Быстрота Изменения величины

Среднее значение физической величины может изменяться со временем по двум причинам:

1) из-за зависимости оператора величины от времени;

2) из-за некоммутативности оператора величины с гамильтонианом.

Оператор производной по времени. Среднее значение величины (2.28)

изменяется с быстротой

.

Используем уравнение Шредингера (2.54)

,

,

получаем

.

Гамильтониан эрмитовый, тогда первое слагаемое в квадратных скобках равно . Объединяем его с третьим слагаемым

. (2.66)

Выражение в круглой скобке по определению является оператором производной по времени

. (2.67)

Слагаемые в правой стороне (2.67) описывают причины, вызывающие изменение физической величины A с течением времени – зависимость от времени и некоммутативность с гамильтонианом.

Оператор проекции скорости. В (2.67) подставляем , получаем

. (2.67а)

Используем

,

,

находим

.

На практическом занятии доказывается

,

в результате

. (2.67б)

Оператор скорости связан с оператором импульса классическим соотношением, что подтверждает правило соответствия.

Сохраняющаяся величина описывается оператором , удовлетворяющим согласно (2.67) условию

.

Если оператор не зависит от времени , тогда

. (2.68)

Величина сохраняется в любом состоянии, если ее оператор не зависит от времени и коммутирует с гамильтонианом.

Стационарное состояние Ψ для величины a, описываемой оператором , не зависящим от времени , характеризуется тем, что в этом состоянии среднее значение a постоянно

.

Если оператор не коммутирует с гамильтонианом , тогда с учетом (2.66)

получаем условие на Ψ

. (2.69)

Величина а стационарна в состоянии , если среднее значение коммутатора оператора с гамильтонианом равно нулю. В этом случае оператор преобразует состояние в ортогональное к нему состояние.