Методика определения отношения теплоемкостей

Указание по мерам безопасности

При выполнении лабораторной работы

Внутри используемых в работе электроизмерительных приборов имеется переменное сетевое напряжение 220 В, 50 Гц, представляющее опасность для жизни.

Наиболее опасными местами являются сетевой выключатель, гнезда предохранителей, шнур сетевого питания приборов, соединительные провода, находящиеся под напряжением.

К выполнению лабораторных работ в учебной лаборатории допускаются обучающиеся прошедшие обучение по мерам безопасности при проведении лабораторных работ с обязательным оформлением в журнале протоколов проверки знаний по мерам безопасности при проведении лабораторных работ.

Перед выполнением лабораторной работы обучающимся
необходимо:

- усвоить методику выполнения лабораторной работы, правила ее безопасного выполнения;

- ознакомиться с экспериментальной установкой; знать безопасные методы и приемы обращения с приборами и оборудованием при выполнении данной лабораторной работы;

- проверить качество сетевых шнуров; убедиться, что все токоведущие части приборов закрыты и недоступны для прикосновения;

- проверить надежность соединения клемм на корпусе прибора с шиной заземления;

- в случае обнаружения неисправности немедленно доложить преподавателю или инженеру;

- получить у преподавателя допуск к ее выполнению, подтверждая этим усвоение теоретического материала. Обучающийся не получивший допуск к выполнению лабораторной работы не допускается.

Включение приборов производит преподаватель или инженер. Только после того, как он убедится в исправности приборов и правильности их сборки можно приступать к выполнению лабораторной работы.

При выполнении лабораторной работы обучающиеся должны:

- не оставлять без присмотра включенные приборы;

- не наклоняться к ним близко, не передавать через них какие-либо предметы и не опираться на них;

- при работе с грузиками надежно закреплять их крепежными винтами на осях.

замену любого элемента установки, присоединение или разъединение разъемных соединений производить только при отключенном электропитании под четким наблюдением преподавателя или инженера.

Обо всех недостатках, обнаруженных во время выполнения лабораторной работы, сообщить преподавателю или инженеру

По окончании работы отключение аппаратуры и приборов от электросети производит преподаватель или инженер.

Лабораторная работа № 8

ИЗУЧЕНИЕ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗОВ

Цель работы.

1.Изучить первое начало термодинамики.

2.Изучить адиабатический процесс в газе.

3.Определить отношения теплоемкости при постоянном давлении и теплоемкости при постоянном объеме.

1. Теория

Свойства тел при их механическом и тепловом взаимодействия друг с другом достаточно хорошо могут быть описаны на основе молекулярно - кинетической теории. Согласно этой теории все тела состоят из мельчайших частиц – атомов, молекул или ионов, которые находятся в непрерывном хаотическом движении, называемом тепловым, и взаимодействуют между собой. Движение этих частиц подчиняется законам механики. Состояние системы таких частиц определяется совокупностью значений ее термодинамических параметров (или параметров состояния), т.е. физических величин, характеризующих макроскопические свойства системы. Обычно в качестве параметров состояния выбирают температуру, давление, удельный объем. Внутренней энергией такой системы называется энергия, зависящая только от состояния термодинамической системы. Внутренняя энергия системы состоит из кинетической энергии молекул, составляющих систему, потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом, внутримолекулярной энергии (т.е. энергии взаимодействия атомов или ионов в молекулах, энергии электронных оболочек атомов и ионов, внутриядерной энергии) и энергии электромагнитного излучения в системе.

Система может обладать также и внешней энергией, которая представляет собой сумму кинетической энергия движения системы как целого (кинетической энергии центра масс системы) и потенциальной энергии системы в поле внешних сил. Внутренняя и внешняя энергия составляют полную энергиюсистемы.

