которых меньше удвоенного межатомного расстояния, не имеют физического смысла, то существует минимальная длина волны упругих волн в кристалле:

,

где d – расстояние между соседними атомами в кристаллической решетке. Минимальной длине волны соответствует максимальная частота колебаний:

,

где – скорость упругих волн в кристалле.

Энергетический спектр фононов в кристалле ограничен сверху максимальной энергией фононов

.

7)8.4. Принцип неразличимости тождественных частиц.

Согласно этому принципу невозможно экспериментально различить тождественные частицы.

Из соотношения неопределенностей вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории. Состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей вычислить лишь вероятность нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства. Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то можно оценить лишь вероятность нахождения в данной области пространства одной из тождественных частиц. Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми.

Принимая во внимание физический смысл величины , принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в виде

где x₁ и x₂ - соответственно совокупность пространственных и спиновых координат первой и второй частиц.

Из выражения вытекает, что возможны два случая:

т.е. принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. В том случае, когда при перемене частиц местами волновая функция не изменяет знака, она называется симметричной, если же изменяет знак, то носит название несимметричной. Изменение знака волновой функции не означает, что произошло изменение состояния, т.к. физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции. Характер симметрии волновой функции не изменяется со временем. Это же является доказательством того, что свойство симметрии или антисимметрии составляет признак данного типа микрочастиц.

симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы и молекулы) делятся на два класса. Частицы с полуцелым спином (например: электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми-Дирака. Эти частицы называются фермионами. Частицы с нулевым, или целочисленным спином (например: -мезоны, фотоны), описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Эти частицы называются бозонами.

Зависимость симметрии волновых функций системы тождественных частиц от спина частиц теоретически обосновал швейцарский физик В.Паули. Это явилось еще одним доказательством того, что спин является фундаментальной характеристикой микрочастиц.

8) Бозоны – это элементарные частицы, которые, согласно атомной системе единиц, имеют целый спин, то есть момент импульса элементарных частиц. Частицы назвали бозонами на честь индийского физика Бозе, которому принадлежит статистика для таких частиц, именуемая статистикой Бозе-Эйнштейна. Согласно этой статистике, одно квантовое состояние может содержать неограниченное число одинаковых частиц. Поскольку бозоны обладают возможностью переносить взаимодействие, их иногда в англоязычной литературе обозначают термином field – поле.

Как примеры бозонов можно привести такие частицы, как фотоны, гравитоны, мезоны, фононы и, соответственно, античастицы всех этих частиц. В отличие от других виртуальных частиц – фермионов, к которым принадлежат, например, электроны, которые делают отрицательный вклад в энергию вакуума, бозоны дают положительный вклад.

Существует также такое понятие, как «бозоны Хиггса» – это предсказанные учеными, но пока экспериментально не выявленные частицы, которые, опять же, гипотетически отыгрывают ключевую роль в определении массы всех других известных элементарных частиц. Гипотезу о возможности их существования высказал в 1964 году британский физик Питер Хиггис.