I.вращательное движение твердого тела

Основные законы и формулы

Наименование величины или физический закон

Формула

Связь между линейным и ) и угловыми ( и ) величинам при вращательном движении   Угловая скорость при равнопеременном вращении   Угол поворота при равнопеременном вращении   Связь между угловой скоростью , частотой вращения и периодом вращения при равнопеременном вращении   Связь между углом поворота и числом оборотов   Основное уравнение динамики вращательного движение (cвязь между угловым ускорением, моментом силы и моментом инерции вращающегося тела)   Моменты инерции некоторых тел а) материальной точки массой на расстоянии от оси вращения   б) полого цилиндра радиусом   в) сплошного цилиндра или диска радиусом   г) однородного тонкого стержня длиной относительно оси, проходящей через его конец   Момент импульса   Закон сохранения момента импульса   Кинетическая энергия вращающегося тела

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение угловой скорости, углового ускоре­ния. Напишите соответствующие формулы. В каких едини­цах измеряются эти величины?

2. Выведите формулу для вычисления угловой скорости при равно -переменном вращении.

3. Выведите формулу для вычисления угла поворота при
равнопеременном вращении.

4. Дайте определение момента силы. В каких единицах
измеряется момент силы?

5. Выведите основной закон динамики вращательного
движения твердого тела.

6. Дайте определение момента инерции. В каких едини­цах измеряется эта величина? Каков ее физический смысл?

7. Дайте определение момента импульса.

8. Выведите формулу кинетической энергии вращающе­гося тела.

Примеры решения задач

ЗАДАЧА № 1

Цилиндрический барабан ультрацентрифуги, применяю­щийся для разделения высокомолекулярных соединений, имеет диаметр и массу . Для остановки барабана, вращающегося с частотой , к нему, после вык­лючения электродвигателя, прижали тормозную колодку. Какую силу трения нужно приложить к боковой поверхно­сти барабана, чтобы остановить его за ? Сколько оборотов он сделает до полной остановки? Какова будет работа силы трения.

Решение

			Момент силы трения, при­ложенной к поверхности бара­бана . Считая барабан сплошным цилиндром, можно написать, что его момент инер­ции равен

Из основного уравнения динамики вращательного движе­ния следует, что где угловое ускорение. Следо­вательно,

и 1

Угловая скорость тела, вращающегося с угловым ускоре­нием и с начальной скоростью , по прошествии времени от начала движения будет: . Так как ба­рабан по условию задачи останавливается, то . Поэто­му . Отсюда

Подставляя это выражение в формулу 1, получим:

2

(знак минус означает, что сила замедляет вращение бара­бана).

Так как вращение барабана равнозамедленное, величина угла поворота будет

Но так как , то

3

С другой стороны, угол поворота связан с полным чис­лом оборотов барабана соотношением

4

Приравнивая правые части выражений 3 и 4, полу­чаем:

. Откуда . 5

Работа силы трения, необходимая для полной остановки барабана, будет равна его кинетической энергии, т. е.

. 6

Проверим размерности формул 2 и 6:

Таким образом, полученные формулы дают правильные размерности силы и работы.

Сделаем подстановку числовых значений заданных вели­чин:

ЗАДАЧА № 2

Горизонтальная платформа массой вращается во­круг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая . Человек массой стоит при этом на краю платформы. С каким числом оборотов будет вра­щаться платформа, если человек перейдет от края платфор­мы к ее центру? Считать платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой.

Решение

		На основании закона сохранения момента импульса можно записать: где момент инерции платформы с человеком, стоящим на её крае,

а момент инерции платформы с человеком, стоящим на ее крае, a момент инерции платформы с человеком в ее центре.

Считая платформу однородным диском и человека то­чечной массой, можно написать:

Так как момент инерции точечной массы, находящейся в центре вращения платформы, равен , то

,

Таким образом, так как ,

.

Отсюда

,

Подставим числовые значения:

Итак, число оборотов платформы возрастет и станет .

ЗАДАЧА № 3

Косилка-измельчитель предназначена для скашивания тра­вы и одновременного измельчения кормов для скота. Зависи­мость угла поворота барабана косилки КС-1 от времени да­ется уравнением:

где и

Найти угловую скорость вращения барабана и линейную ско­рость точек на его поверхности через от начала враще­ния. Диаметр барабана .