Однако строгий подсчет внутренней энергии тела затруднен. Внутренняя энергия может быть определена только с точностью до постоянного слагаемого, которое нельзя найти методами термодинамики. Но в большинстве случаев приходится иметь дело только с изменениями внутренней энергии DU, а не с ее абсолютным значением U, поэтому отсчет внутренней энергии можно вести от внутримолекулярной энергии, которую в большинстве случаев можно считать постоянным слагаемым. Чаще всего за нуль внутренней энергии (U=0) принимают энергию, которой обладает система при абсолютном нуле (т.е. T=0 K).

Внутреннюю энергию тела можно изменить путем теплообмена или механическим воздействием, т.е. производя над телом работу. Теплообмен и механическое воздействие в ряде случаев могут приводить к одинаковым изменениям внутренней энергии тела. Это дает возможность сравнивать теплоту и работу и измерять их в одинаковых единицах. Теплота представляет собой энергию, которая передается от одного тела к другому при их контакте или путем излучения нагретого тела, т.е. по существу мы имеем дело с работой, которую совершают уже не макроскопические тела, а хаотически движущиеся микрочастицы. Таким образом, термодинамическая система может получать или отдавать некоторое количество теплоты dQ, может производить работу или над ней может быть произведена работа. Теплота и работа – это две формы, в которых энергия среды может передаваться телу или наоборот, энергия тела может передаваться среде. Необходимым условием совершения системой работы является перемещение взаимодействующих с ней внешних тел. В случае квазистатического, равновесного процесса элементарная работа dA, совершенная для изменения объема тела на величину dV, равна

, (1)

где p- давление.

Данная работа dA называется работой расширения и представляет собой работу, которую система производит против внешних сил.

Мы рассматриваем квазистатические процессы, т.е. процессы, происходящие настолько медленно, что в системе успевает установиться термодинамическое равновесие, т.е. система будет переходить через ряд равновесных состояний, переходящих одно в другое. Только в этом случае состояние системы можно изобразить графически.

Полная работа при переходе системы из состояния с объемом V₁в состояние с объемом V₂будет равна

, (2)

Из геометрического смысла определенного интеграла в формуле (2) следует, что работа А, совершаемая системой при переходе из первого состояния во второе, будет равна площади под кривой, описывающей данный процесс в координатах p, V (т.е. заштрихованной площади криволинейной трапеции, см. рис.1). Следовательно, работа зависит не только от начального и конечного состояния системы, но и от того каким образом был осуществлен переход из одного состояния в другое.

Рис.1.

Теплота, также как и работа, зависит от того, каким образом осуществляется процесс. Работа и теплота наряду с внутренней энергией также являются формами энергии. Закон сохранения энергии в термодинамике, который называют также первым началом (или первым законом) термодинамики,формулируется следующим образом: изменение внутренней энергии системы равно сумме количества сообщенного этой системе тепла dQ и работы dA^’, совершенной над ней внешними телами.

(3)

Для практического использования первого начала термодинамики надо условиться о выборе знака для теплоты и работы. Теплоту будем считать положительной, когда она сообщается системе, а работу положительной, когда система совершает ее против действия внешних сил. Следовательно, работа dA^’ в формуле (3), выполняемая над системой, отрицательна, т.е. противоположна по знаку работе расширения dA (смотри формулу (1)), выполняемой системой против внешних сил.

В связи с тем, что dA^’=-dA первое начало термодинамики можно записать

.

Это уравнение может быть переписано также в следующей форме

(4)

Первое начало термодинамики при записи в форме (4) формулируется следующим образом: количества сообщенного системе тепла dQ расходуется на изменение внутренней энергии системы dU и совершение работы dA этой системой над внешними телами.

Внутренняя энергия является полным дифференциалом. Она не зависит от вида процесса, а определяется только начальным и конечным состоянием системы. При циклическом процессе (рис.2) изменение внутренней энергии равно нулю, т.е. Q=A.

Рис.2.

