Динаміка поступального руху

· Рівняння руху матеріальної точки (другий закон Ньютона).

У векторній формі:

,

де – геометрична сума сил , що діють на матеріальну точку; m – маса; –прискорення ; – імпульс; n – число сил ,що діють на точку.

В координатній формі:

, , .

· Сила пружності:

,

де k - коефіцієнт пружності; x – абсолютна деформація.

· Сила гравітаційної взаємодії:

,

де G – гравітаційна стала; m₁i m₂ маси взаємодіючих тіл; r – відстань між ними.

· Сила тертя ковзання:

,

де – коефіцієнт тертя ковзання; N – сила нормального тиску.

· Закон збереження імпульсу:

або ,

де n – число матеріальних точок , що входить в систему.

· Робота, яка виконується постійною силою:

,

де – кут між напрямками векторів і переміщення .

· Робота, яка виконується змінною силою:

,

де інтегрування ведеться вздовж траєкторії довжиною L.

· Середня потужність за інтервал часу :

.

· Миттєва потужність:

, або ,

де dA – робота, яка виконується за проміжок часу dt.

· Кінетична енергія матеріальної точки:

або .

· Потенціальна енергія тіла і сила, що діє на тіло в даній точці поля:

або ,

де –одиничні вектори вздовж x, y, z .

· Потенціальна енергія пружно деформованого тіла:

.

· Потенціальна енергія гравітаційної взаємодії двох матеріальних точок масами m₁ і m₂, що знаходяться на відстані r одна від другої:

.

· Потенціальна енергія тіла, що знадиться в однорідному полі сили тяжіння:

,

де h – висота тіла над рівнем, який прийнятий за нульовий для підрахунку потенціальної енергії.

· Закон збереження в механіці виконується в замкнутій системі, в якій діють лише консервативні сили і записується у виді:

.

· Потенціал гравітаційного поля:

,

де Е_п – потенціальна енергія матеріальної точки масою m, яка розміщена у даній точці поля.

· Відносна деформація при повздовжньому розтягу або стиску тіла:

,

де - абсолютне видовження; l₀ – початкова довжина тіла.

· Нормальна напруга:

,

де F – сила, яка перпендикулярна до поперечного перерізу тіла; S – площа цього перерізу.

· Закон Гука для повздовжнього розтягу або стиску:

,

де Е – модуль Юнга.

2.1. Визначити масу тіла, яке рухається прямолінійно під дією постійної сили F = 10 Н, якщо залежність шляху від часу описується рівнянням S=А+Вt+Сt,де С = 1 м/с².

2.2. Тіло масою m = 1 кг знаходиться на похилій площині (α = 30°). Визначити силу тиску тіла на поверхню похилої площини, якщо вона рухається разом з тілом горизонтально (N₁), вгору (N₂) і вниз (N₃), з прискоренням a = 1 м/с. Коефіцієнт тертя μ = 0,01.

2.3. Тіло масою т = 1 кг рухається горизонтально з швидкістю = 15 м/с. На його шляху знаходиться похила площина (α = 45°). На яку висоту по інерції воно підніметься по поверхні похилої площини до зупинки, якщо коефіцієнт тертя μ = 0,2.

2.4. Кулька підвішена на нерозтяжній нитці. На який кут відхилиться нитка, якщо маятник рухається прямолінійно в горизонтальному напрямку згідно з законом S = 5+t².

2.5. На горизонтальній дошці лежить вантаж. Коефіцієнт тертя між дошкою і вантажем μ = 0,2. Якого прискорення (в горизонтальному напрямі) слід надати дошці, щоб вантаж міг з неї зісковзнути?

2.6. Похила площина може змінювати нахил при незмінній основі. З її верхньої точки вільно ковзає тіло. Коефіцієнт тертя тіла до поверхні площини μ = 0,1. При якому куті α нахилу площини до горизонту, час ковзання тіла буде мінімальним?

2.7. Для того, щоб визначити коефіцієнт тертя μ між дерев’яними поверхнями, брусок поклали на дошку і стали піднімати за один кінець. Брусок починає рухатись при значенні кута нахилу а = 14°. Визначити коефіцієнт тертя μ.

2.8. Тіло ковзає, по похилій площині ( = 30°). Пройдений шлях s від часу t змінюється за законом s = 1,73 . Визначити коефіцієнт тертя μ між тілом і поверхнею площини.

