Первое начало термодинамики. Теплоёмкость.
Семинар 04
1. Гелий из состояния с температурой T1 = 200 К расширяется в процессе PV2 = const (P — давление, V — объем газа) с постоянной теплоемкостью C. От газа отвели количество теплоты 415 Дж, и конечный объем газа стал вдвое больше начального. 1) Определить конечную температуру гелия. 2) Определить теплоемкость C.
2. Гелий в количестве n = 2 моля расширяется в процессе с постоянной теплоемкостью C. В результате к газу подвели количество теплоты 3000 Дж и внутренняя энергия газа уменьшилась на 2490 Дж. 1) Чему равна работа, совершенная газом? 2) Определить теплоемкость C.
3. Гелий из состояния с температурой T1 = 100 К расширяется в процессе P2V = const (P — давление, V — объем газа) с постоянной теплоемкостью C. К газу подвели количество теплоты 2910 Дж. Конечное давление газа вдвое меньше начального. 1) Определить конечную температуру гелия. 2) Определить теплоемкость C.
4. Гелий в количестве ν = 4 моля сжимают в процессе с постоянной теплоемкостью C. От газа отвели количество теплоты, равное изменению его внутренней энергии, и температура газа увеличилась на 100 К. 1) Чему равна работа, совершенная газом? 2) Определить теплоемкость C.
5. Моль гелия расширяется из начального состояния 1 в конечное состояние 3 в двух процессах. Сначала расширение идет в процессе 1–2 с постоянной теплоемкостью c = 3R/4 (R — газовая постоянная). Затем газ расширяется в процессе 2–3, в котором давление прямо пропорционально объему. Найти работу, совершенную газом в процессе 1–2, если в процессе 2–3 он совершил работу A. Температуры начального (1) и конечного состояния (3) равны.
6. Моль гелия, расширяясь в процессе 1–2, в котором давление меняется прямо пропорционально объему, совершает работу A. Из состояния 2 гелий расширяется в процессе 2–3, в котором его теплоемкость c остается постоянной и равной c = R/2 (R — газовая постоянная). Какую работу A23 совершит гелий в процессе 2–3, если его температура в состоянии 3 равна температуре в состоянии 1?
7. Моль гелия сжимают из начального состояния 1 в конечное состояние 3 в двух процессах. Сначала сжатие идет в процессе 1–2, когда давление гелия прямо пропорционально его объему. Затем из состояния 2 газ сжимают в процессе 2–3 с постоянной теплоемкостью. В конечном состоянии 3 температура гелия равна его начальной температуре в состоянии 1. Найти теплоемкость газа в процессе 2–3, если в процессе сжатия 1–2 над газом совершена работа A (A > 0), а в процессе сжатия 2–3 над газом совершена работа 2A.
8. Моль гелия из состояния 1 сжимается в процессе 1–2 с постоянной теплоемкостью а затем в процессе 2–3, в котором давление газа прямо пропорционально его объему. Температуры гелия в состояниях 1 и 3 равны. Найти теплоемкость газа в процессе сжатия 1–2, если работа сжатия на участке 1–2 в 1,5 раза больше работы сжатия на участке 2–3.
9. К идеальному одноатомному газу, заключенному внутри масляного пузыря, подводится тепло. Найти молярную теплоемкость газа в этом процессе, если давлением снаружи пузыря можно пренебречь. Указание: добавочное давление под сферической поверхностью жидкости с коэффициентом поверхностного натяжения σ и радиусом кривизны r дается формулой Лапласа P = 2σ/r.
10. Замкнутый цилиндрический сосуд разделен на две части свободно перемещающимся поршнем, прикрепленным с помощью упругой пружины к левому торцу сосуда. В левой части сосуда — вакуум, в правой — моль идеального газа. Найти теплоемкость газа, находящегося в таких условиях. Недеформированное состояние пружины соответствует положению поршня у правого торца сосуда.
11. В цилиндрическом сосуде, разделенном свободно перемещающимся поршнем на две части, находится по одному молю идеального одноатомного газа. Температура газа в левой части сосуда поддерживается постоянной. Найти теплоемкость газа в правой части сосуда при положении поршня, когда он делит сосуд пополам. Поршень тепла не проводит.
12. Моль одноатомного идеального газа находится в цилиндрическом сосуде под подвижным поршнем, прикрепленным с помощью пружины к сосуду. Сила упругости F , возникающая в пружине, зависит от ее удлинения по закону F = kxα, где k и α некоторые константы. Определить α, если известно, что молярная теплоемкость газа, находящегося в таких условиях, C = 1,9R, где R — универсальная газовая постоянная. Внешним давлением, длиной пружины в ненапряженном состоянии и трением поршня о стенки сосуда можно пренебречь.
13. С идеальным одноатомным газом провели процесс, график которого в координатах PV оказался окружностью с центром в начале координат. Найдите молярную теплоёмкость газа в этом процессе в точке P = P0, V = V0.
Ответы
1. Tk = 100 К, С=4,15 Дж/К.
2. А=5490 Дж, С= -30 Дж/К.
3. Тк=200 К, С = 2,91 Дж/К.
4. А=10 кДж, С= - 50Дж/К.
5. 1,5А.
6. 2А.
7. R/2.
8. 3R/4.
9. 3R.
10. 2R.
11. 2R.
12. 3/2.
13. ∞.
