Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов

· Концентрация частиц (молекул, атомов и т.п.) однородной системы

где V-объём системы

· Основное уравнение кинетической теории газов

где p – давление газа; <E_k>-средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

· Средняя кинетическая энергия:

приходящаяся на одну степень свободы молекулы

приходящаяся на все степени свободы молекулы (полная энергия молекулы)

поступательное движение молекулы

где k-постоянная Больцмана; T-термодинамическая температура; i-число степеней свободы молекулы;

Энергия вращательного движения молекулы

· Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

· Скорость молекулы:

средняя квадратичная

, или

средняя арифметическая

, или

наиболее вероятная

, или

где m₁ – масса одной молекулы.

· Барометрическая формула

где p_h и p₀ – давление газа на высоте h и h₀.

· Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле

где n и n₀ – концентрация молекул на высоте h и h=0; П=m₀gh – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения.

· Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 с ,

где d – эффективный диаметр молекулы; n – концентрация молекул; <υ> - средняя арифметическая скорость молекул.

· Средняя длина свободного пробега молекул газа

.

· Закон теплопроводности Фурье

,

где Q – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через площадь S за время t; dT/dx – градиент температуры; λ – теплопроводность:

где c_V – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; ρ – плотность газа; <υ> - средняя арифметическая скорость теплового движения его молекул; <l> - средняя длина свободного пробега молекул.

· Закон диффузии Фика

где M – масса вещества, переносимая посредством диффузии через площадь S за время t; dρ/dx – градиент плотности; D – диффузия:

.

· Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости)

,

где F – сила внутреннего трения между движущимися слоями площадью S; dυ/dx – градиент скорости; η – динамическая вязкость:

.

Задачи

4.1. Начертить графики изотермического, изобарного и изохорного процессов в координатах P и V, P и Т, Т и V.

4.2. Определить число N атомов в 1 кг водорода и массу одного атома водорода. Ответ: Н = 3,01·10²⁶; т₀ = 3,32^.10^{-27 кг.}

4.3. В закрытом сосуде вместимостью 20 л находятся водород массой 6 г и гелий массой 12 г. Определить: 1) давление; 2) молярную массу газовой смеси в сосуде, если температура смеси Т = 300 К. Ответ: 1) P = 0,75 кПа; 2) М = 3·10^-3 кг/моль.

4.4. Определить плотность смеси газов водорода массой m₁ = 8 г и кислорода массой m₂ = 64 г при температуре Т = 290 К и при давлении 0,1 МПа. Газы считать идеальными. Ответ: 0,498 кг/м³.

4.5. Баллон вместимостью V = 20 л содержит смесь водорода и азота при температуре 290 К и давлении 1 МПа. Определить массу водорода, если масса смеси равна 150 г. Ответ: 6,3 г.

4.6. В сосуде вместимостью 1 л находится кислород массой 1 г. Определить концентрацию молекул кислорода в сосуде. Ответ: 1,88^.10²⁵ м^-3.

4.7. Определить наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м³. Ответ: 478 м/с.

4.8. Определить среднюю кинетическую энергию <E₀> поступательного движения молекул газа, находящегося под давлением 0,1 Па. Концентрация молекул газа равна 10¹³ см^-3. Ответ: 1,5·10^-19 Дж.

4.9. Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найти формулу наиболее вероятной скорости υ_B. Ответ: υ_B =

4.10. Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найти закон, выражающий распределение молекул по относительным скоростям и (u = υ/υ_в). Ответ: f(u) = .

4.11. На какой высоте давление воздуха составляет 60 % от давления на уровне моря? Считать, что температура воздуха везде одинакова и равна 10 °С. Ответ: 4,22 км.

4.12. Каково давление воздуха в шахте на глубине 1 км, если считать, что температура по всей высоте постоянная и равна 22 °С, а ускорение свободного падения не зависит от высоты. Давление воздуха у поверхности Земли принять равным P₀. Ответ: 1,12 P₀.

