Кинематика незатухающих гармонических колебаний

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Государственное образовательное учреждение высшего

Профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

МИИТ

Ярославский филиал

Коромыслов В.А.

Втулкин М.Ю.

Прибылов Н.Н.

Прибылова Е.И.

ФИЗИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

для студентов второго 2 курса

Ярославль - 2012

1. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Колебаниями называются процессы или движения, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени. Колебания возникают, если:

§ существует внешнее воздействие, которое выводит систему из состояния механического, электрического или термодинамического равновесия;

§ на систему действуют силы, которые стремятся вернуть её в положение равновесия.

Кинематика незатухающих гармонических колебаний

Колебания будут свободными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на систему.

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина любой природы х изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Гармонические колебания материальной точки можно описать уравнением:

(1.1)

(или ), где А-максимальное смещение колеблющейся точки от положения равновесия, называемое амплитудой колебаний; ω - круговая или циклическая частота; φ₀ - начальная фаза колебаний в момент времени t=0; (ωt+φ₀)-фаза колебаний в момент времени t.

Так как косинус (или синус) изменяется в пределах от +1 до –1, то х может принимать значения от +А до –А.

Определенные состояния системы повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебаний. За время Т фаза колебаний получает приращение 2π, т.е.

(1.2)

Величина , равная числу колебаний в единицу времени, называется частотой колебаний (измеряется в Герцах, 1Гц = 1/с). Тогда циклическая частота:

ω=2πν (1.3)

Найдем скорость и ускорение колеблющейся величины :

(1.4)

, (1.5)

т.е. имеем гармонические колебания той же частоты. Фаза скорости отличается от фазы величины Х на , соответственно фаза ускорения - на π. Следовательно, в момент времени, когда колеблющаяся величина Х = 0, ее скорость V – максимальна, когда же Х достигает максимального отрицательного значения, то ускорение имеет наибольшее положительное значение (Рис. 1.1)

Рис. 1.1

Подставив в правую часть выражения (1.5) значение Х из (1), получим дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний.

(1.6)

Решением этого уравнения является выражение (1.1).

Система, колебание которой описывается уравнением вида (1.6), называется гармоническим осциллятором. Большинство физических систем при малых отклонениях от положения равновесия ведут себя как гармонический осциллятор. Поэтому модель гармонического осциллятора является чрезвычайно важной для всех областей классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный маятник, математический и физический маятники, колебательный контур.