Решение

	Угловая скорость есть производная углового переме­щения по времени: Подставляя числовые данные, получим:

Линейная скорость

Ответ: Угловая скорость равна , и линейная скорость равна

Контрольные задачи

1. Сколько оборотов в секунду необходимо делать барабану центрифуги диаметра , чтобы давление жидкости на дно пробирки увеличилось в по сравнению с давлением покоя.

2. Сосуд с водой, привязанный к нити длиной , вращается в вертикальной плоскости. Рассчитайте угловую скорость , при которой в верхней точке траектории вода не будет выливаться и когда в нижней части траектории её вес в пять раз больше веса покоя.

3. Цилиндрический барабан ультрацентрифуги, применяющейся для разделения высокомолекулярных соединений, имеет диаметр делает Рассчитайте нормальное ускорение точек обода барабана и выразите его в единицах ускорения свободного падения

4. Автомобиль массой т двигается со скоростью по выпуклому мосту. Радиус кривизны моста, . С какой силой давит на мост автомобиль в верхней точке.

5. На краю диска диаметра лежит брусок массой При какой частоте вращения диска брусок придёт в движение. Коэффициент трения о диск

6. Приборы центрифуги вращаются равномерно, делая оборотов в минуту. Определить: а) угловая скорость, б) линейную скорость и нормальное ускорение частички, взвешенной в жидкости пробирки, удалённой от центра вращения на

7. Линейная скорость вентилятора на его периферии должна быть Эта скорость создаётся при Вычислить: а) угловую скорость, б) период вращения, в) диаметр.

8. Самолёт описывает окружность, в горизонтальной плоскости диаметром имея, скорость Ноги обращены, от центра описываемой окружности. Найти ускорение, с которым частицы тела лётчика смещаются в направлении ног. Сколько процентов составляет это ускорение от ускорения равного

9. В сельском хозяйстве применяются дисковые центробежные разбрасыватели удобрений. Какой должна быть наименьшая скорость вращения диска в оборотах в минуту, чтобы удобрение, поступающее на диск , от оси вращения диска, разбрасывалось по полю? Коэффициент трения удобрения о диск 0,9.

10. Во сколько раз сильнее отбрасывается к периферии слой обрата толщиной по сравнению со слоем сливок толщиной , которые отстоят от оси вращения барабана сепаратора на расстоянии Плотность обрата плотность сливок . Барабан вращается с частотой

11. Принимая человека за цилиндр радиусом высотой и массой Определить момент инерции человека в положении стоя и лёжа относительно вертикальной оси проходящей через центр цилиндра.

12. Туловище вертикально стоящего человека (без учёта рук) имеет относительно оси вращения проходящей через его центр масс, момент инерции Вычислить полный момент инерции тела человека относительно этой же оси, считая, что плечевой сустав находится от неё на расстоянии и масса каждой руки

13. Фигурист вращается, делая Как изменится момент инерции, если он прижмёт руки к груди, при этом частота вращения станет

14. Масса руки равна длина её центр, массы расположен на расстоянии от плечевого сустава. Момент инерции руки относительно этого сустава . Рука падает свободно из горизонтального положения в вертикальное. Найти кинетическую энергию руки и линейную скорость нижнего конца кисти в конце падения.

15. Для выделения макромолекул белка из раствора, его (раствор) помещают в центрифугу, которая начинает вращаться с угловым ускорением Вычислить тангенциальное, нормальное и полное ускорение макромолекулы белка, находящейся на дне пробирки на расстоянии от оси вращения через от начала вращения.

16. Для изучения воздействия на организм животных, кролик массой был посажен на центр горизонтального диска, массой Диск привели во вращение так, что он делает Какова будет частота вращения диска, если кролик перейдёт от центра диска к его краю.

17. При тренировке на перегрузки тренажёр с космонавтом должен вращаться, делая Считая, что момент инерции тренажёра с человеком равен определить мощность мотора двигателя, который может разогнать систему до нужного числа оборотов за

18. Для изучения упругих напряжений, возникающих при перегрузках в костной ткани, кость прикрепляется к центрифуге перпендикулярно её оси и приводится во вращательное движение. Считая кость однородным стержнем массой и длиной определить кинетическую энергию кости, если она вращается с частотой

19. Какую среднюю мощность развивает человек при ходьбе, если продолжительность шага Считать что работа затрачивается на ускорение и замедление ног Момент инерции нижней конечности Движение ног рассматривать как равнопеременное вращательное. Угловое перемещение ног около .

20. Колесо вентилятора начинает вращаться с угловым ускорением и через после начала вращения имеет момент импульса Вычислить кинетическую энергию вращательного движения колеса через после начала движения.

