Характеристики обнаружения

Ниже рассматриваются три варианта степени известности параметров принятого сигнала.

а) Сигнал с известной начальной фазой и неслучайной амплитудой

При этом решение о наличии или отсутствии сигнала принимается путем сравнения с порогом Х_* квадратурной составляющей корреляционного интеграла

,

формируемой на выходе одноканальной схемы корреляционной обработки на видеочастоте, когда опорный сигнал формируется с учетом известной начальной фазы принятого сигнала

.

В отсутствие полезного сигнала, т.е. при наличии только гауссова шума, случайная величина X распределена по нормальному закону с нулевым средним и дисперсией

.

При наличии полезного сигнала распределение случайной величины смещается на величину среднего значения сигнальной составляющей

.

Рис. 4.1. Возможные реализации напряжения на выходе коррелятора для сигнала с известной начальной фазой и неслучайной амплитудой.

На рис. 4.1. показаны возможные реализации напряжения на выходе коррелятора в отсутствие и при наличии полезного сигнала на интервале времени от t_r до t_r + T₀ , равном длительности сигнала. На рис. 4.2 показаны соответствующие распределения случайной величины Х, формируемой на выходе коррелятора в момент времени t = t_r + T₀ , в отсутствие сигнала p₀(x) и при наличии сигнала p₁(x).

Рис. 4.2. Закон распределения случайной величины на выходе коррелятора для сигнала с известной начальной фазой и неслучайной амплитудой.

При этом вероятность ложной тревоги, как площадь под кривой p₀(x) правее порога X_* , определяется выражением:

,

где, - относительный порог, - закон распределения (плотность вероятности) случайной величины X на выходе коррелятора в отсутствие сигнала, - интеграл вероятности, поведение которого показано на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Интеграл вероятности.

Вероятность правильного обнаружения, как площадь под кривой p₁(x) правее порога X_* , определяется выражением:

,

где, - закон распределения случайной величины x на выходе коррелятора при наличии полезного сигнала,

- отношение сигнал/шум по напряжение на выходе коррелятора

б) Сигнал с неизвестной начальной фазой и неслучайной амплитудой.

При этом решение о наличии или отсутствии сигнала принимается путем сравнения с порогом Z_* модуля (или квадрата модуля) корреляционного интеграла

,

формируемого на выходе одноканальной схемы корреляционной обработки на промежуточной частоте или на выходе двухканальной схемы корреляционной обработки на видеочастоте (с двумя квадратурными каналами), когда произвольная начальная фаза опорного сигнала не зависит от начальной фазы принятого сигнала, поскольку последняя не известна:

.

В отсутствие полезного сигнала случайная величина Z, как модуль нормального распределенного корреляционного интеграла, распределена по релеевскому закону

, Z ≥ 0,

причем ее второй начальный момент (или дисперсия корреляционного интеграла) равен:

.

Вероятность ложной тревоги, как площадь под кривой p₀(z) правее порога Z_*, определяется следующим образом:

,

где, v = z /σ_W - новая переменная интегрирования, λ_* = z_* / σ_W - относительный порог.

При наличии полезного сигнала случайная величина Z ,как модуль нормального распределения корреляционного интеграла с выраженным средним значением сигнальной составляющей

,

распределена по, так называемому, закону Райса (обобщенному релеевскому закону)

, z ≥ 0,

среднее значение и дисперсия которого равны

При α >> σ_w обобщенный релеевский закон можно аппроксимировать нормальным законом

,

полагая

При этом вероятность правильного обнаружения, как площадь под кривой p₁(z) правее порога Z_*, определяется выражением:

,

где - отношение сигнал/шум по напряжению на выходе коррелятора.

Рис. 4.4. Возможные реализации напряжения на выходе «линейного» детектора после коррелятора для сигнала с неизвестной начальной фазой и амплитудой.

На рис. 4.4 показаны возможные реализации напряжения на выходе "линейного" детектора после коррелятора в отсутствие и при наличии полезного сигнала на интервале времени от t_r до t_r + T₀, равном длительности сигнала. На рис. 4.5 показаны распределения случайной величины Z, формируемой в момент времени t = t_r + T₀, как в отсутствие сигнала p₀(z) , так и при его наличии p₁(z), а также дана геометрическая интерпретация вероятностей F и D.

в) Сигнал с неизвестной начальной фазой и случайной амплитудой

При этом, как и в предыдущем случае, решение о наличии или отсутствии сигнала принимается путем сравнения с порогом Z_* квадрата модуля (или модуля) корреляционного интеграла

,

где - опорный сигнал с произвольной начальной фазой.

Рис. 4.5. Закон распределения случайной величины Z для сигнала с неизвестной начальной фазой и неслучайной амплитудой.

В отсутствие полезного сигнала случайная, величина Z, как квадрат модуля нормально распределенного корреляционного интеграла, распределена по экспоненциальному закону:

, Z ≥ 0,

причем ее среднее (или дисперсия корреляционного интеграла) равно:

.

При наличии полезного сигнала выходная случайная величина Z, как квадрат модуля нормально распределенного корреляционного интеграла с нулевыми средними значениями квадратурных составляющих (благодаря принятой модели сигнала)

сохраняет экспоненциальное распределение

, Z ≥ 0,

причем ее среднее значение равно:

.

Рис. 4.6. Возможные реализации напряжения на выходе «линейного» детектора после коррелятора для сигнала с неизвестной начальной фазой и случайной амплитудой.

На рис. 4.6 показаны возможные реализации напряжения на выходе детектора (после коррелятора) в отсутствие и при наличии полезного сигнала на интервале времени от t_r до t_r + T₀ , равном длительности сигнала. На рис. 4.7 показаны распределения случайной величины Z, формируемой в момент времени t = t_r + T₀ , как в отсутствии сигнала p₀(z), так и при его наличии p₁(z), а также дана геометрическая интерпретация вероятностей F и D .

Вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения, как площади под кривыми p₀(z) и p₁(z) правее порога Z_* , определяются следующим образом:

,

,

где - относительный порог, - отношение сигнал/шум по мощности.

Рис. 4.7. Закон распределения случайной величины Z для сигнала с неизвестной начальной фазой и случайной амплитудой.

Характеристики обнаружения, т.е. зависимости вероятностей правильного обнаружения D от отношения сигнал/шум q при фиксированной вероятности ложной тревоги F , для трёх рассмотренных случаев приведены на рис. 4.8. По этим кривым можно определить пороговые сигналы - отношений сигнал/шум q_пор, соответствующие заданным фиксированным вероятностям ложной тревоги и требуемым вероятностям пра­вильного обнаружения:

q_пор = q(F,D).

Рис. 4.8. Характеристики обнаружителя сигналов с различной степенью известности их параметров.

При фиксированной вероятности ложной тревоги F = 10^-3 и требуемой вероятности пра­вильного обнаружения D = 0,9 пороговые сигналы, соответствующие рассмотренным трем случаям равны:

q_а = 4,4 ,

q_б = 5,0 ,

q_в = 11,7 .

Таким образом, пороговый сигнал растет по мере увеличения априорной неопределенности относительно параметров принимаемого сигнала.