2.9. Людина біжить по дорозі, нахилившись під кутом α. Яким повинен бути мінімальний коефіцієнт тертя μ , щоб людина не посковзнулася ?

2.10. У вагоні, що рухається горизонтально з прискоренням а = 2 м/с, висить на шнурку вантаж масою m = 200 г. Визначити силу натягу шнура і кут відхилення шнура від вертикалі.

2.11. По похилій площині ковзає без тертя клин. Верхня грань клина горизонтальна. На поверхні клина знаходиться тіло масою m. Визначити силу тертя, яка діє на дане тіло.

2.12. Металева кулька масою m = 1 кг, яка підвищена на нерозтяжній нитці довжиною l = 1 м обертається навколо вертикальної осі. Рух тіла по колу описується рівнянням s = . Через скільки часу від початку руху нитка обірветься, якщо сила максимального натягу T_max= 10 Н ?

2.13. Тіло масою m = 0,5 кг, яке прив’язане до пружини обертається в горизонтальній площині з частотою v = 2 об/с. Кут відхилення осі пружини від вертикалі α = 30°. Коефіцієнт жорсткості пружини = 600 н/м. Визначити початкову довжину пружини.

2.14. На горизонтальній платформі на віддалі R = 0,5 м від центра осі обертання лежить тіло масою m = 1 кг. Коефіцієнт тертя між тілом і поверхнею платформи μ = 0,05. При якому значенні кутової частоти обертання тіло зісковзне з поверхні платформи ?

2.15. Горизонтальний диск обертається навколо вертикальної осі, яка приходить через його центр, рівноприскорено. На краю диска (R = 1 м) лежить тіло масою т = 1 кг. Через скільки часу після початку руху тіло зісковзне з поверхні диска, якщо кутове прискорення ε = 1 с^-2 ? Коефіцієнт тертя μ = 0,05.

2.16. Вантаж масою m = 200 г, який прив’язаний до нитки довжиною l = 40 см, обертають в горизонтальні площині з постійною швидкістю так, що нитка описує конічну поверхню. При цьому кут відхилення нитки від вертикалі α = 37^о. Визначити кутову швидкість ω обертання вантажу.

2.17. Відро з водою, яке прив’язане мотузкою довжиною l = 0,6 м, обертається у вертикальній площині. Визначити найменшу швидкість , при якій у найвищій точці траєкторії вода з нього не виллється. Яка сила натягу мотузки у найвищій і найнижчій точках? Маса води з відром m = 2 кг.

2.18. Автомобіль масою m = 600 кг рухається вздовж екватора спочатку із сходу на захід, а потім із тією самою швидкістю = 600 км/год відносно землі – з заходу на схід. Визначити різницю тисків автомобіля на поверхню дороги в обох випадках.

2.19. Поїзд масою m = 184×10³ кг рухається вздовж меридіану з швидкістю = 20 м/с на широті φ = 45°. Визначити горизонтальну складову си­ли, з якою поїзд тисне на рейки.

2.20. На повороті дороги радіусом R = 100 м рівномірно рухається ав­томобіль. Центр тяжіння автомобіля знаходиться на висоті 1 м, а ширина сліду від коліс автомобіля 1,5 м. Визначити швидкість, при якій автомобіль може перекинутися.

2.21. Літак рухається по колу в горизонтальній площині з постійною швидкістю υ = 600 км/год. Визначити радіус R цього кола, якщо корпус літака повернутий навколо напрямку польоту на кут α = 10º.

2.22. Молекула масою m = 4,65×10^{-26 кг}, що летить нормально до стінки посудини зі швидкістю 600 м/с, вдаряється до стінки і пружно відскакує від неї без втрати швидкості. Знайти імпульс сили, який отримує стінка за час удару.

2.23. Молекула масою т = 4,65×10^{-26 кг}, що рухається зі швидкістю = 600 м/с, вдаряється у стінку посудини під кутом а = 60° до нормалі і під таким самим кутом пружно відскакує від неї без втрати швидкості. Знайти імпульс сили, одержаний стінкою за час удару.

2.24. Вертоліт масою т = 3500 кг з ротором, діаметр якого дорівнює 18 м “висить” в повітрі. З якою швидкістю ротор відкидає вертикально вниз струмину повітря? Діаметр струмини вважати рівним діаметру ротора. Густина повітря ρ = 1,3 кг/м³.