II. АКУСТИКА

Основные законы и формулы

Наименование величины или физических законов

Формула

Длина волны . Скорость звука . Частота звука .   Интенсивность звука Акустическое давление плотность вещества .   Уровень интенсивности звука в децибелах . интенсивность звука на пороге слышимости   Коэффициент отражения звука на границе раздела двух сред (формула Релея)   Доплеровская частота при отражении звука от объекта, движущегося со скоростью . Скорость звука   Изменение акустического давления при переходе в другую среду . Акустическое давление в первой среде а во второй среде   Интенсивность звука : начальная интенсивность, коэффициент затухания, толщина ткани

д =

Вопросы для самоконтроля

1. Каковы источники звуковых колебаний? Приведите при­меры.

2. От чего зависит скорость звука в различных средах?

3. Дайте определение интенсивности звука, акустического давления и удельного акустического сопротивления вещества. В каких единицах измеряют эти величины?

4. Отчего зависит коэффициент отражения звука на границе раздела между двумя средами? Что надо сделать, что­бы добиться максимального проникновения звука из одной среды в другую?

5. Объясните сущность эффекта Доплера. Что называют доплеровской частотой и чему она равна?

6. На сколько децибел возрастет уровень интенсивности звука, если его интенсивность возрастет в 100 раз? в 1000 раз?

7. Что называют акустическим шумом? К каким физиоло­гическим нарушениям приводит действие шума на животных?

8. Каков механизм взаимодействия ультразвука с вещест­вом? Что представляет собой явление кавитации?

9. Расскажите о применении ультразвука в ветеринарной терапевтической и хирургической практике.

Примеры решения задач

ЗАДАЧА № 1

В лабораторном помещении, находящемся в здании птич­ника, уровень интенсивности шума достигал . С целью уменьшения шума было решено обить стены лаборатории звукопоглощающим материалом, уменьшающим интенсив­ность звука в . Какой уровень интенсивности шума станет после этого в лаборатории?

Решение

где условный нулевой уровень интенсивности звука .

При изменении интенсивности звука изменение уровня интенсивности звука будет равно:

Отсюда .

Подставляя числовые значения, получим:

Ответ: уровень интенсивности шума

ЗАДАЧА № 2

На границу раздела между водой и воздухом падает плос­кая звуковая волна с интенсивностью Какова будет интенсивность звука, прошедшего в воду?

Решение

Интенсивность звука в воде будет равна интенсивности зву­ка в воздухе, умноженной на коэффициент проникновения звука из воздуха в воду, ко­торый равен , где коэффициент отражения на границе раздела двух сред, "вычисляемый по формуле Рэлея:

где и соответственно плотности среды и скорости зву­ка в этой среде, а произведение есть акустическое сопро­тивление среды. Значения и для воздуха и воды приведе­ны в условиях задачи.

Подставим числовые значения:

Коэффициент проникновения

Интенсивность звука, прошедшего в воду, равна:

Ответ: интенсивность звука в воде

Контрольные задачи

21. Интенсивность шума в помещении от вентилятора На сколько возрастёт интенсивность шума, если одновременно включены два вентилятора.

22.Интенсивность звука в производственном помещении комплекса вблизи доильной установки составляет, а в другом конце На сколько интенсивности шума отличаются в разных концах помещения?

23. Во сколько раз различаются акустические сопротивления кости черепа и мозга, если скорости распространения звука в кости а плотности кости и

24. Найдите акустическое давление на барабанную перепонку при интенсивности звука при нормальных условиях, когда и

25. Рассчитайте коэффициент отражения ультразвука от печени при условии, что ультразвук проходит через мышцы живота, где скорость его распространения, а в печени Плотность мышечной ткани , а печени

26. Во сколько раз избыточное акустическое давление под водой будет отличаться от в воздухе, если интенсивность звуковой волны в воде составила от интенсивности звука в воздухе. Скорость звука в воде , плотность , а в воздухе

27. При узи головного мозга сигнал проходит через черепную кость, при этом часть энергии поглощается и до поверхности мозга доходит ослабленный сигнал. На поверхности мозга часть сигнала отражается, а другая часть переходит в ткань мозга. Отражённый сигнал вернётся к приёмнику после прохождения костной ткани. Во сколько раз интенсивность отражённого от мозга сигнала будет слабее интенсивности посланного? Коэффициент затухания сигнала в кости , толщина кости скорость в кости.