Различные тела можно нагреть до одной и той же температуры путем подведения различного количества теплоты. Это означает, что различные вещества обладают разной восприимчивостью к нагреванию.

Эту восприимчивость характеризует величина, называемая теплоемкостью.

Теплоемкостью тела будем называть отношение элементарного количества тепла dQ, сообщенного телу в каком-либо процессе, к произошедшему в результате этого изменению температуры тела dT

(5)

В том случае, если теплоемкость не сильно зависит от температуры, ее можно определить также как физическую величину численно равную количеству теплоты, которое нужно сообщить телу, чтобы увеличить его температуру на 1 градус.

Теплоемкость зависит от массы тела, его термодинамического состояния и вида процесса сообщения тепла.

Удельной теплоемкостью называется теплоемкость единицы массы однородного вещества

(6)

Молярной теплоемкостью называют теплоемкость одного моля вещества

(7)

где - число молей вещества.

Пусть нагревание тепа происходит при неизменном объеме (V= const). Соответствующая молярная теплоемкость называется изохорической теплоемкостьюи обозначается C_V

(8)

Так как в этом случае dQ=dU, то можно записать, что

(9)

Аналогично определяется теплоемкость при постоянном давлении С_p(изобарическая теплоемкость)

(10)

Теплоемкость С_p идеального газа при постоянном давлении больше теплоемкости при постоянном объеме С_V

, (11)

поскольку для одного моля газа

.

как следует из дифференцирования уравнения уравнение Клапейрона - Менделеева по dT при условии p=const.

Измерения, которые проводились на газах, показали, что их молярные теплоемкости зависят от числа атомов, из которых состоят молекулы этих газов. Т.е. их можно разбить на группы как одноатомные, двухатомные, трехатомные и т.д., каждая из которых обладает одинаковой теплоемкостью вне зависимости от состава газа. Закономерности, которые относятся к теплоемкостям двух, трех и многоатомных газов, можно объяснить на основе закона Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы, который доказывается в классической статической физике. Степени свободы характеризуют способность тела совершать независимые перемещения и в соответствии с основными видами механического движения их условно можно разделить на поступательные, вращательные и колебательные. Числом степеней свободы механической системы называется минимальное количество независимых величин (координат), однозначно определяющих ее положение и конфигурацию в пространстве. Положение одной материальной точки в пространстве полностью определяется заданием трех ее координат, т.е. материальная точка обладает тремя степенями свободы. Если рассмотреть абсолютно твердое тело, то оно обладает тремя поступательными степенями свободы и тремя вращательными, т.е. положение абсолютно твердого тела определяется тремя координатами его центра масс и тремя координатами, определяется возможные вращения тела вокруг трех взаимно - перпендикулярных осей. Система из N материальных точек, связи между которыми не являются жесткими, обладает 3N степенями свободы. Любая жесткая связь, которая устанавливает неизменное расположение 2 точек, уменьшает число степеней свободы на единицу. Следовательно, число степеней свободы жесткой двухатомной молекулы равно 5, причем 3 из них поступательные, а 2 - вращательные. Опыт показывает, что вращение вдоль оси, проходящее через центры обоих атомов двухатомной молекулы, может быть возбуждено при очень высокой температуре, поэтому оно обычно не учитывается, что справедливо для большого диапазона температур. Если атомы в молекулах не жестко связаны друг с другом, то они могут совершать колебания относительно друг друга, т.е. обладать также колебательнымистепенями свободы. Таким образом, если молекула состоит из Nатомов не жестко связанных друг с другом, то она имеет 3N степеней свободы, из которых 3 степени свободы поступательные, 3 - вращательные, а остальные 3N-6 для нелинейной молекулы (когда все атомы расположены не на одной прямой) являются колебательными степенями свободы. Исключение составляет случай, когда все атомы в молекуле расположены на одной прямой (линейная молекула). Она обладает 3 поступательными, 2 вращательными и 3N-5 колебательными степенями свободы.