2.25. Ракета масою т = 1000 кг, яка запущена з поверхні Землі вертикально вгору, піднімається з прискоренням а = 2g. Швидкість струмини газів, що виходять з сопла, дорівнює 1200 м/с. Знайти витрату пального.

2.26. Кулька масою т = 300 г вдарилась до стінки і відскочила від неї. Визначити імпульс р одержаний стінкою, якщо в останній момент перед ударом кулька рухалася під кутом α = 30° до поверхні стінки зі швидкістю = 10 м/с. Удар вважати абсолютно пружним.

2.27. Автомобіль їде з швидкістю υ = 7 м/с. Навздогін йому кинули м’яч, швидкість якого в момент удару дорівнює = 15 м/с і напрямлена по нормалі до точки удару. З якою швидкістю відскочить м’яч, якщо удар абсолютно пружний.

2.28. Тіло масою т = 2 кг рухається назустріч другому тілу масою т = 1,5 кг і зазнає з ним абсолютного непружного зіткнення. Швидкості даних тіл безпосередньо перед ударом дорівнювали = 1 м/с і = 2 м/с. Скільки часу t тіла будуть рухатися після удару, якщо коефіцієнт тертя μ = 0,05?

2.29. Дуло гвинтівки має довжину 0,6 м. Швидкість кулі в момент вильоту з гвинтівки дорівнює 600 м/с. Маса кулі 0,015 кг, а її калібр 8 мм. Визначити середній тиск порохових газів.

2.30. На залізничній платформі масою М₁ = 16000 кг встановлена гармата масою М₂= 3000 кг, дуло якої скероване відносно горизонтальної лінії під кутом α = 60°. Визначити швидкість снаряда, маса якого т = 50 кг, якщо при пострілі платформа відкотиться назад на віддаль S = 3 м за час t = 6 c.

2..31. Маятник складається із прямого стрижня довжиною 1,5 м, на кінці якого знаходиться стальна куля масою 1 кг. В кулю попадає інша стальна кулька масою 20 г, яка летить горизонтально із швидкістю 50 м/с. Визначи­ти кут максимального відхилення маятника, якщо удар куль абсолютно пружний.

2.32. Камінь масою т = 2 кг падає з деякої висоти протягом часу t = 1,43 с. Знайти кінетичну E_к і потенціальну E_п енергії каменя у середній точці шляху.

2.33. Куля масою m₁,яка рухається горизонтально з деякою швидкістю , зіштовхується з нерухомою кулею масою m₂. Обидві кулі є абсолютно пружними, аудар – центральним. Яку долю α своєї кінетичної енергії перша куля передає другій після удару?

2.34. Камінь кинуто вгору під кутом φ = 60^о до площини горизонту. Кінетична енергія каменя у початковий момент часу дорівнює 20 Дж. Визначити кінетичну Е_к і потенціальну Е_п енергії каменя у найвищій точці його траєкторії. Опором повітря знехтувати.

2.35. З вишки висотою H = 25 м горизонтально кинуто камінь масою т = 0,2 кг зі швидкістю = 5 м/с. Знайти кінетичну Е_к і потенціальну Е_п енергії каменя через час t = 1 с після початку руху.

2.36. Тіло масою т, яке кинуте з вишки у горизонтальному напрямі зі швидкістю = 20 м/с, через час t = 3 с впало на землю. У момент удару об землю воно мало кінетичну енергію Е_к = 663 Дж. Знайти масу т тіла. Опором повітря знехтувати.

2.37. Молот копра масою т₁= 500 кг падає на палю масою т₂= 100 кг зі швидкістю = 4 м/с. Визначити енергію E_к1, яка витрачається на заглиблення палі у грунт і енергію E_к2, яка витрачається на деформацію палі.

2.38. Двигун потужністю N = 11 кВт при швидкості автомобіля = 8,33 м/с на шляху S = 100 км витрачає т = 13 кг бензину. Визначити коефіцієнт корисної дії η двигуна.

2.39. Потенціальна енергія частинки в центральному силовому полі за­дається функцією відстані r від центра поля до деякої точки , де А = 6·10^-6 Дж·м², В = 3·10^-4 Дж·м. Визначити, при яких значеннях r потенціальна енергія і сила, що діє на частинку, мають екстремальні значен­ня і знайти ці значення.