Домашнее задание на каникулы
1. Подвижный поршень весом mg, подвешенный на пружине, делит объем вертикально расположенного пустого цилиндра на две части. В положении равновесия высота нижней части цилиндра h0, удлинение пружины x0. В нижнюю часть цилиндра впускают ν молей воздуха. После установления равновесия пружина оказывается сжатой. Величина деформации сжатой пружины x1 = 2x0. После этого воздух медленно охлаждают до некоторой температуры, так что в конечном состоянии деформация сжатой пружины x2 = x0. 1) Найти конечную температуру воздуха. 2) Найти работу, совершенную воздухом в процессе охлаждения.
2. Подвижный поршень весом mg, подвешенный на пружине, делит объем вертикально расположенного откачанного цилиндра на две части. В положении равновесия высота нижней части цилиндра h0, а удлинение пружины x0. В нижнюю часть цилиндра впускают ν молей воздуха. После установления равновесия удлинение пружины оказалось равным x1 = x0/4. Затем воздух в цилиндре стали медленно охлаждать, так что в конце процесса охлаждения удлинение пружины оказалось x2=3x1. 1) Найти конечную температуру воздуха в цилиндре. 2) Найти работу, совершенную воздухом в процессе охлаждения.
3. Равные массы гелия и водорода находятся в теплоизолированном цилиндре под поршнем. Объем цилиндра V0 = 1 л, давление в нем P0 = 9 атм. При адиабатическом расширении смесь газов совершает работу A = 650 Дж. Найти относительное изменение температуры смеси.
4. Гелий и водород находятся в теплоизолированном цилиндре под поршнем. Объем, занимаемый смесью газов V0 = 1 л, давление P0 = 37 атм. При адиабатическом расширении смеси газов относительное уменьшение температуры составило 75%. Найти работу, совершаемую при этом смесью газов, если масса водорода в 1,5 раза больше массы гелия.
5. В цилиндре под давлением P = 2 атм находится смесь гелия и водорода. Изобарический нагрев смеси газов приводит к увеличению объема цилиндра на ∆V = 1 л. На сколько изменилась при этом внутренняя энергия смеси газов? Масса водорода в 1,5 раза больше массы гелия.
6. В сосуде объемом V = 1 л находится смесь гелия и водорода. При изохорическом нагреве смеси к ней подвели количество теплоты Q = 220 Дж. При этом давление в сосуде возросло на ∆P = 1 атм. Найти отношение числа молей водорода к числу молей гелия в сосуде.
7. Чтобы поднять температуру 1 кг неизвестного газа на один градус при постоянном давлении, требуется 909 Дж тепла, а при постоянном объеме — 650 Дж. Что это за газ?
8. Разреженный газ нагревают в сосуде постоянного объема, при этом его удельная теплоемкость оказывается равной 740 Дж/(кг • К). Что это за газ?
9. Моль гелия сжимают в адиабатическом процессе так, что относительные изменения давления ∆P/P , объема ∆V/V и температуры ∆T/T газа малы. Найти относительное изменение давления газа, если над ним была совершена работа A = 15 Дж. Начальная температура газа T = 300 К.
10. Моль гелия из начального состояния с температурой T = 300 К расширяется в адиабатическом процессе так, что относительные изменения давления ∆P/P , объема ∆V/V и температуры газа ∆T/T малы. Найти работу A, совершенную газом, если относительное изменение его давления ∆P/P = −1/120.
11. Моль гелия сжимают в адиабатическом процессе так, что относительные изменения давления ∆P/P , объема ∆V/V и температуры ∆T/T газа малы. На сколько процентов изменяется давление газа, если относительное изменение температуры ∆T/T = 0,0032?
12. Моль гелия расширяется в процессе P2V = const так, что изменение температуры газа составило ∆T = 0,3 К. Какую по величине работу совершил газ, если относительные изменения его давления ∆P/P, объема ∆V/V и температуры ∆T/T малы?
13. Температура гелия увеличивается в 1,5 раза в процессе PV2 = const (P — давление газа, V — его объем). При этом внутренняя энергия газа изменилась на ∆U = 300 Дж. Найти: 1) минимальное давление гелия в этом процессе Pmin, 2) начальный объем газа V1. Максимальное давление, которое было у газа в этом процессе, составило Pmax = 9 • 105 Па.
14. Температура гелия уменьшается в 2 раза в процессе P2V = const (P — давление, V — объем газа). Найти: 1) начальный объем газа V1, 2) изменение его внутренней энергии в процессе охлаждения. Начальное давление газа P1 = 105 Па, а минимальный объем, который он занимал в процессе охлаждения, составил Vmin = 1 л.
15. Температура гелия уменьшается в 3 раза в процессе PV2 = const (P — давление газа, V — его объем) При этом его внутренняя энергия изменилась на величину, равную 50 Дж. Найти: 1) максимальное давление газа Pmax, 2) величину объема газа Vк в конечном состоянии. Минимальное давление газа в этом процессе составило Pmin = 105 Па.
16. Температура гелия увеличилась в 3 раза в процессе P2V = const (P — давление, V — объем газа), а его внутренняя энергия изменилась на 100 Дж. Найти: 1) начальный объем V1 газа; 2) начальное давление P1 газа. Максимальный объем, который занимал газ в процессе нагрева, равнялся Vmax = 3 л.
Ответы
1. .
2. .
3. .
4. 6,2 кДж.
5. 450 Дж.
6. 7:3.
7. О2.
8. N2 или СО.
9. 0,01.
10. 12,5 Дж.
11. 0,8%.
12. 5 Дж.
13. Pmin = 4×105 Па, V1 = 1 л.
14. V1 = 4 л, DU = -300 Дж.
15. Pmax = 9×105 Па, Vk = 1/6 л.
16. V1= 1/3 л, P1=105 Па.