4.13. Определить отношение давления воздуха на высоте 1 км к давлению на дне скважины глубиной 1 км. Воздух у поверхности Земли находится при нормальных условиях, и его температура не зависит от высоты Ответ: 0,78.

4.14. На какой высоте плотность воздуха в е раз (е – основание натуральных логарифмов) меньше по сравнению с его плотностью на уровне моря? Температуру воздуха и ускорение свободного падения считать не зависящими от высоты. Ответ: 7,98 км.

4.15. Определить среднюю длину свободного пробега <l> молекул кислорода, находящегося при температуре 0 °С, если среднее число <z> столкновений, испытываемых молекулой в 1 с, равно 3,7·10⁹. Ответ: 115 нм.

4.16. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода равна 2,5 см, если температура газа равна 67 °С? Диаметр молекулы водорода принять равным 0,28 нм. Ответ: 0,539 Па.

4.17. Определить среднюю продолжительность <τ> свободного пробега молекул водорода при температуре 27 °С и давлении 5 кПа. Диаметр молекулы водорода' принять равным 0,28 нм. Ответ: 13,3 нс.

4.18. Средняя длина свободного пробега <l> молекул водорода при нормальных условиях составляет 0,1 мкм. Определить среднюю длину их свободного пробега при давлении 0,1 мПа, если температура газа остается постоянной. Ответ: 101 м.

4.19. При температуре 300 К и некотором давлении средняя длина свободного пробега <l> молекул кислорода равна 0,1 мкм. Чему равно среднее число <z> столкновений, испытываемых молекулами в 1 с, если сосуд откачать до 0,1 первоначального давления? Температуру газа считать постоянной. Ответ: 4,45^.10⁸ с^-1.

4.20. Определить коэффициент теплопроводности λ азота, находящегося в некотором объеме при температуре 280 К. Эффективный диаметр молекул азота принять равным 0,38 нм. Ответ: 8,25 мВт/(м^.К).

4.21. Кислород находится при нормальных условиях. Определить коэффициент теплопроводности λ кислорода, если эффективный диаметр его молекул равен 0,36 нм. Ответ: 8,49 мВт/(м·К).

4.22. Пространство между двумя параллельными пластинами площадью 150 см² каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре 17 °С, другая – при температуре 27 °С. Определить количество теплоты, прошедшее за 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к другой. Кислород находится при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода считать равным 0,36 нм. Ответ: 76,4 Дж.

4.23. Определить коэффициент диффузии D кислорода при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода принять равным 0,36 нм. Ответ: 9,18^.10^-6 м²/с.

4.24. Определить массу азота прошедшего вследствие диффузии через площадку 50 см² за 20 с, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен 1 кг/м⁴. Температура азота 290 К, а средняя длина свободного пробега его молекул равна 1 мкм. Ответ: 15,6 мг.

4.25. Определить коэффициент теплопроводности λ азота, если коэффициент динамической вязкости η для него при тех же условиях равен 10 мкПа^.с Ответ: 7,42 мВт/(м^.К).

Основы термодинамики

· Связь между молярной (C_m) и удельной (c) теплоёмкостями газа

где M-молярная масса газа.

· Молярные теплоёмкости при постоянном объёме и постоянном давлении соответственно равны

;

где i-число степеней свободы; R-молярная газовая постоянная.

· Удельные теплоемкостью при постоянном объёме и постоянном давлении соответственно равны

;

· Уравнение Майера

· Показатель адиабаты

, или , или .

· Внутренняя энергия идеального газа

, или ,

где <E_k>-средняя кинетическая энергия молекулы; N-число молекул газа; k-количество вещества, .

· Работа, связанная с изменением объёма газа, в общем случае вычисляется по формуле

где – V₁ начальный объём газа; V₂ - его конечныё объём.

