Порядок оформления и построения графиков функций

Отчет по лабораторной работе оформляется по требованиям, изложенным в настоящих методических указаниях (см. ниже). В некоторых случаях при обработке результатов измерений удобно пользоваться графическим методом. Этот метод позволяет проследить зависимость одной физической величины от другой (например, зависимость периода колебаний физического маятника от расстояния между его центром масс и осью вращения). Иногда построение графиков необходимо для определения усредненных значений тех или иных параметров. ( Можно, к примеру, найти ускорение тела по графику зависимости пути от квадрата времени).

На основе проведенных расчетов в конспекте лабораторной работы должны быть построены экспериментальные графики зависимостей физических величин, предусмотренные методическими указаниями. Назначение графиков - наглядное представление результатов, поэтому основное требование к ним – аккуратное и четкое исполнение. Графики должны легко читаться, для этого необходимо соблюдать некоторые общие правила, изложенные ниже.

Если в работе предусмотрено графическое представление результатов, то графики в отчёте выполняются только либо на миллиметровой бумаге и вклеиваются на листы А4, либо компьютерным способом. (бумага в клетку для такой цели не совсем подходит). В протоколе (конспекте) лабораторной работы также строятся графики, но с меньшей точностью, при этом это возможно на бумаге в клетку.

Считается, что Вас в школе научили правилам построения графиков по экспериментальным точкам, т.е. по таким точкам, для которых указаны погрешности, с которыми они определены.

При построении графиков обычно используется прямоугольная система координат с равномерным масштабом. В первую очередь нужно решить, какая из двух переменных величин будет отложена по горизонтали (по оси абсцисс или по оси X), а какая — по вертикали (по оси ординат или по оси Y). Полученные экспериментальные данные наносятся в виде графика Y = Y(Х), где точки имеют координаты Х_n , Y_n., Y = Y(Х) - функциональная зависимость, Х - независимая переменная (аргумент функции). Значения аргумента (причину) следует откладывать по оси X , а значение функции (следствие) - по оси Y. Масштаб может быть произвольным, но при его выборе рекомендуем руководствоваться следующими указаниями.

Г Р А Ф И К (требования):

• на миллиметровке или компьютерным способом, размер не менее 1/2 тетрадного листа,
• на графике: оси декартовой системы, на концах осей — стрелки, индексы величин, единицы измерения, множители,

Рисунок 1 Внешний вид координатной плоскости с осями со стрелками

• на каждой оси — РАВНОМЕРНЫЙ МАСШТАБ (риски через равные промежутки, числа через равное количество рисок, в каждой клетке 1,2,5·10^±N физических единиц),
• под графиком — полное название графика Словами,
• на графике — экспериментальные и теоретические точки ярко, каждую точку можно обвести в кружок или треугольник (если известны погрешности тех величин, для которых строится график, то их необходимо отложить в виде прямолинейных отрезков от каждой экспериментальной точки в обе стороны),
• форма графика соответствует теоретической зависимости (не ломаная).

Толщину линий принято отсчитывать от толщины координатной оси – S (0,5 - 1,5 мм), при этом толщина координатной сетки и штрихов выбирается S/2 ÷ S/3, а самой изображаемой функциональной зависимости – 2S (числа приблизительные, для обеспечения требуемой точности отсчета допускается выполнять линии большей или меньшей толщины). Когда на одной диаграмме изображаются две или более функциональные зависимости, целесообразно изображать их линиями разных типов сплошными, штриховыми, разным цветом и т.д..

Если график строится без помощи компьютера, то нужно выбрать величину расстояния между соседними метками в миллиметрах миллиметровки или в клетках, если бумага в клетку (для протоколов лабораторных работ). Проводимая кривая должна занимать весь лист используемой миллиметровой бумаги. При этом следует иметь в виду, что пересечение координатных осей совсем необязательно должно совпадать с нулевыми значениями аргумента и функции. Важную роль играет также удобство построения и использования графиком. При выборе нужно следить за тем, чтобы график получился достаточно квадратным и чтобы расстояние между соседними метками выражалось круглым числом сантиметров (или клеток) или удвоенным или упятеренным круглым числом.

Т.е. надо поэтому выбирать такой масштаб, чтобы координаты любой точки графика могли быть быстро и легко определены. Это условие всегда выполняется, если в единице масштаба (например, в 1 см) заключается 10ⁿ , 2·10ⁿ или 5·10ⁿ единиц измерения физических величин, откладываемых по осям координат (n - любое целое число).

Рассмотрим требования, предъявляемые к оформлению графиков на примере зависимости тока от напряжения в некоторой гипотетической схеме. Пусть результаты измерений представлены в виде таблицы.

