Модель дискретно непрерывного канала

Дискретно-непрерывный канал с независимыми символами b_i, на входе и непрерывным сигналом z(t) на выходе описывается априорными вероятностями входных символов P(b_i) и переходными (условными) плотностями w[z| b_i] принимаемой реализации z{t) (на заданном интервале Т) при условии передачи символа b_i. Эту плотность называют функцией правдоподобия (см. гл. 5). Вместо функций правдоподобия дискретно-непрерывный канал можно описать апостериорными вероятностями Р(b_i|z) передачи символа b_i; при фиксации на приёме колебания z(t). Согласно формуле Байеса

где плотность принимаемого колебания

где P(b_i) — априорная вероятность передачи символа b_i (т.е. та вероятность, которая имеет место до наблюдения и анализа, и определяемая статистикой источника сообщения и правилом кодирования.

18. Оптимальные алгоритмы приема при полностью известных каналах (когерентный прием). Помехоустойчивость оптимального когерентного приема. Предположим, что все искажения в канале строго детерминированы и случайным является только гауссовский аддитивный шум n(t), который вначале полагаем белым, со спектральной плотностью n₀. Это значит, что при передаче символа b_i (i=0,1,…,m-1) принимаемое колебание можно описать моделью: z(t)=s_i(t)+n(t), 0 ≤ t ≤ T, (5.21) где все s_i(t)=γf(t-τ-kT,b_k⁽ⁱ⁾)=γu_i(t-τ) известны.

Определим в этих условиях алгоритм работы оптимального (т.е. основанного на правиле максимального правдоподобия) демодулятора, анализирующего сигнал на тактовом интервале О...T. Для этого необходимо найти отношения правдоподобия для всех т возможных сигналов относительно нулевой гипотезы (z(t)= n(t)).

Задача затрудняется тем, что ширина спектра сигнала бесконечна, а поэтому пространство сигналов бесконечномерное L₂(T). Для таких сигналов (или бесконечномерных векторов) не существуют плотности вероятностей. Однако существуют n-мерные плотности вероятностей для любых п сечений сигнала.

Заменим вначале белый шум квазибелым, имеющим ту же одностороннюю спектральную плотность мощности n₀, но только в некоторой полосе частот F= п/2Т, где n>>1. Рассмотрим дополнительную гипотезу, т.е. будем считать, что z(t) - стационарный шум с нулевым МО. Возьмём на тактовом интервале п равноотстоящих сечений через Δt=1/2F=T/n. Отсчёты Z₁,...,Z_n в этих сечениях для квазибелого гауссовского шума независимы

При гипотезе, что передавался символ b_i, согласно (5.21) n(t)=z(t)-s_i(t).

Вернёмся к исходной задаче для белого шума. Для этого будем расширять полосу F, тогда число сечений п стремится к бесконечности, а Δt — к нулю. Суммы обращаются в интегралы, и после раскрытия квадрата в первом слагаемом правило решения (выбора оценки ^b_i) можно написать следующим образом: правило приёма сводится к проверке системы неравенств

,(5.25) где — энергия ожидаемого сигнала S_i(t). Выражение (5.25) определяет те операции (алгоритм приёма), которые должен совершать оптимальный приёмник над входным колебанием.Для двоичной системы алгоритм (5.25) сводится к проверке одного неравенства

(5.26)

При выполнении неравенства (5.26) регистрируется символ "1", в противном случае "0".

Помехоустойчивость оптимального когерентного приема Приходящий сигнал z(t) является случайным, так как, во-первых, заранее не известна реализация передаваемого сигнала, во-вторых, он содержит случайную помеху N(t)

В этом случае согласно (5.26) алгоритм оптимального приёма

(5.44) При выполнении неравенства (5.44) оптимальный приёмник регистрирует символ 1, соответствующий сигналу s₁(t), в противном случае — символ 0, соответствующий сигналу S₀(t). Если действительно передаётся символ 1, то z(t) = s₁(t) + N(t). При этом вероятность ошибки определяется вероятностью того, что неравенство (5.44) не выполнено, т.е. вероятностью выполнения обратного неравенства.

Если N(t) - нормальный белый стационарный шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью мощности n₀, то вероятность ошибки, через Q-функцию можно (5.47) записать в виде

(5.49) Функция табулирована и называется дополнительной функцией ошибок. При заданной интенсивности помехи nq потенциальная помехоустойчивость двоичной системы зависит только от так называемой эквивалентной энергии сигналов

(5.50) которая равна квадрату расстояния между сигнальными точками в пространстве Гильберта. Помехоустойчивость выше (вероятность ошибки меньше) у той системы, у которой больше эквивалентная энергия используемых сигналов, независимо от формы используемых сигналов. Последние, в частности, могут быть как простыми (отрезками синусоиды с малой базой), так и сложными (шумоподобными, с большой базой).