Работа газа;

а) при изобарном процессе (p=const)

б) при изотермическом процессе (T=const)

в) при адиабатном процессе

где T₁ –начальная температура газа; T₂ –ого конечная температура.

· Уравнение Пуассона (уравнение газового состояния при адиабатном процессе)

· Связь между начальным и конечным значениями параметров состояния газа при адиабатном процессе:

; ;

· Первое начало термодинамики в общем случае записывается в виде

где Q-количество теплоты, сообщение газу; ∆U-изменение его внутренней энергии; A-работа, совершаемая газом против внешних сил.

Первое начало термодинамики:

а) при изобарном процессе

б) при изохорном процессе (A=0)

в) при изотермическом процессе (∆U=0)

г) при адиабатном процессе (Q=0)

· Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла в общем случае

где Q₁ – количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от нагревателя; Q₂ – количество теплоты, переданное рабочим телом охладителю.

КПД цикла Карно

, или

где T₁ – температура нагревателя; T₁ – температура охладителя.

· Изменение энтропии

,

где А и В – пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состоянию системы. Так как процесс равновесный, то интегрирование проводится по любому пути.

· Формула Больцмана

,

где S – энтропия системы; W – термодинамическая вероятность её состояния; k – постоянная Больцмана.

Задачи

5.1. Азот массой m = 10 г находится при температуре Т = 290 К. Определить: 1) среднюю кинетическую энергию одной молекулы азота; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех молекул азота. Газ считать идеальным. Ответ: 1) 10^-20 Дж; 2) 860 Дж.

5.2. Кислород массой m = 1 кг находится при температуре Т = 320 К. Определить: 1) внутреннюю энергию молекул кислорода; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул кислорода. Газ считать идеальным. Ответ: 1) 208 кДж; 2) 83,1 кДж.

5.3. В закрытом сосуде находится смесь азота массой m₁ = 56 г и кислорода массой m₂ = 64 г. Определить изменение внутренней энергии этой смеси, если ее охладили на 20°. Ответ: 1,66 кДж.

5.4. Считая азот идеальным газом, определить его удельную теплоемкость: 1) для изобарного процесса; 2) для изохорного процесса. Ответ: 1) c_V = 742 Дж/(кг^.К); 2) c_р = 1,04 кДж/(кг^.К).

5.5. Определить удельные теплоемкости c_V и c_р, если известно, что некоторый газ при нормальных условиях имеет удельный объем V = 0,7 м³/кг. Что это за газ? Ответ: c_V = 649 Дж/(кг·К), с_р = 909 Дж/(кг·К).

5.6. Определить удельные теплоемкости c_v и с_р смеси углекислого газа массой m₁ = 3 г и азота массой m₂ = 4 г. Ответ: c_V = 667 Дж/(кг^.К), с_p = 918 Дж/(кг^.К).

5.7. Определить показатель адиабаты г для смеси газов, содержащей гелий массой m₁ = 8 г и водород массой m₂ = 2 г Ответ: 1,55.

5.8. Применяя первое начало термодинамики и уравнение состояния идеального газа, показать, что разность удельных теплоемкостей с_р – c_V = R/M.

5.9. Кислород массой 32 г находится в закрытом сосуде под давлением 0,1 МПа при температуре 290 К. После нагревания давление в сосуде повысилось в 4 раза. Определить: 1) объем сосуда; 2) температуру, до которой газ нагрели; 3) количество теплоты, сообщенное газу. Ответ: 1) 2,4^.10^{-2 м3}; 2) 1,16 кК; 3) 18,1 кДж.

5.10. Определить количество теплоты, собщенное газу, если в процессе изохорного нагревания кислорода объемом V = 20 л его давление изменилось на ΔP = 100 кПа. Ответ: 5 кДж.

5.11. Двухатомный идеальный газ (ν = 2 моль) нагревают при постоянном объеме до температуры T₁ = 289 К. Определить количество теплоты, которое необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление в n = 3 раза. Ответ: 24 кДж.