Таблица 2 Результаты измерений в некоторой гипотетической схеме

В первую очередь нужно решить, какая из двух переменных величин будет отложена по горизонтали (по оси абсцисс или по оси X), а какая — по вертикали (по оси ординат или по оси Y). Нужно стараться причину откладывать по оси абсцисс, а следствие — по оси ординат. В нашем примере логично предположить, что приложенное к схеме напряжение является причиной тока. Напряжение отложим по оси X, а силу тока — по оси Y.

Во вторую очередь нужно определить диапазон изменения каждой из двух переменных величин. В рассматриваемом примере напряжение U меняется от -0.7 Вольт до 3.1 Вольта, сила тока I изменяется в пределах от 0 Ампер до 0.063 Ампера.

Далее нужно выбрать величину шага меток, которые будут по осям графика. Метки могут быть двух типов: с подписями в виде чисел и без них. Мы будем обсуждать только метки с подписями. Метки без подписей можно поставить между метками с подписями в два или пять раз чаще. Метки нужно ставить через круглые значения или через удвоенные круглые значения или через упятеренные круглые значения. Никогда не ставьте метки кратные трем (тем более семи) единицам. Начинают построение диаграмм с выбора осей и нанесения масштаба. Обычно на осях делают 5 ÷ 10 делений, рядом с делениями наносят их числовые значения, обычно с противоположной стороны оси. Измеренные значения на шкалы не наносят! Ось – это рабочая линейка.

Масштаб выбирают удобным для считывания, он сохраняется на всей оси (или до точек разрыва оси, если они есть). Обычно выбирают числа не более чем из двух цифр, заканчивающиеся на 1, 2, 5. Чтобы не писать нулей, повторяющихся во всех цифрах и засоряющих график, масштабный множитель 10ⁿ выносят 1) в множитель к символу измеряемой величины – рисунок 2 в) или 2) в единицу ее измерения – рисунок 2 г). Разумеется, знак показателя степени масштабного множителя n для данных двух вариантов будет противоположен (в обоих приведенных на рисунке 2 вариантах в) и г) масштаб одинаков).

Рисунок 2 Примеры правильного нанесения масштаба на оси графика

Рисунок 3 Примеры распространенных ошибок при выборе масштабов

Вернёмся к нашему примеру: по каждой оси нужно поставить от трех до девяти меток. Диапазон изменения меток должен быть таким же или чуть шире, чем диапазон изменения соответствующей переменной величины.

Разберемся с метками по оси напряжений. Если взять метки с шагом 0.5 Вольта, то метки надо ставить в диапазоне от -1.0 Вольта до 3.5 Вольта. Всего десять меток. Это чуть больше, чем хотелось бы, но вполне допустимо. Если взять метки с шагом 1 Вольт, то диапазон изменения меток можно взять от -1 Вольта до 3 Вольт. Всего пять меток.

Формально нужно было бы поставить еще метку 4 Вольта, но можно ее и не ставить, так как метка 3 Вольта очень близка к наибольшему значению напряжения 3.1 Вольта. Если брать метки с шагом 2 Вольта, то диапазон меток от -2 Вольт до 4 Вольт. Всего четыре метки. Что тоже допустимо, но лучше остановиться на шаге в 1 Вольт.

Метки по оси ординат удобно выбрать с шагом 0.01 Ампера (от 0 Ампер до 0.07 Ампера) или с шагом 0.02 Ампера (от 0 Ампер до 0.06 Ампер или до 0.08 Ампер). Все три варианта одинаково приемлемы. Выберем второй вариант.

В нашем примере выберем расстояние между соседними метками 2 см по каждой оси. После того, как масштаб выбран, следует начертить координатные оси, отметив на них деления масштаба и указать буквенные обозначения и размерность откладываемых величин. Если эти величины очень малы (или очень велики) при нанесении масштаба удобно использовать рационализированную форму записи, указывая порядок величины рядом с ее буквенным обозначением. При этом допускается два вида записи. Пусть, например, индукция магнитного поля катушки с током меняется в пределах (2÷8) 10^-5 Тл. На графике зависимости В(I) около делений масштаба надо проставить числа 2, 3, 4 и т.д., а сверху написать либо В, 10^-5 Тл, либо Вx10^-5, Тл.

Возьмем бумагу в клетку, нарисуем оси координат, расставим метки по осям, поставим точки на плоскости, соответствующие экспериментальным значениям тока и напряжения. Каждую экспериментальную точку на графике нужно обозначить крестиком, размер которого по горизонтали и вертикали соответствует погрешностям измерения данной точки. Возьмем бумагу в клетку, нарисуем оси координат, расставим метки по осям, поставим точки на плоскости, соответствующие экспериментальным значениям тока и напряжения. Каждую экспериментальную точку на графике нужно обозначить крестиком, размер которого по горизонтали и вертикали соответствует погрешностям измерения данной точки.