2.40. Стальний стрижень масою т розтягнуто так, що його відносна деформація ε = 0,001. Потенціальна енергія розтягнутого стрижня E_п = 50 Дж. Знайти масу стрижня.

2.41. Стальний стрижень довжиною = 2 м і площею поперечного перерізу S = 2·10^{-4 м}розтягнуто силою F = 10 кН. Знайти потенціальну енергію E_п розтягнутого стрижня і об’ємну густину w енергії.

2.42. Стальний стрижень розтягнуто так, що у ньому виникає напруга = 300 МПа. Знайти об’ємну густину w потенціальної енергії розтягнутого стрижня.

2.43. Дві пружини, коефіцієнти жорсткості яких k₁= 1 кН/м і k₂ = 3 кН/м, з’єднали паралельно. Визначити потенціальну енергію даної системи при абсолютній деформації x = 0,05 м.

2.44. Знайти вираз для потенціальної енергії Е_п гравітаційної взаємодії Землі масою M і тіла масою m, що знаходиться на відстані r від центра Землі за межами її поверхні.

2.45. Парусник масою m під дією постійної сили вітру рухається прямолінійно, причому залежність пройденого шляху від часу визначається як S = Bt²+Сt+D. Знайти роботу А сили вітру за проміжок часу від 0 до t с.

2.46.Яку роботу необхідно виконати, щоби витягнути корок із труби, якщо довжина корка L, а максимальнасила тертя між корком і трубою дорівнює F_тр. Корок розміщено на краю труби і стінки труби стискають його по всій довжині рівномірно.

2.47. Вагон масою m = 2·10⁴ кг, рухаючись рівносповільнено з початко­вою швид­кістю = 15 м/с під дією сили тертя F_тр = 6 кН, через деякий час зупиняється. Знайти роботу А сили тертя і відстань S, яку вагон пройде до зупинки.

2.48. Автомобіль тягнуть горизонтально з постійною швидкістю = 5 м/с. При переміщенні автомобіля на відстань = 1,5 км виконано роботу А = 9·10⁵ Дж. Визначити натяг троса і потужність, що розвивається при буксируванні.

2.49. Автомобіль рухається зі швидкістю = 50 км/год. Коефіцієнт тертя між шинами і дорогою µ = 0,75. Визначити відстань, при якій автомобіль зупиниться після вимкнення двигуна.

2.50. Поїзд масою і дрезина масою m рухаються з однаковою швидкіс­тю по паралельних горизонтальних коліях. Довести, що поїзд і дрезина зупиняться в один і той же момент, пройшовши по інерції однакові відстані , якщо коефіцієнти тертя коліс об рельси для обох тіл однакові і дія сил тяги припиняється в один і той же момент.

2.51. Транспортер переміщує вугілля на висоту h = 5 м. За одну хвилину він подає у вагон m = 12·10³ кг вугілля. За який час транспортер виконує роботу А = 2,94·І0⁵ Дж ?

2.52. Тіло масою m₁ = 0,1 кг кинуто під кутом до горизонту з висоти h = 10 м над поверхнею Землі з початковою швидкістю ₀ = 20 м/с. У момент падіння на Землю швидкість тіла = 25 м/с. Знайти роботу, витрачену на подолання опору повітря.

2.53. Вантаж вагою Р = 100 Н піднімають на висоту h = 10 м, діючи на нього зі сталою силою F = 150 Н. Яка робота виконується при цьому? Обчислити кінетичну енергію піднятого вантажу.

2.54. На токарному верстаті обточують стальну деталь діаметром d = 0,8 м. Визначити роботу, що виконується за 1 год, якщо деталь робить п = 0,625 об/с, а до різця прикладена сила опору, що дорівнює F = 4120 Н. Вважати діаметр деталі незмінним.

2.55. Під дією постійної сили вагонетка пройшла шлях S = 5 м і набула швидкість = 2 м/с. Визначити масу ваго­нетки, якщо виконана робота А = 996 Дж і коефіцієнт тертя µ = 0,01.

2.56. Для стискання пружини на довжину x₁= 0,01 м треба прикласти силу F₁ = 10 Н. Яку роботу А треба виконати, щоби стиснути пружину на довжину x₂= 0,1 м, якщо сила є пропорційною до довжини стиску пружини?