5.12. При изобарном нагревании некоторого идеального газа (ν = 2 моль) на ΔT = 90 К ему было сообщено количество теплоты 2,1 кДж. Определить: 1) работу, совершаемую газом; 2) изменение внутренней энергии газа; 3) величину γ = C_p / C_V. Ответ: 1) 1,5кДж; 2) 0,6 кДж; 3) 1,4.

5.13. Азот массой m = 280 г расширяется в результате изобарного процесса при давлении P = 1 МПа. Определить: 1) работу расширения; 2) конечный объем газа, если на расширение затрачена теплота Q = 5 кДж, а начальная температура азота T₁ = 290 К. Ответ: А = 1,43 кДж; V₂= 0,026 м³.

5.14. Кислород объемом 1 л находится под давлением 1 МПа. Определить, какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы: 1) увеличить его объем вдвое в результате изобарного процесса; 2) увеличить его давление вдвое в результате изохорного процесса. Ответ: 1) 3,5 кДж; 2) 2,5 кДж.

5.15. Некоторый газ массой m = 5 г расширяется изотермически от объема V₁ до объема V₂ = 2V₁. Работа расширения А = 1 кДж. Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа. Ответ: 930 м/с.

5.16. Азот массой m = 14 г сжимают изотермически при температуре Т = 300 К от давления P₁ = 100 кПа до давления P₂ = 500 кПа. Определить: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу сжатия; 3) количество выделившейся теплоты. Ответ: 1) 0; 2) –2,01 кДж; 3) 2,01 кДж.

5.17. Некоторый газ массой 1 кг находится при температуре Т = 300 К и под давлением P₁ = 0,5 МПа. В результате изотермического сжатия давление газа увеличилось в два раза. Работа, затраченная на сжатие, А = –432 кДж. Определить: 1) какой это газ; 2) первоначальный удельный объем газа. Ответ: 2) 1,25 м³/кг.

5.18. Азот массой m = 50 г находится при температуре T₁= 280 К. В результате изохорного охлаждения его давление уменьшилось в n = 2 раза, а затем в результате изобарного расширения температура газа в конечном состоянии стала равной первоначальной. Определить: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение внутренней энергии газа. Ответ: 1) 2,08 кДж; 2) 0.

5.19. Работа расширения некоторого двухатомного идеального газа составляет А = 2 кДж. Определить количество подведенной к газу теплоты, если процесс протекал: 1) изотермически; 2) изобарно. Ответ: 1) 3 кДж; 2) 7 кДж.

5.20. При адиабатическом расширении кислорода (ν = 2 моль), находящегося при нормальных условиях, его объем увеличился в n = 3 раза. Определить: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу расширения газа. Ответ: 1) –4,03 кДж; 2) 4,03 кДж.

5.21. Азот массой m = 1 кг занимает при температуре T₁ = 300 К объем V₁ = 0,5 м³. В результате адиабатического сжатия давление газа увеличилось в 3 раза. Определить: 1) конечный объем газа; 2) его конечную температуру; 3) изменение внутренней энергии газа. Ответ: 1) 0,228 м³; 2) 411 К; 3) 82,4 кДж.

5.22. Азот, находившийся при температуре 400 К, подвергли адиабатическому расширению, в результате которого его объем увеличился в n = 5 раз, а внутренняя энергия уменьшилась на 4 кДж. Определить массу азота. Ответ: 28 г.

5.23. Двухатомный идеальный газ занимает объем V₁ = 1 л и находится под давлением P₁ = 0,1 МПа. После адиабатического сжатия газ характеризуется объемом V₂ и давлением P₂. В результате последующего изохор-ного процесса газ охлаждается до первоначальной температуры, а его давление P₃ = 0,2 МПа. Определить: 1) объем V₂; 2) давление P₂. Начертить график этих процессов. Ответ: 1) 0,5л; 2) 264 кПа.

