Систематический код Хемминга
Соотношение между числом информационных символов , числом исправляемых ошибок и числом символов кодовой комбинации отображается неравенством (5.6). Хемминг предложил использовать знак равенства
. (5.15)
Таблица 5.2* | |||||||
n | |||||||
k | |||||||
r | |||||||
0.4286 | 0.2667 | 0.1613 | 0.0952 | 0.0551 | 0.0314 | ||
Это предложение выполняется только для определённых соотношений , и . В таблице 5.2 приведены решения уравнения (5.15) для целых , и =1.
Коды имеют минимальное кодовое расстояние и позволяют исправить одиночную ошибку. Коды имеют минимальное кодовое расстояние , обнаруживают двукратную ошибку и позволяют исправить одиночную ошибку.
Второе предложение Хемминга касается построения проверочной матрицы [Березюк Справочник]. Проверочная матрица должна состоять из столбцов, являющихся кодом номера столбца в двоичном представлении. Например, для кода проверочная матрица будет иметь вид
В отличие от проверочной матрицы , в которой проверочные символы занимают позиции после информационных символов, проверочные символы в матрице занимают позиции кратные степени два и обозначены жирными единицами. Уравнения для определения проверочных символов получаются из матрицы , умножением его на вектор , =(h1 ,h2 , …, h15 ):
(5.16)
Синдром ошибки составляется из проверочных символов и указывает номер позиции символа, в которой произошла ошибка. Если задана информационная часть кода , необходимо определить значения проверочных символов на 1-ой, 2-ой, 4-ой и 8-ой позициях пятнадцатиразрядного кода .
Пример 5.3 Используем код с информационной частью
. Составим таблицу 5.3, в первой строке – номера символов (разрядов) в кодовой комбинации, во второй – позиции проверочных и значения информационных символов.
Таблица 5.3 | |||||||||||||||
Номер символа | |||||||||||||||
символы | h1 | h 2 | h 4 | h 8 |
Подставим значения символов согласно таблице 5.3 в систему равенств (5.16) и получим значения проверочных символов h1, h 2 , h 4, h 8 .
h1 = h3 Å h5 Å h7 Å h9 Å h11 Å h13 Å h15 = 1 Å 1 Å 1 Å 0 Å 1 Å 1 Å 1 =0,
h 2= h3 Å h6 Å h7 Å h12 Å h13 Å h14 Å h15 = 1Å 0 Å 1 Å 0 Å 1 Å 1 Å 1 =1,
h 4 = h 5 Å h6 Å h7 Å h10 Å h11 Å h13 Å h15 = 1 Å 0 Å 1 Å 0 Å 1 Å 1 Å 1 =1,
h 8 = h 9 Å h 10 Å h11 Å h 12 Å h13 Å h 14 Å h15 = 0 Å 0 Å 1 Å 0 Å 1 Å 1 Å 1 = 0,
Кодер канала выдает последовательность символов
.
Проверка правильности вычислений – произведение . Если произошла однократная ошибка, скажем в третьем разряде, декодер выдает двоичный код ошибки , если ошибка в десятом разряде вектора, код ошибки равен .
Циклические коды
Циклические коды являются разновидностью систематических кодов. Они получили широкое распространение из-за простоты кодирования и декодирования. Все разрешённые кодовые комбинации производящей матрицы могут быть получены циклическим сдвигом одной разрешённой комбинации, называемой образующей для данного кода.
Любой -разрядный код можно представить в виде полинома степени
,
где - основание счисления,
- коэффициенты, принимающие значения «0» или «1», если .
Например, комбинацию 110101 можно записать как
.
Циклический сдвиг эквивалентен умножению многочлена на .
Действительно,
.
Но в кодовой комбинации должно быть всего членов, причём степень полинома не должна превышать . Чтобы удовлетворить этому условию, положим . Тогда получим
,
т.е. получили циклический сдвиг. Если код, выраженный в виде полинома, принадлежит разрешённой кодовой комбинации, то кодовая комбинация, полученная циклическим сдвигом, также принадлежит разрешённой кодовой комбинации. Из условия того, что имеем
. (5.16)
Пусть имеется полином степени . Среди полиномов выделим полиномы, которые делятся только лишь на самого себя и на 1. Такие полиномы называются простыми или неприводимыми.
Рассмотрим неприводимый полином и различные кодовые комбинации, выраженные в виде полиномов степени . Из всей совокупности полиномов к числу разрешённых кодовых комбинаций отнесём только те, которые делятся без остатка на полином . Определённый таким образом полином степени называется образующим.
Циклическими кодами называются коды, каждая кодовая комбинация которых, выраженная в виде полинома, имеет степень, не превышающую , и нацело делится на образующий полином степени .
Ввиду того, что циклические коды относятся к группе систематических кодов, то можно построить производящую матрицу.
Каноническая форма производящей матрицы размерности (5.10) состоит из зеркального отражения единичной подматрицы размерности , ( матрица отражения [Марпл]), и проверочной подматрицы размерности .
. (5.23)
Каждую строку матрицы разделим на неприводимый полином , дающий n остатков, и заменим нули в соответствующей строке проверочной части матрицы на остаток . Результирующая матрица будет производящей матрицей циклического кода .
Пример 5.5. Пусть n = 7, k = 4, r = 3. Первоначальное значение производящей матрицы имеет вид
Выберем образующий полином
Таблица 5.6 | ||||
Номер строки | ||||
Код остатка |
, который дает 7 остатков при делении кода ошибки на образующий полином. Разделим коды строк производящей матрицы на код образующего полинома . В результате имеем четыре остатка, значения которых приведены в таблице 5.6. После замены нулей в проверочной части матрицы соответствующими кодами остатков получим каноническую форму производящей матрицы
.
Полученная производящая матрица состоит из четырёх строк (кодов). Все остальные =11 кодов, кроме кода 0000000, могут быть получены линейной комбинацией строк производящей матрицы .