2.57. Пружина стиснута на довжину x₁ = 0,04 м. Щоби стиск пружини збільшити до довжини x₂= 0,18 м, треба виконати роботу А = 15,4 Дж. Визначити коефіцієнт жорсткості k пружини.

2.58. Пружина жорсткістю k = 100 кН/м розтягнута на x₁= 0,04 м. Зменшуючи прикладену силу, пружині дають можливість вернутися у вихідний стан, а потім стискають на x₂ = 0,06 м. Визначити роботу А, яка виконана при цьому зовнішньою силою.

2.59. Тіло масою т = 2 кг рухається під дією деякої сили згідно із рівнянням х = А+Bt+Сt²+Dt³, де А = 10 м, В = - 2 м/с, C = 1 м/с², D = - 0,2 м/с³. Знайти потужність N, яка необхідна для руху тіла у моменти часу t = 2 с і t = 5 с.

2.60. Помпа викидає струмінь води діаметром d = 0,03 м зі швидкістю = 20 м/с. Знайти потужність помпи N.

2.61. Вітер, який дує зі швидкістю = 20 м/с, діє на парус площею S = 25 м² із силою , де ρ – густина повітря, – швид­кість парусника. Визначити швидкість парусника, при якій вплив вітру є максимальним.

2.62. Встановити витрату V води за 1 с на гідроелектростанції, якщо відомо, що її потужність N₁ = 4,5∙10⁶ кВт при різниці рівнів води H = 96 м, коефіцієнт корисної дії генератора η = 98,1%, а коефіцієнт корисної дії турбіни η₁= 93 %.

2.63. Визначити середню корисну потужність при пострілі з гладкоствольної рушниці, якщо відомо, що куля масою т = 0,005 кг вилітає зі ствола зі швидкістю = 500 м/с, а довжина каналу ствола L = 0,5 м. Тиск порохових газів на кулю у каналі ствола наближено вважати сталим.

2.64. Яку потужність N розвиває двигун автомобіля масою m = 10³ кг, якщо відомо, що автомобіль їде з постійною швидкістю = 10 м/с вгору з ухилом 5 м на кожні 100 м шляху?

2.65. Автомобіль рухається вгору вздовж невеликого ухилу зі сталою швидкіс­тю ₁ = 15 м/с. Якби він рухався вниз, то при тій самій потужності двигуна встановилася б швидкість ₂ = 20 м/с. Вважаючи, що сила тяги не залежить від швидкості, знайти, яка швидкість встановиться при тій самій потужності двигуна під час руху по горизонтальному шляху.

2.66. Аеросани масою т = 100 кг, що рухаються по горизонтальній ді­лянці шляху зі швидкістю = 8,33 м/с, розвивають потужність N = 22 кВт. Яку потужність вони повинні розвивати при русі вгору з ухилом α = 10°, щоб рухатись із тією ж швидкістю?

2.67. Двигун потужністю N = 0,2 кВт приводить в рух токарний верстат, на якому обробляють дерев’яний циліндр. Діаметр циліндра d = 0,05 м, його швид­кість обертання п = 11,7 об/с. Визначити силу, з якою різець відокремлює стружку, вважаючи, що потужність верстата становить 85 % від потужності двигуна.

2.68. Куля масою т₁= 0,01 кг, що летіла зі швидкістю = 600 м/с, попала у балістичний маятник масою т₂ = 5 кг і застряла у ньому. На яку висоту h піднявся маятник?

2.69. Палю масою m₁ = 70 кг вбивають у грунт за допомогою копра. Молот копра має масу m₂ = 400 кг. При ударі він опускається на 1,5 м. При цьому паля заглиблюється на 4×10^{-3 м}. Визначити силу опору грунту під час руху палі, якщо удар молота є абсолютно непружним?

2.70. З вершини ідеально гладкої сфери зісковзує невеликий вантаж. З якої висоти h, рахуючи від вершини, вантаж зірветься зі сфери? Радіус сфери R = 0,9 м.

2.71. Тіло зісковзує по похилій площині висотою h = 1 м і довжиною схилу L = 10 м. Коефіцієнт тертя µ = 0,05. Кінетична енергія тіла біля основи площини E_k = 4,9 Дж. Знайти масу тіла.

2.72. Тіло зісковзує з крижаної гори висотою h = 1 м і зупиняється на крижаному полі на відстані S = 50 м у горизонтальному напрямі від вершини гори. Визначити коефіцієнт тертя льоду µ.