Общая схема исследования функций и построения их графиков

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервал выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Рассмотрим схему исследования функций на следующем примере.

Пример 9. Исследовать функцию у = Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru и построить ее график.

Решение. 1) Найдем область определения функции.

Областью определения этой функции является вся действительная ось, за исключением двух точек х1 = –2 и х2 = 2, в которых имеет место разрыв (знаменатель х2 – 4 = 0).

2) Исследуем функцию на четность-нечетность.

Функция четная, т.к. у(-х) = Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru = у(х). Четность функции определяет симметрию ее графика относительно оси Оу.

3) Найдем вертикальные асимптоты графика функции.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на границе ее области определения. Точками разрыва являются х1 = –2 и х2 = 2.

Вычислим пределы функции в окрестностях этих точек.

Предел слева Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru , предел справа Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru .

Аналогично Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru , Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru .

Следовательно, прямые х = –2 и х = 2 являются вертикальными асимптотами функции.

4) Найдем горизонтальные или наклонные асимптоты графика функции.

Для этого вычислим пределы: Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru и Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru . Откуда (по формуле y = kx +b) заключаем, что уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид: y = 0x +1, т.е. у = 1.

5) Найдем экстремумы и интервалы монотонности.

Производная заданной функции у’ = Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru равна нулю (у’ = 0) при х=0 и не существует при х = ±2. Но критической является только точка х=0 (т.к. значения х = ±2 не входят в область определения функции). Поскольку при x < 0 f’(x) > 0, а при x > 0 f’(x) < 0, то х=0 – точка максимума функции и fmах(x)= Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru = – 1.

Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru На интервалах (-∞; -2) и (-2; 0) y' + –

Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru функция возрастает Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru , на интервалах -2 0 2 x

(0; 2) и (2; +∞) –. убывает у

6) Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба.

Для этого надо найти вторую производную функции у’’ = Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru . Видно, что у’’ = 0 не имеет действительных корней, и это исключает существование у графика точек перегиба. Вместе с тем по корням знаменателя (-2 и 2) можно установить, что при переходе через эти значения х знаки у’’ меняются.

 
  Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru

На интервалах (-∞; -2) и (2; +∞) y” + – +

Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru функция выпукла вниз, на интервале -2 2 x

(-2; 2) – выпукла вверх. y

7) Найдем точки пересечения с осями координат.

f(0) = Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru = – 1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0; -1). Уравнение f(х) = 0, (т.е. Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru = 0), решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.

8) На основании полученных данных построим график заданной функции.

Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru у

-2 2 х

-1

В.10. Дифференциал функции

Определение дифференциала

Пусть функция y = f(x) определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки х Î Х. Тогда существует конечная производная

Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин (БМВ) с пределами функций можно записать Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru , где – Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru БМВ при Dx®0.

Откуда Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru .

Т.о. приращение функции Dy состоит из 2 слагаемых: 1) линейного относительно Dx; 2) нелинейного (которое является БМВ более высокого порядка малости, чем Dx)

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Dx часть приращения функции, равная произведению производной данной функции на приращение независимой переменной Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru (1)

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx = Dx

(т.к. для функции у=х дифференциал будет равен: Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru ).

Поэтому формулу (1) можно записать в виде Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru (2)

=> Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru (т.е. производная функции есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной).

Пример 9. Найти дифференциал функции у = 6х2 – 3.

Решение. Вычислим производную данной функции у¢ = 12х и подставим в формулу (2): Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru .

Геометрический смысл дифференциала: Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда х получает приращение Dx.

На рисунке dy = KN, Dy = M1N.

dy < Dy dy > Dy

Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru

Свойства дифференциала (1-5 аналогичны свойствам производной):

1. dС = 0.

2. d(Сu) = Сdu.

3. d(u ± v) =du ± dv.

4. d(uv) = vdu + udv.

5. Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru .

6. Свойство инвариантности (т.е. неизменности) формы (формулы) дифференциала. Рассмотрим сложную функцию Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru .

Тогда Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru ,

т.е. формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от зависимой переменной и.

10.2. Применение дифференциала в приближённых вычислениях

Из изложенного выше следует, что Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru . Поэтому при достаточно малых значениях Dx Dу» dy или Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru . Откуда

Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru (3)

Пример 10. Вычислить приближенно, используя дифференциал функции, tg460.

Решение. Для приближенных вычислений воспользуемся формулой (3).

Положим f(x) = tgx. Найдем производную f’(x) =(tgx)’ = Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru . Тогда Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru . Учитывая, что tg460 = tg(450 + 10) = tg Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru , возьмем х = Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru и Δх = Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru .

Тогда tg460 = tg Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru .

Пример 11. Вычислить приближенно Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru ,

Решение .Приближенная формула для вычисления корней n -й степени :

Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru , поэтому Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru

Возьмем x =16; Dx =0,64 ; Общая схема исследования функций и построения их графиков - student2.ru

Наши рекомендации