Рисунок 4 Пример построения экспериментальных точек

Теперь через экспериментальные точки нужно провести линию графика. Линия не должна быть ломаной, она не должна соединять центры всех точек. Линия должна быть плавной. Если Вы считаете, что точки должны лежать на прямой линии, то можно приложить линейку и, подобрав на глаз наклон и смещение, провести прямую. Если точки не обязаны лежать на прямой линии, то проведите плавную линию с тем количеством изгибов, которые, по Вашему мнению, не случайны, а соответствуют природе явления. Кривая на графике проводится таким образом, чтобы были видны отдельные точки, полученные в результате эксперимента. Вначале кривая проводится карандашом, чтобы можно было вносить необходимые поправки при анализе окончательных результатов.

Оси могут начинаться не с нуля, а с любого удобного значения, чтобы график занимал наибольшее пространство на координатной плоскости и не оставалось пустых мест, но при этом все точки графика должны быть внутри и не попадать на ограничительные оси / линии сетки:

Рисунок 5 Примеры построения графиков

Если и горизонтальная и вертикальная оси начинаются с нуля, «0» наносят только один раз (см. рисунок 5).

При изображении графика, располагающегося более чем в одном квадранте координатной плоскости, штрихи, по возможности, направляются в сторону графика, а цифры масштаба располагаются с противоположной стороны оси

Переменную величину можно обозначать:

1. Наименованием или наименованием и символом - то есть непосредственно написать словами, что отложено по осям. Располагается такая надпись вдоль оси, по ее центру.

2. Символом (R, C, U )

3. Символьным математическим выражением , sin(ωt)

Символы должны быть общепринятыми или разъяснены в подписи к графику и/или в тексте.

Обозначения в виде символов и математических выражений следует располагать горизонтально вне зависимости от ориентации самой оси.

Обозначения символом или математическим выражением обычно располагаются в конце соответствующей оси, при этом их единицы измерения, как и для варианта 1, располагаются сразу после обозначения изображаемой переменной через запятую или в скобках. Единицы измерения нужно указывать только в унифицированном сокращенном виде по Российскому (кириллицей) или международному (латиницей) стандарту. Обозначения изображаемых переменных величин и их единиц измерения.

Каждый график должен иметь краткую подпись (обязательно внизу), поясняющую его содержание и обозначение показанных величин. На поле самого графика допускается размещение краткой текстовой или иной существенной информации, облегчающей понимание результатов. (см рисунок 5)

Рисунок 5 Пример построения функции по экспериментальным точкам

Если график строится с помощью компьютера, то возможно Вы не знаете, как поставить крестики нужного размера, и как провести плавную кривую. Пусть тогда компьютер не рисует ни того, ни другого. Экспериментальные точки пусть только наметит маленькими точками, а крестики нужного размера и плавную кривую (или прямую) нарисуйте авторучкой.

Если все значения какой-то переменной смещены далеко от нуля, то изображение ортогональной оси можно провести не через нулевую точку данной переменной, а через удобную смещенную точку, но только совпадающую с одной из меток оси.

Ни в коем случае не отмечайте на осях графика значения экспериментальных точек, отмечайте только круглые значения меток. Некоторые студенты умудряются откладывать по осям не экспериментальные значения, а номера точек. А значения приписывают по осям вместо меток. В результате независимо от природы измеряемых величин получается прямая линия под 45 градусов. Надеюсь, Вы так делать не будете.

8 Порядок выполнения расчётов и величины и погрешности

Дальше производится обработка результатов эксперимента: вычисляются промежуточные и окончательные данные и заносятся в тетрадь.

При обработке результатов лабораторной работы следует тщательно обдумывать возможные источники ошибок. Сравнивая свои результаты с данными таблиц либо с полученными ранее результатами других студентов, не следует при их несовпадении сразу считать свои результаты ошибочными. В таком случае нужно еще раз продумать методику измерений. При сдаче работы с «плохими» результатами студент после обсуждения с преподавателем часто получает значительно больше пользы, чем при наличии «хороших» результатов.

В большинстве измерений искомая физическая величина находится косвенным методом, т.е. она связана некоторой функциональной зависимостью с другими величинами, которые измеряются прямыми методами.

В каждой лабораторной работе у каждой измеренной или рассчитанной физической величины должна быть указана ее погрешность.

Измерение любой физической величины, если по своей природе она не является целочисленной, происходит с некоторой неизбежной ошибкой. Погрешность — это модуль характерной ошибки. В простейшем случае в качестве погрешности принимают такую величину, что вероятность ошибки меньше погрешности равна примерно 2/3. Выражение "c = (299792.5 ± 0.5) км/сек" означает, что некоторая величина "c" равна 299792.5 км/сек с погрешностью 0.5 км/сек.