5.24. Кислород, занимающий при давлении P₁ = 1 МПа объем V₁= 5 л, расширяется в n = 3 раза. Определить конечное давление и работу, совершенную газом. Рассмотреть следующие процессы: 1) изобарный; 2) изотермический; 3) адиабатический. Ответ: 1) 1 МПа, 10 кДж; 2) 0,33 МПа, 5,5 кДж; 3) 0,21 МПа, 4,63 кДж.

5.25. Рабочее тело – идеальный газ – теплового двигателя совершает цикл, состоящий из последующих процессов: изобарного, адиабатического и изотермического.

5.26. В результате изобарного процесса газ нагревается от T₁ = 300 К до Т₂ = 600 К. Определить термический к.п.д. теплового двигателя. Ответ: 30,7 %.

5.27. Азот массой 500 г, находящийся под давлением P₁ = 1 МПа при температуре T₁= 127 °С, подвергли изотермическому расширению, в результате которого давление газа уменьшилось в n = 3 раза. После этого газ подвергли адиабатическому сжатию до начального давления, а затем он был изобарно сжат до начального объема. Построить график цикла и определить работу, совершенную газом за цикл. Ответ: –11,5 кДж.

5.28. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70 % количества теплоты, полученной от нагревателя, отдает холодильнику. Количество теплоты, получаемое от нагревателя, равно 5 кДж. Определить: 1) термический к.п.д. цикла; 2) работу, совершенную при полном цикле. Ответ: 1) 30%; 2) 1,5 кДж.

5.29. Идеальный газ совершает цикл Карно. Газ получил от нагревателя количество теплоты 5,5 кДж и совершил работу 1,1 кДж. Определить: 1) термический к.п.д. цикла; 2) отношение температур нагревателя и холодильника. Ответ: 1) 20%; 2) 1,25.

5.30. Идеальный газ совершает цикл Карно, термический к.п.д. которого равен 0,4. Определить работу изотермического сжатия газа, если работа изотермического расширения составляет 400 Дж. Ответ: –240 Дж.

5.31. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя Т₁ = 500 К, холодильника Т₂ = 300 К. Работа изотермического расширения газа составляет 2 кДж. Определить: 1) термический к.п.д. цикла; 2) количество теплоты, отданное газом при изотермическом сжатии холодильнику. Ответ: 1) 40 %; 2) 0,6 кДж.

5.32. Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно, при этом в процессе адиабатического расширения объем газа увеличивается в n = 4 раза. Определить термический к.п.д. цикла. Ответ: 37 %.

5.33. Во сколько раз необходимо увеличить объем V = 5 моль идеального газа при изотермическом расширении, если его энтропия увеличилась на 57,6 Дж/К? Ответ: 4.

5.34. При нагревании двухатомного идеального газа (ν = 3 моль) его термодинамическая температура увеличилась в n = 2 раза. Определить изменение энтропии, если нагревание происходит: 1) изохорно; 2) изобарно. Ответ: 1) 28,8 Дж/К; 2) 40,3 Дж/К.

5.35. Идеальный газ (ν = 2 моль) сначала изобарно нагрели, так что объем газа увеличился в n₁ = 2 раза, а затем изохорно охладили, так что давление его уменьшилось в n = 2 раза. Определить приращение энтропии в ходе указанных процессов. Ответ: 11,5 Дж/К.

5.36. Азот массой 28 г адиабатически расширили в n = 2 раза, а затем изобарно сжали до первоначального объема. Определить изменение энтропии газа в ходе указанных процессов.

Ответ: – 0,2 Дж/К.

Раздел II

Электростатика

1. Сила гравитационного притяжения двух водяных одинаково заряженных капель радиусами 0,1 мм уравновешивается кулоновской силой отталкивания. Определить заряд капель. Плотность воды равна 1 г/см³. Ответ: 0,361·10 ^–18 Кл.

2. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускаются в керосин плотностью 0,8 г/см³. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в керосине был один и тот же? Диэлектрическая проницаемость керосина ε = 2. Ответ: 1,6 г/см³ .

3. В вершинах равностороннего треугольника находятся одинаковые положительные заряды Q = 2 нКл. Какой отрицательный заряд Q необходимо поместить в центр треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы отталкивания положительных зарядов? Ответ: 1,15 нКл.

4. Свинцовый шарик (ρ = 11,3 г/см³) диаметром 0,5 см помещен в глицерин (ρ= 1,26 г/см³). Определить заряд шарика, если в однородном электростатическом поле шарик оказался взвешенным в глицерине. Электростатическое поле направлено вертикально вверх, и его напряженность E = 4 кВ/см. Ответ: 1,61 нКл.

5. 2.1.5. Определить напряженность электростатического поля в точке А, расположенной вдоль прямой, соединяющей заряды Q₁ = 10нКл и Q₂ = –8 нКл и находящейся на расстоянии R = 8 см от отрицательного заряда. Расстояние между зарядами L = 20 см. Ответ: 10,1 кВ/м.

6. Два точечных заряда Q₁ = 4 нКл и Q₂ = –2 нКл находятся друг от друга на расстоянии 60 см. Определить напряженность E поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему равна напряженность, если второй заряд положительный? Ответ: 0,6 кВ/м; 0,2 кВ/м.

7. Определить напряженность поля, создаваемого диполем с электрическим моментом p = 10^-9 Кл·м на расстоянии R = 25 см от центра диполя в направлении, перпендикулярном оси диполя. Ответ: 576 В/м.

8. Расстояние L между зарядами Q = ± 2 нКл равно 20 см. Определить напряженность E поля, созданного этими зарядами в точке, находящейся на расстоянии R₁ = 15 см от первого и R₂ = 10 см от второго заряда. Ответ: 2,14 кВ/м.

9. В вершинах квадрата со стороной 5 см находятся одинаковые положительные заряды Q = 2 нКл. Определить напряженность электростатического поля: 1) в центре квадрата; 2) в середине одной из сторон квадрата. Ответ: 1) 0; 2) 1,03 кВ/м.

10. Кольцо радиусом R = 5 см из тонкой проволоки равномерно заряжено с линейной плотностью q = 14 нКл/м. Определить напряженность поля на оси, проходящей через центр кольца, в точке А, удаленной на расстоянии d = 10 см от центра кольца. Ответ: 2,83 кВ/м.

11. Определить поверхностную плотность заряда, создающего вблизи поверхности Земли напряженность Е = 200 В/м. Ответ: 1,77 нКл/м² .

12. Под действием электростатического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости точечный заряд Q = 1 нКл переместился вдоль силовой линии на расстояние R = 1 см; при этом совершена работа 5 мкДж. Определить поверхностную плотность заряда на плоскости. Ответ: 8,85 мкКл/м².

13. Электростатическое поле создается двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными равномерно одноименными зарядами с поверхностной плотностью соответственно σ₁ = 2 нКл/м² и σ₂ = 4 нКл/м². Определить напряженность электростатического поля: 1) между плоскостями; 2) за пределами плоскостей. Построить график изменения напряженности поля вдоль линии, перпендикулярной плоскостям. Ответ: 1) 113 В/м; 2) 339 В/м.

14. Электростатическое поле создается двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными равномерно разноименными зарядами с поверхностной плотностью σ₁ = 1 нКл/м² и σ₂ = 2 нКл/м². Определить напряженность электростатического поля: 1) между плоскостями; 2) за пределами плоскостей. Построить график изменения напряженности поля вдоль линии, перпендикулярной плоскостям. Ответ: 1) 169 В/м; 2) 56,5 В/м.

