Средняя концентрация фотонов

Согласно (1.2)

средняя энергия единицы объема волны пропорциональна квадрату модуля волны

.

Энергия фотона (1.6)

,

тогда средняя концентрация фотонов

.

Если в объеме имеется один фотон, то вместо концентрации используется плотность вероятности – вероятность обнаружения фотона в единице объема. В результате плотность вероятности обнаружения фотона пропорциональна квадрату модуля волны

. (1.10)

Волна де Бройля

Корпускулярно-волновая двойственность согласно де Бройлю присуща не только фотону, но и частице вещества.

По аналогии с фотоном частицу вещества описываем волной. Используя (1.8)

,

получаем, что частице массой m, движущейся вдоль оси x в поле с потенциальной энергией и с полной энергией Е сопоставляется волна де Бройля, или волновая функция (обозначаемая греч. буквой «пси»):

, (1.11)

где

– полная энергия частицы,

– модуль импульса частицы.

Длина волны

. (1.13)

Чем больше энергия, тем меньше длина волны. Для электрона с энергией в пределах от 1 эВ до эВ длина волны лежит в пределах от ~ 1 нм до нм. В металлах длина волны де Бройля носителя тока порядка нанометра, в полупроводниках – несколько микрометров. Столь маленькая длина волны проявляется при дифракции и интерференции на объектах микроскопического размера.

Плотность вероятности обнаружения частицы

, (1.14)

т. е. вероятность найти частицу в момент t в единичном интервале около точки x. Вероятность обнаружения частицы в интервале dx

. (1.15)

Вероятность найти частицу во всем пространстве равна единице и выполняется условие нормировки

. (1.16)

Квантование Бора–Зоммерфельда

При распространении микрочастицы по траектории условие максимума интерференции (1.3)

обеспечивает наибольшую амплитуду волны и наибольшую вероятность обнаружения частицы, движущейся между начальной и конечной точками двумя путями, отличающимися по длине на .

Рассмотрим движение частицы с постоянным модулем импульса p по замкнутой траектории длиной . Частица выходит из некоторой точки траектории и приходит в другую точку двумя путями. Один путь является кратчайшим, на втором пути частица делает лишний полный оборот по траектории, что превышает первый путь на длину траектории . Используя (1.13)

,

получаем условие обнаружения частицы на траектории

.

Нарушение этого условия приводит к резкому уменьшению амплитуды волны и вероятности обнаружения частицы.

Обобщаем результат на случай, когда импульс изменяется вдоль траектории с элементом , и получаем формулу квантования Бора–Зоммерфельда

, (1.17)

где

– квантовое число, или номер траектории, показывает число раз, которое длина волны де Бройля укладывается на протяжении траектории;

– объем фазового пространства одномерного движения, занятого n состояниями. Следовательно, каждое квантовое состояние одномерного движения занимает в фазовом пространстве объем, равный h.

Формула (1.17) применимав квазиклассическом приближении, когда существует траектория частицы, т. е. длина волны де Бройля гораздо меньше характерного размера траектории r. С учетом и (1.17) и (1.13)

,

получаем условия применимости (1.17)

, , . (1.18)

Полуклассическая теория неприменима для системы с характерным размером, сравнимым с длиной волны де Бройля, когда отсутствует понятие траектории.