Задача 6. Знайти вираз для температури виродження ультрарелятивістського електронного газу

Розв’язання. Число квантових станів, яке припадає на об’єм V та проміжок імпульсу dP фазового простору у перерахуванні на одну частинку дорівнює

;

в нашому випадку - спін електрона. Для ультрарелятивістського газу , що дає

.

Повне число електронів N за розподілом Фермі–Дірака запишемо у вигляді

. (1)

Газ є невиродженим за умови , що дозволяє знехтувати одиницею в знаменнику (1). Отже,

,

звідки після інтегрування маємо

,

де - густина частинок.

Температура виродження T₀ визначається з рівності

,

що остаточно дає

.

Задача 7. При якій густині протонів з температурою Т=10⁶ К можна користуватися класичною статистикою?

Розв’язання. Вважатимемо, що класичною статистикою можна користуватися, коли , тобто температура виродження дорівнює 10⁵ К. Температура виродження газу нерелятивістських частинок має вигляд

,

звідки маємо шукану густину n:

.

Задача 8. Чому дорівнює число електронів з кінетичними енергіями від 2,0 до 2,1еВ у 1 см³срібла при Т = 100 К?

Розв’язання. Число електронів в досить вузькому інтервалі енергій можна знайти за формулою

, (1)

де значення береться з цього ж інтервалу; для електронів .

При K електронний газ в металі є сильно виродженим, і його хімічний потенціал μ не дуже відрізняється від свого значення при К. При цьому можна вирахувати (зробіть самостійно), що в нашому випадку значення дорівнює 5,4·10^-19 Дж, тобто показник експоненти в (1) становить

і останньою можна знехтувати у порівнянні з одиницею.

Таким чином, остаточно знаходимо

Задача 9. Одержати розподіл Фермі–Дірака за величиною швидкості для нерелятивістських електронів. Побудувати графік цього розподілу при Т = 0 К.

Розв’язання. Розподіл станів за імпульсами для нерелятивістського електронного газу маємо у вигляді

.

Оскільки , знаходимо аналогічний розподіл за швидкостями:

. (1)

Домноживши (1) на розподіл Фермі–Дірака середнього числа частинок за станами (беручи до уваги, що енергія k-го рівня ), одержимо шуканий розподіл за швидкостями:

. (2)

При К(2) набирає вигляду:

, (3)

де - швидкість, яка відповідає енергії фермі .

Отже, графік (3) маємо у вигляді:

Задача 10. Визначити повну енергію та теплоємність бозе-газу при температурі, що менша за його температуру конденсації .

Розв’язання. При можна знехтувати хімічним потенціалом бозе-газу. Тому повну енергію останнього можна записати як

. (1)

Заміна призводить (1) до вигляду

. (2)

Числове значення a інтеграла в (2) становить приблизно .

Теплоємність C_V знаходимо з (2):