Есть несколько источников ошибок и соответственно погрешностей. Если считать, что разные погрешности одной и той же физической величины являются независимыми, то они складываются как корень квадратный из суммы квадратов (как если бы они были ортогональны). Например, если у Вас три источника погрешности с величинами погрешностей 3, 4 и 12, то суммарная погрешность равна 13. Обратите внимание, что суммарная погрешность близка к наибольшей из складываемых погрешностей. Поэтому обычно вместо суммарной погрешности просто оставляют наибольшую из складываемых погрешностей. Это вполне допустимо, потому что обычно сама величина погрешности известна с очень небольшой точностью.

Физическая величина может быть либо непосредственно измеряемая, либо рассчитываемая по формуле через измеряемые величины. Обсудим сначала погрешность непосредственно измеряемой величины. Эта погрешность складывается (как корень квадратный из суммы квадратов) из трех частей: погрешности градуировки прибора, погрешности отсчета и погрешности по разбросу.

Погрешность прибора определяется классом точности прибора. Возьмите две школьные линейки разной формы или конструкции и прислоните их друг к другу. Вы с удивлением обнаружите, что двадцать сантиметров по одной линейке не равны двадцати сантиметрам по другой. При изготовлении линейки шкалу наносят не слишком точно, и эта неточность может быть настолько большой, что видна просто на глаз. Если длину стола измерить тщательно и аккуратно одной из этих двух линеек, то измеренная величина все равно не будет очень точной.

Для учета погрешности прибора ее указывают на самом приборе. В нулевой лабораторной работе Вы будете измерять размеры тела штангенциркулем и микрометром, на которых указана погрешность соответствующего прибора. На микрометре должна быть указана погрешность прибора 0.01 мм, на штангенциркуле — 0.1 мм или 0.05 мм. Если на приборе ничего не указано, как, например, на школьной линейке, то подразумевается, что погрешность прибора равна цене наименьшего деления шкалы прибора (или половине цены деления, на Ваше усмотрение). Для школьной линейки — это один миллиметр.

Если прибор достаточно сложен и на нем не указана погрешность прибора, то она указана в его техническом описании.

Вместо величины погрешности прибора часто указывается класс точности прибора.

Во многих лабораторных работах Вы будите использовать стрелочные приборы: вольтметры для измерений напряжений, амперметры для измерений токов. Если где-то рядом со шкалой прибора есть надпись с десятичной запитой, например, "0,2" или "0,5" или "1,0", то это и есть класс точности прибора. Величина класса точности прибора позволяет вычислить погрешность прибора. Шкала прибора состоит из делений, около некоторых делений стоят числа. Последнее (правое) число соответствует всей шкале прибора в условных единицах (делениях шкалы). Погрешность прибора равна числу процентов от всей шкалы прибора, равному классу точности прибора. Пусть вся шкала прибора — 150 делений, класс точности прибора — "0,2". Умножаем 150 на 0.2 и делим на 100, так как класс точности выражен в процентах. Получаем, что погрешность рассматриваемого прибора равна трем десятым одного деления шкалы прибора.

В некоторых случаях класс точности прибора не позволяет на прямую вычислить погрешность прибора. В этих случаях класс точности прибора является просто номером и не содержит десятичной запятой. К подобным приборам относятся весы и разновески (гирьки), используемые в лабораторной работе №2. Соответствующие погрешности приборов нужно искать по таблицам справочников.

Погрешность отсчета.

Если миллиметровые деления школьной линейки поставлены идеально точно, то и в этом случае линейка не позволит измерять расстояния с точностью выше одной десятой миллиметра. С большей точностью не удастся снять показания с линейки, она для этого не предназначена. Точность или погрешность, с которой удается снять показания по шкале прибора, и является погрешностью отсчета. Погрешность отсчета никогда не бывает меньше десятой доли деления шкалы прибора. Величину этой погрешности Вы оцениваете на глаз. С какой точностью лично Вы можете снять показания по шкале данного Вам прибора.

Казалось бы, эту погрешность никогда не нужно учитывать, так как она всегда меньше погрешности прибора. Это так за исключением случаев, когда Вы хотите измерить очень малое изменение показаний прибора. Например, Вы хотите измерить школьной линейкой расстояние, величина которого находиться в пределах от одного до двух миллиметров. Казалось бы, погрешность прибора равна одному миллиметру, и этим прибором нельзя измерить расстояние с меньшей погрешностью. На самом деле на глаз удается измерить такое расстояние с точностью, определяемой погрешностью отсчета, примерно две десятых миллиметра. Дело в том, что погрешность измерения равна погрешности прибора при измерении расстояний, сравнимых с длиной линейки. Для меньших расстояний погрешность становится меньше, поэтому возможны случаи, когда нужно учитывать только погрешность отсчета. В каких именно случаях можно не учитывать погрешность прибора остается на совести экспериментатора, то есть на Вашей совести.

Более точно о погрешностях Вы можете посмотреть в методических указаниях к лабораторной работе №1.