Закон Больцмана о равнораспределении энергии по степеням свободы гласит, что если система молекул находится в состоянии теплового равновесия при температуре T, то средняя кинетическая энергия равномерно распределена между всеми поступательными и вращательными степенями свободы и для каждой поступательной или вращательной степени она равна , а энергия, приходящаяся на колебательную степень свободы, равна kT.

Если число степеней свободы жесткой молекулы обозначить i, то ее средняя энергия будет , а внутренняя энергия одного моля газа будет равна , а для n молей - . Отсюда видно, что

(12)

, (13)

а внутренняя энергия может быть записана также как

. (14)

Если молекула нежесткая, то при расчете по формулам (9), (10) i представляет собой сумму числа поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы (i=i_пост+i_вращ+2i_колеб). Отношение , таким образом, будет равно (i+2)/2. Для двухатомной молекулы с жесткими связями i=5, значит =1.4.

Рассмотрим процесс, в уравнении которого фигурирует отношение теплоемкостей g= называемый адиабатическим. Этот процесс играет большую роль в технике, особенно, в различного рода двигателях.

Адиабатический процесс - это процесс, происходящий без теплообмена с внешней средой. Такие процессы происходят в теплоизолированных системах. В не теплоизолированных системах адиабатическими процессами можно считать быстропротекающие процессы. В этом случае за время протекания этого процесса тепло не успевает покинуть объем, где он осуществлялся. Несмотря на то, что в пределах большого объема состояние газа в этом случае не является равновесным, поведение газа в пределах достаточно малых объемов вполне можно описать уравнением адиабаты.

Найдем уравнение, связывающее параметры состояния идеального газа для адиабатического процесса.

Для этого запишем первое начало термодинамики для адиабатического процесса (4) с учетом того, что равно нулю, то:

следовательно (15).

Воспользуемся уравнением Менделеева - Клапейрона:

. (16)

Подставим (16) в уравнение (15). Получим:

или . (17)

Уравнение (13) преобразуем как ,

из чего следует, что

.

Или . Учитывая, что , можно записать

. (18)

Заменив Тна , получаем соотношение

, (19)

уравнение состояния для адиабатического процесса, называемое уравнением Пуассона.

Поскольку >1, то очевидно, что адиабата идет круче изотермы, уравнение которой pV=const (рис.3). Адиабатический и изотермический процессы являются частными случаями более общего процесса - политропического, который описывается уравнением pVⁿ=const (где n называют показателем политропы). К политропическому процессу относятся также и изохорический и изобарический процессы.

Рис.3.

Политропический процесс – это процесс, при котором теплоемкость газа остается постоянной. При этом показатель политропы равен

,

при этом теплоемкость C_мол (молярная теплоемкость газа) принимает значение 0 для адиабатического процесса, ¥(бесконечность) для изотермического, C_p для изобарического и C_V для изохорического.

Методика определения отношения теплоемкостей

Для определения отношения теплоемкостей используют метод адиабатического расширения. Прибор для осуществления адиабатического расширения воздуха представляет собой баллон, соединенный с манометром и имеющий два крана К₁ и К₂ (рис.4).

Рис.4.

Через кран K₁ воздух в баллоне соединяется с атмосферным воздухом, а через кран К₂ в баллон нагнетается воздух. Если теперь закрыть кран K₁, открыть кран К₂ и накачать в баллон дополнительное количество воздуха, давление в баллоне станет больше атмосферного. Так как при накачивании воздух нагрелся в результате адиабатического сжатия, то необходимо подождать некоторое время, пока температура воздуха в баллоне станет равной температуре атмосферного воздуха T₀. Обозначим через p₁ давление воздуха внутри баллона, соответствующее показанию манометра p₁’(манометр показывает превышение давления над атмосферным). Тогда

, (20)

где p_o - атмосферное давление.