28. Для лечения воспалительного процесса использовали ультразвук. Какая энергия выделилась на пути к очагу воспалительного процесса, если площадь головки излучателя , интенсивность , толщина кожи ,толщина мышечного покрова , коэффициенты поглощения кожи и мышечной ткани сеанс лечения длился

29. При интенсивности звука возникает болевое ощущение в ушах. Каково акустическое давление на барабанную перепонку? Какая энергия ежесекундно попадает через слуховой проход площадью .

30. Любители громкой музыки включили колонки проигрывателя на максимальную громкость По санитарным нормам звук интенсивностью человек не должен воспринимать более . При длительном воздействии шума такой интенсивности понижается острота слуха. Какая энергия за это время прошла через барабанную перепонку площадью ? Какая энергия за это же время попадает в ухо любителя громкой музыки.

31. Согласно санитарным нормам, нахождение человека в
помещении с уровнем интенсивности шума не должно
превышать . Какая энергия проходит за это время че­рез барабанную перепонку человека, площадь которой ?

32. Кудахтанье курицы создает уровень интенсивности шу­ма . Какой уровень интенсивности шума создает одно­временное кудахтанье 20 куриц в птичнике?

33. Определить скорость эритроцитов, движущихся с по­током крови в сонной артерии, если доплеровская частота при
отражении ультразвука от эритроцитов оказалась Частота ультразвука, падающего под углом к оси артерии, равна , а скорость его в крови принять равной .

34. Интенсивность звука, создаваемого мычанием быка, равна Вычислить величину акустического давле­ния, создаваемого этим звуком в воздухе.

35. При ультразвуковой терапии синовита сустава ультразвук доходит до костной ткани, проходя через кожу толщиной и мышечную ткань толщиной 5 : Во сколько раз ин­тенсивность ультразвука, дошедшего до сустава, меньше его интенсивности на поверхности кожи? Показатели поглощения ультразвука с частотой в коже и в мышечной ткани соответственно равны: и

36. При стойловом содержании коров уровень интенсивнос­ти шума вблизи входа в помещение производственного ком­плекса недалеко от электродойки составляет , а в даль­нем ряду . Во сколько раз различаются интенсивнос­ти шума в этих местах коровника?

37. Для уменьшения отражения ультразвука при переходе его от излучателя в облучаемый орган между ними помещают контактное вещество. Каково должно быть акустическое со­противление такого вещества, чтобы коэффициент отражения на границе между ним и кварцевым излучателем был Плотность кварца , скорость ультразвука в нем .

38. Для лечения мастита вымени применяют ультразвук с интенсивностью . Какая энергия ультразвука прой­дет внутрь ткани, если время процедуры и площадь головки излучателя ? Коэффициент проникновения ультразвука внутрь ткани .

39. Ушные протекторы беруши снижают уровень интен­сивности шума на . Какова интенсивность шума в поме­щении, если через барабанную перепонку человека, надевше­го беруши, за прошла энергия Площадь барабанной перепонки .

40. Вычислить коэффициент отражения ультразвука на границе между костью черепа и мозгом. Плотности мозга и кости черепа соответственно равны и . Скорости ультразвука в этих тканях соответственно и .

III. ГИДРОДИНАМИКА

Основы законы и формулы

Наименование величины или физический закон	Формулы
Объёмный расход жидкости в потоке. площадь сечения потока, скорость жидкости   Уравнение неразрывности потока   Уравнение Бернулли ( плотность жидкости)   Закон Стокса   Работа перемещения объёма жидкости со скоростью под действием разности давлений   Объёмный расход вязкой жидкости в трубе длиной и радиусом   Число Рейнольдса

Вопросы для самоконтроля

1. Какую жидкость называют идеальной? Приведите при­меры. Можно ли считать кровь идеальной жидкостью?

2. Что называют объемным расходом жидкости? В каких единицах он измеряется?

3. Выведите уравнение неразрывности потока жидкости.

4. Запишите уравнение Бернулли. Каков физический смысл этого уравнения? Каждого члена этого уравнения?

5. Объясните принцип действия приборов, применяемых в ветеринарии и основанных на законе Бернулли.

6. Сформулируйте закон Ньютона для вязкой жидкости. Дайте определение динамического коэффициента вязкости.

7. Сформулируйте закон Стокса. Как определяют коэффициент вязкости на основе закона Стокса?

8. Отчего зависит скорость оседания эритроцитов? Каким методом ее определяют?

9. Объясните, почему скорость жидкости в капиллярах меньше, чем в артериях.

