Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов

Рассмотрим произвольную ограниченную систему зарядов находящихся диэлектрической среде. Выделим произвольную область Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru содержащую систему зарядов и ограниченную замкнутой поверхностью S. Энергия электростатического поля, содержащаяся в V0 равна

Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru

Пологая Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru и интегрируя по частям, находим

Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru (19.1)

Будем считать поверхность S сферой бесконечно большого радиуса R. Тогда при Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru потенциал Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru убывает как Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru , где Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru - диэлектрическая проницаемость среды на бесконечности, а Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru - полный свободный заряд системы, равный по теореме Гаусса

Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru

Все это позволяет получить следующую оценку для поверхностного интеграла (19.1):

Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru

Так как потенциал убывает обратно пропорционально расстоянию то при Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru

Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru

Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru (19.2)

где Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru -область занятое свободными зарядами.

Учтем теперь, что потенциал Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru удовлетворяет уравнению Пуассона Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru и поэтому может быть записан в форме

Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru (19.3)

где Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru - область, занятая свободными и связанными зарядами. Подставляя (19.3) в (19.2), получаем выражение для энергии электростатического поля в среде:

Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru

Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru обычно используемое симметричное выражениеЭнергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru (19.4)

Если заряды считать точечными, то (19. 4) будет содержать расходящиеся интегралы, отвечающие собственным энергиям отдельных зарядов. Если заряд е равномерно распределен по поверхности шарика радиуса а, то энергия электростатического поля, равна

Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru

и при Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru оказывается бесконечной.

Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru

Энергия системы точечных зарядов будет равна, здесь Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов - student2.ru - потенциал создаваемый всеми зарядами кроме i-го.

Наши рекомендации