Преломление света в линзах

Линзами называются объекты из прозрачных материалов, ограниченные с двух сторон преломляющими поверхностями, чаще всего сферическими. Линзы бывают двояковыпуклыми, двояковогнутыми, плосковыпуклыми, плосковогнутыми и т.д. При этом плоскую поверхность можно рассматривать как сферическую бесконечно большого радиуса кривизны.

Фокусом линзы называется точка, в которой после преломления линзой пересекаются лучи, падающие на линзу параллельно ее оптической оси. Расстояние F от фокуса до центра линзы называется фокусным расстоянием линзы.

Для тонкой линзы, помещенной в однородную среду, выполняется соотношение

(1.4)

где а и в - соответственно расстояния от линзы до объекта и от линзы до изображения; R₁ и R₂ - радиусы кривизны ограничивающих поверхностей; F - фокусное расстояние линзы; D = 1/F - оптическая сила линзы(в системе СИ измеряется в диоптриях, дптр). Все расстояния, отсчитываемые по ходу луча, берутся со знаком “+” против хода луча - со знаком “-”.

Увеличением линзы k называется отношение размера изображения к размеру объекта.

ПРИМЕР. На расстоянии а = 25 см от двояковыпуклой линзы Л оптической силой D = 10 дптр поставлен предмет высотой АВ= 3 см. Найти положение и высоту изображения предмета А₁В₁, а также увеличение линзы k.

РЕШЕНИЕ. Определим фокусное расстояние линзы

F = 1/ D = 1/10 =0,1 (м).

Построим изображение объекта АВ. Для этого от каждой из точек А и В нужно провести не менее двух лучей. Проведем лучи АВ₁ и ВА₁ через центр линзы; при этом они не изменяют своего направления. Еще два луча, идущие от точек А и В параллельно оптической оси, проходят через фокус линзы F. В результате построения видим, что полученное изображение является действительным, обратным и уменьшенным.

По формуле (1.4) найдем расстояние в от линзы до изображения:

Из подобия треугольников АОВ и А₁ОВ₁ следует, что

А₁В₁ = АВ ∙в/а = 3∙0,16/0,25 = 1,82 (см)

Увеличение линзы k = А₁В₁ /АВ = 1,82/3 = 0,66.

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

При сложении двух когерентных волн интенсивностей I₁ и I₂ интенсивность I результирующей волны равна

____

I = I₁ + I₂ + 2√ I₁ I₂ соs δ, (1.5)

где δ - разность фаз складывающихся волн.

В тех точках пространства, где соs δ › 0, результирующая интенсивность больше суммы интенсивностей исходных волн,т.е. I › I₁ + I₂. А там, где соs δ ‹ 0, наоборот - результирующая интенсивность меньше суммы интенсивностей исходных волн - I ‹ I₁ + I₂.

Следовательно, происходит перераспределение энергии светового потока: в одних местах волны усиливают друг друга, там наблюдаются максимумы интенсивности света, а в других волны ослабляют друг друга и там имеют место минимумы интенсивности света. Это явление называется интерференцией света.

Оптический путь L световой волны - это произведение геометрической длины пути s световой на показатель преломления среды n:

L = s n . (1.6)

Оптической разностью хода двух световых волн называется величина

Δ = L₂- L₁ = s₂ n₂ - s₁ n₁. (1.7)

Оптическая разностью хода волн Δ связана с их разностью фаз δ соотношением

δ

Δ = –– λ₀ . (1.8)

2π

Здесь λ₀ - длина волны в вакууме.

Если оптическая разность хода волн равняется четному числу полуволн, т.е.

Δ = ± 2m λ₀/2 = ± m λ₀ , (1.9)

то при их наложении наблюдается интерференционный максимум. Если же оптическая разность хода волн равняется нечетному числу полуволн

Δ = ± (2m + 1) λ₀/2, (1.10)

то при их сложении имеет место минимум интерференции.

Расстояние между соседними максимумами (или минимумами) называется шириной интерференционной полосы Δх. При наблюдении интерференционной картины от двух когерентных источников света (опыт Юнга, зеркала Френеля, бипризма Френеля и т.д.) ширина интерференционной полосы рассчитывается по формуле

l

Δх = ––– λ , (1.11)

d

где l – расстояние от источников света до экрана наблюдения; d – расстояние между источниками света; λ - длина волны.

Оптическая разность хода световых волн при отражении от тонкой пленки

_________

Δ = 2d√ n² - sin² α ± λ/2 = 2d n cos β ± λ/2. (1.12)

Здесь d – толщина пленки; α и β – углы падения и преломления волны. Дополнительная разность хода ± λ/2 возникает из-за потери полуволны при отражении света от среды, оптически более плотной.

Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных в проходящем)

(1.13)

Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете (или светлых в проходящем)

(1.14)

где R – радиус линзы; m – номер кольца; n – показатель преломления среды, находящейся между линзой и стеклянной пластинкой.

ПРИМЕР. На плоскопараллельную пленку с показателем преломления 1,25, находящуюся в воздухе, нормально падает параллельный пучок монохроматического света длины волны λ. Как будет выглядеть эта пленка в отраженном свете, если ее толщина d = 10 λ ?

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим луч света 1, принадлежащий падающему световому пучку. Известно, что при нормальном падении преломленный луч не меняет своего направления. В точке А луч света 1 частично отражается от первой грани пленки в обратном направлении (луч 1΄), частично проходит в первоначальном направлении до точки В и отражается от второй грани пленки (1΄΄). Для удобства лучи 1΄ и 1΄΄ изображены раздельно, на самом деле они идут по одному направлению. Лучи 1΄ и 1΄΄ являются когерентными, т.к. получены делением одного луча на два , и могут интерферировать при наложении. Поскольку потеря полуволны происходит при отражении света от верхней границы пленки, оптическая разность хода лучей в данном случае определится как

Δ = L₂- L₁ = 2d n - (- λ/2) = 2d n + λ/2. (1.15)

Так как толщина пленки и угол падения лучей не меняется, то разность хода интерферирующих лучей по всей пленке одинакова. Поэтому пленка будет окрашена равномерно: при выполнении условия интерференционных минимумов (1.10) она будут темной, а при выполнении условия максимумов (1.9) она будет окрашена в цвет падающего монохроматического излучения.

В общем виде можно записать

2d n + λ/2 = х λ/2, (1.16)

имея в виду, что при четном х пленка в отраженном свете будет светлой, а при нечетном - темной.

Найдем величину из равенства (1.16):

2d n + λ/2 4d n

х = –––––––––-- = ––––- +1;

λ/2 λ

4∙10∙λ∙1,25

х = –––––––––-- + 1 = 51,

λ

т.е. получили нечетное число, откуда следует, что пленка в отраженном свете будет темной.

ПРИМЕР. Явление интерференции света применяется для определения показателей преломления прозрачных материалов с помощью приборов, называющихся интерференционными рефрактометрами. На рис.6 приведена принципиальная схема такого рефрактометра. Здесь S - узкая щель, через которую проходит свет длины волны λ = 589 нм; 1 и 2 – кюветы длиной l = 10 см каждая, заполненные воздухом показатель преломления которого n = 1,000277; L₁ и L₂ - линзы; Э – экран для наблюдения интерференционной картины. При замене в одной из кювет воздуха на аммиак интерференционная картина на экране сместилась на N = 17 полос относительно первоначальной картины. Определить показатель преломления аммиака.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим точку А в центре экрана Э. Очевидно, что оптическая разность хода лучей Δ₁ в случае заполнения обеих кювет воздухом, равняется нулю. Из условия максимумов Δ₁ = m₁λ = 0 следует, что и порядок максимума m₁ в точке А тоже равен нулю.

При заполнении одной из кювет аммиаком оптическая разность хода лучей Δ₂ в этой точке составит

Δ₂ = n_а l - n l = m₂λ, (1.17)

где m₂ – новый порядок максимума, который по условию задачи равняется m₂ = m₁ + N . Из-за этого интерференционная картина и во всех точках экрана сместилась на N полос. Отсюда следует

n_а l - n l = m₂λ = (m₁ + N) λ;

m₁ + N

n_а = n + ––––––– λ ;

l

0 + 17

n_а = n + 1,000277 + ––––––– ∙589∙10^-9 = 1, 001278.

10^-2

Следует обратить внимание на высокую точность измерения показателя преломления таким методом.

ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

Дифракция света – это огибание волнами препятствий по размерам сравнимых с длиной волны излучения, вследствие чего волны отклоняются от своего прямолинейного распространения. Это явление имеет место для волн любой природы - механических, электромагнитных и т. д.

Радиусы зон Френеля для сферических волн

(1.18)

для плоских волн

(1.19)

где а и b – расстояния от источника волны до препятствия и от препятствия до точки наблюдения соответственно; m – номер зоны; λ - длина волны.

При дифракции плоской световой волны на прямоугольной бесконечно длинной щели шириной а условие дифракционных максимумов

(1.20)