10. Выведите формулу для вычисления работы сердца на основе уравнения Бернулли. Почему этот расчёт носит приближённый характер?

Примеры решения задач

ЗАДАЧА №1

В дождевальной установке вода подаётся сначала по трубе диаметром а затем по трубе диаметром . Статические давления в широкой и узкой частях трубы равны соответственно и Определить скорость течения воды в узкой части трубы.

Решение

Скорость движения жидкости в горизонтальной трубе переменного сечения (если не принимать во внимание трения) изменяется в соответствии с уравнением Бернулли:

Как следует из уравнения неразрывности потока жидкости, где и сечения трубы. Таким образом, неизвестная скорость может быть выражена через искомую скорость , т.е.

Подставим это значение в уравнение Бернулли:

Отсюда:

Следовательно,

Проверим размерность полученного выражения.

Член, стоящий в квадратных скобках безразмерный, поэтому

Размерность правой части, полученного выражения, совпадает с размерностью скорости.

Подставим числовые значения заданных величин:

.

Ответ: скорость течения в узкой части трубы равна

ЗАДАЧА № 2

В касторовое масло опустили стальной шарик диаметром и определи, что расстояние в он прошёл за Считая движение шарика равномерным, определить вязкость касторового масла, если его плотность равна а плотность стали

Решение

На шарик, движущийся в вязкой жидкости, действуют три силы: 1) сила тяжести (вниз) 2) выталкивающая, архимедова, сила (вверх)

3)сила трения, определяемая по закону Стокса (вверх)

При равномерном движении шарика алгебраическая сумма этих сил должна равняться нулю, т.е.

или

После несложных преобразований получаем:

.

Поскольку скорость равномерного движения шарика

то

.

Проверим размерность полученного выражения:

Таким образом, размерность правой части полученного выражения совпадает с размерностью коэффициента внутреннего трения.

Подставляем числовые значения:

Ответ: коэффициент вязкости касторового масла равен

ЗАДАЧА № 3

Определить время протекания крови через капилляр вискозиметра, если вода протекает через него за

Объёмы воды и крови одинаковы.

Решение

Эта задача решается применением закона Гагена-Пуазейля, согласно которому объёмный расход жидкости при ламинарном течении в трубе пропорционален четвертой степени радиуса трубы и градиенту давления и обратно пропорционален коэффициенту вязкости:

Где объёмный расход жидкости, т.е. объём жидкости, протекающей через сечение трубы в единицу времени, радиус трубы, градиент давления, длина трубы, динамический коэффициент вязкости.

Из этой формулы следует, сто объём жидкости, протекающей через сечение трубы за время , равен ( с учётом , где плотность жидкости).

.

Пусть через одну и ту же трубу за одно и тоже время протекает одинаковое количество жидкостей, одна из которых – исследуемая, а другая – эталонная, т.е. обладающая известным коэффициентом вязкости. Так как при этом , то, очевидно, можно написать:

.

После сокращения на одинаковые множители получим:

.

Отсюда время протекания исследуемой жидкости будет равно:

(в этих формулах мы обозначили индексом «э» величины, относящиеся к эталонной жидкости).

Коэффициенты вязкости воды и крови соответственно равны: и , плотности воды и крови соответственно равны: и

Произведём вычисления:

мин.

Ответ: кровь будет протекать через капилляр вискозиметра мин.

Контрольные задачи

41. Средняя скорость крови в аорте составляет около , а в капилляре . На основании этих данных определить, во сколько paз сумма поперечных сечений всех функциональных капилляров больше сечения аорты.

42.Определите максимальное количество крови, которое может пройти через аорту в чтобы течение сохранялось ламинарным, если диаметр аорты , а вязкость крови .

43. Определите время протекания крови через капилляр вискозиметра если вода протекает через него за . _______

44.Определить плотность эритроцитов, если скорость оседания их в крови (СОЭ) равна . Считать, что эритроциты имеют форму шариков диаметром (в действительности их форма более сложная)

45.Какой объем крови протекает через кровеносный сосуд длиной . и диаметром за 1 мин., если на его концах разность давления в . рт. ст.?

46.При каждом биении человеческого сердца левый желудочек, сокращаясь, выталкивает в аорту крови под давлением рт.ст. За минуту происходит примерно 75 сокращений. Определите работу сокращаемого сердца в течении часа и мощность сердца.

47.Максимальное давление крови в аорте человека равно рт.ст., а минимальное давление в венах равно рт.ст. Количество крови в организме человека равно . Какую работу совершает сердце за , если время одного круга кровообращения крови ?