Мультифракталдық спектр функциясы

Жалпы түсінік бойынша D_q шамалары, қатаң айтқанда, фракталдық өлшемділіктер емес. Сондықтан солармен бірге мультифракталдық жиынды сипаттау үшін мультифракталдық спектр функциясын f(a)қолданамыз. Оны мультифрактал сингулярлығының спектрі деп те атайды. Біз осы f(a) шамасын белгілі бір жалпы жиынның біртекті фракталдық L жиыншасының хаусдорфтық өлшемділігіне тең екенін көреміз. Ол q шамасын беру арқылы бүкіл статикалық суммаға үлкен үлесін қосады.

Өз-өзіне ұқсас жиындар үшін р_i d - ұяшық өлшеміне тәуелділігі дәрежелік мәнге ие болады:

(2.10)

мұндағы a_i – дәреже көрсеткіші (i- әр түрлі ұяшық үшін әрқалай). Біртекті фрактал үшін a_i дәреже көрсеткіштері бірдей және D фракталдық өлшемділігіне тең.

(2.11)

Бұл жағдайда статикалық сумма:

(2.12)

Сондықтан, бұл жағдайда, және барлық D_q=D фракталдық өлшемділіктеріне сәйкес келеді және q-дан тәуелді болмайды. Бірақ күрделі объект, яғни, мультифрактал үшін ол олай болмайды. Оның біртексіздігін ескере отырып, р_i ұяшықтарының толтырылу ықтималдылығы бірдей емес және a_i әр ұяшық үшін дәреже көрсеткіші әр мәнді беретін болады. Кейін біз бұл мәндердің бір жабық интервалды толтыратындығына көз жеткіземіз (a_min, a_max), демек

. (2.13)

Осы a мәндерінен t(q)функциясының туындысы арасындағы байланысты көреміз. Дәлірек айтқанда, q®± . Болғандағы осы туындының “шегін” көреміз. Егер біз q® деп алсақ, онда i бойынша суммалау кезінде тек ең көп орналасқан ұяшықтар үлес қосады. Әр ұяшық р_max максималды толтырылу ықтимадылықтарымен сипатталады. Суммада тек (саны N_max) (2.7)-гі алымы N_max , ал бөлмі N_max -ға тең болады деп ескерсек, онда іздеген туынды шегіміз a_min -ге тең болғанын көреміз.

Соған ұқсас егер q®– болса, онда (2.7) суммалағанда тек ықтималдылығы р_min болатын ең аз орналасқан ұяшықтарды ескеру керек. Бұл жағдайда, -қа ұмтылғандығы мәлім. Сонымен қатар, біз негізгі шешімге келеміз, мұнда

(2.14)

Яғни,a болатын мәндерінің интервалы жалпылама фракталдық өлшемділік-тердің шектік мәндерімен анықталады (q®± кезінде).

Енді a_i –дің әр мәндерінің ықтималдылық үлестірілуіне келейік. n(a)da

a_i –дің a мен a + da арасында болу ықтималдылығы болсын. Басқаша айтқанда,n(a)da p_i a_i өлшемдеріне ие осы интервалда жататын белгілі бір салыстырмалы ұяшықтар саны. a_i –дің әр мәндері D бірдей емес, әр түрлі f(a) дәреже көрсеткіштерінің мәндеріне ие болады.

. (2.15)

Осыған орай, f(a) функциясының мағынасы бір L, жиынның біртекті фракталдық жиыншасының L_a өлшемділігін білдіреді. Ол ұяшықтардың толтырылуының бірдей ықтималдылықтарын білдіреді. Жиынның фракталдық өлшемділігі сол жиынның фракталдық өлшемділігіне D₀ тең не аз екендігін f(a) функция үшін мына теңсіздік көрсетіп тұр:

. (2.16)

Қорытындысында, біз мынадай шешімге келдік. f(a) функциясының әр түрлі мәндерінің жиыны біртекті L_a жиыншаларға бөлінген L жиынының фракталдық өлшемділіктер спектрі болып табылады. Осыдан, мультифрактал термині түсінікті бола бастайды. Оны L_a жиыншаларға бөлінген L жиынының әр түрлі біртекті фракталдар қосындысы деп түсінуге болады. Олардың әрқайсысында өзінің f(a) фракталдық өлшемділіктері болады.

Демек, әр жиыншаға тек бар ұяшықтар N(d) санының тек бір бөлігі ғана тиесілі болады. Ықтималдылықтарды нормалау шарты:

(2.17)

тек бір ғана жиынша бойынша ықтималдылық орындалмайды. Ол онда бірден аз болып қалады. Сондықтан, a_i мәнге сәйкес р_i ықтималдылық шамасынан аз болады. Ол шама осы жиыншаны құрайтын ұяшықтар санына кері пропорционал. Қорытындысында, біз f(a) үшін келесі негізгі теңсіздікке келеміз. Яғни, a-ның барлық мәні үшін

(2.18)

Теңдік белгі тек толық біртекті фракталға ғана тән, мұндағы f(a) = a = 0 [4].