Два параметраp₁ иT_oхарактеризуют состояние газа, которое мы назовем первым состоянием (состояние I: p₁, T_o). Если теперь быстро открыть кран K₁, то воздух в баллоне будет расширяться адиабатически, пока его давление не станет равным атмосферному p_o, при этом он охладится до температуры T₁. Это второе состояние газа (состояние II: p_o, T₁). Если в тот момент времени, когда давление воздуха в баллоне станет равно атмосферному, перекрыть кран K1, то давление воздуха внутри баллона начнет возрастать вследствие того, что охладившийся при адиабатическом расширении воздух в баллоне начнет нагреваться (тепло поступает из внешней среды). Это изохорический процесс. Возрастание давления p₂прекратится, когда температура воздуха в баллоне сравняется c внешней температурой T_o. Это будет третьим состоянием системы (состояние III: p₂, T_o)

причем

_’ (21)

где p₂’ - показание манометра.

Так как переход из состояния II в состояние III произошел без изменения объема, то есть это изохорический процесс, то можно записать

или . (22)

К процессу адиабатического расширения (переход от состояния I в состояние II) применимо уравнение адиабаты в координатах p, Т

или . (23)

Подставив из уравнения(22), получим

. (24)

Прологарифмируем обе части (24)

(25)

и, подставив значения p₁, p₂ из (20,21), получим

(26)

Так как величины и являются малыми (мы накачиванием до давлений, малых по сравнению с атмосферным), то выполняется условие ln(1+x) » x, справедливое для малых x. Т.е. мы можем написать

. (27)

Откуда

(28)

Формула (28) является рабочей формулой для расчета g.

3. Описание лабораторной установки

Лабораторная установка для определения теплоемкостей (рис.5) включает в себя прибор для осуществления адиабатического процесса, компрессор и датчик температур, соединенный с цифровым вольтметром, градуированным в единицах температуры.

Рис.5. Схема лабораторной установки:

Б - баллон, М – манометр, В - вольтметр с датчиком температуры Т;
Компр. – компрессор, K₁ и K₂ - краны.

Прибор для осуществления процесса адиабатического расширения представляет собой баллон Б с кранами К₁ и К₂, соединенный с манометром. Воздух в баллон нагнетается компрессором. С помощью датчика температуры фиксируется момент времени, когда воздух в баллоне приходит в тепловое равновесие с атмосферным воздухом.

4. Задание

1. определить величину отношения теплоемкостей g= .

2. рассчитать абсолютную и относительную ошибки определения g.

3. данные измерений и вычислений занести в таблицу.

Таблица

№ опыта	p1’	p2’	p1’- p2’	g	Dg
среднее значение

5. Контрольные вопросы

1. Что называется внутренней энергией системы?

2. Что такое теплота? Работа?

3. Как формулируется первое начало термодинамики? Как оно выражается в математическом виде?

4. Что называется теплоемкостью газа?

5. Что такое изохорическая теплоемкость, изобарическая теплоемкость?

6. Что такое степени свобода? Какие они бывают?

7. Сформулируйте закон равномерного распределения энергии по степеням свободы.

8. Какой процесс называется адиабатическим?

9. Почему адиабата идет круче изотермы?

10. Как практически осуществляется изотермический и адиабатический процессы?

11. Как выводится расчетная формула для определения g?

12. В чем состоит метод определения g, используемый в этой работе?

6. Литература

1. Яворский Б.М. Курс физики / Б.М. Яворский, А.Л. Детлаф [и др.]. - М.: Высшая школа, 1965. - т.1, гл. Х, §§ 10.1, 10.2, 10.5.

2. Савельев И.В. Курс общей физики / И.В. Савельев. - М.: Наука, 1970. - т.1, §§102, 103.

3. Фриш С.Э.,. Курс общей физики / С.Э. Фриш, А.В. Тиморева. - М.: Физматиздат, 1962.т.1, §79.

4. Кикоин А.К. Молекулярная физика / А.К. Кикоин. - М.: Наука, 1976.