15. На металлической сфере радиусом 15 см находится заряд Q = 2 нКл. Определить напряженность E электростатического поля: 1) на расстоянии r₁ = 10 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии r₂ = 20 см от центра сферы. Построить график зависимости E(R). Ответ: 1) 0; 2) 800 В/м; 3) 450 В/м.

16. Поле создано двумя равномерно заряженными концентрическими сферами радиусами R₁ = 5 см и R₂ = 8 см. Заряды сфер соответственно равны Q₁ = 2 нКл и Q₂ = –1 нКл. Определить напряженность электростатического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстояниях: 1) R₁ = 3 см; 2) R₂ = 6 см; 3) R₃ = 10 см. Построить график зависимости E(R). Ответ: 1) 0; 2) 5 кВ/м; 3) 0,9 кВ/м.

17. Шар радиусом R = 10 см заряжен равномерно с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м³. Определить напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии R₁ = 5 см от центра шара; 2) на расстоянии R₂ = 15 см от центра шара. Построить зависимость Е(R). Ответ: 1) 18,8 В/м; 2) 16,7 В/м.

18. Длинный прямой провод, расположенный в вакууме, несет заряд, равномерно распределенный по всей длине провода с линейной плотностью 2 нКл/м. Определить напряженность Е электростатического поля на расстоянии R =1 м от провода. Ответ: 36 В/м.

19. Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолинейного коаксиального провода радиусом R = 1,5 мм заряжен с линейной плотностью τ₁ = 0,20 нКл/м. Внешний цилиндрический проводник этого провода радиусом R₂ = 3 мм заряжен с линейной плотностью τ₂ = –0,15 нКл/м. Пространство между проводниками заполнено резиной (ε=3). Определить напряженность электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на расстояниях: 1) R₁ = –1 мм; 2) R₂ = 2 мм; 3) R₃ = 5 мм. Ответ: 1) 0; 2) 800 В/м; 3) 180 В/м.

20. Электростатическое поле создается положительно заряженной с постоянной поверхностной плотностью σ = 10 нКл/м² бесконечной плоскостью. Какую работу надо совершить для того, чтобы перенести электрон вдоль линии напряженности с расстояния R₁ = 2 см до R₂ = 1 см? Ответ: 9·10^-19Дж.

21. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью τ = 1 нКл/см. Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния R₁ = 1,5 см до R₂ = 1 см? Ответ: 16 Мм/с.

22. Одинаковые заряды Q = 100 нКл расположены в вершинах квадрата со стороной d = 10 см. Определить потенциальную энергию этой системы. Ответ: 4,87 мДж.

23. В боровской модели атома водорода электрон движется по круговой орбите радиусом R = 52,8 пм, в центре которой находится протон. Определить: 1) скорость электрона на орбите; 2) потенциальную энергию электрона в поле ядра, выразив ее в электронвольтах. Ответ: 1) 2,19 Мм/с 2) 27,3 эВ.

24. Кольцо радиусом R = 5 см из тонкой проволоки несет равномерно распределенный заряд Q = 10 нКл. Определить потенциал φ электростатического поля: 1) в центре кольца; 2) на оси, проходящей через центр кольца, в точке, удаленной на расстояние d = 10 см от центра кольца. Ответ: 1) 1,8 кВ; 2) 805 В.

25. На кольце с внутренним радиусом 80 см и внешним 1 м равномерно распределен заряд 10 нКл. Определить потенциал в центре кольца. Ответ: 100 В.

26. Металлический шар радиусом 5 см несет заряд Q =10 нКл. Определить потенциал φ электростатического поля: 1) на поверхности шара; 2) на расстоянии d = 2 см от его поверхности. Построить график зависимости φ(R). Ответ: 1) 1,8 кВ; 2) 1,29 кВ.

27. Полый шар несет на себе равномерно распределенный заряд. Определить радиус шара, если потенциал в центре шара равен φ₁ = 200 В, а в точке, лежащей от его центра на расстоянии R = 50 см, φ₂ = 40 В. Ответ: 10 см.

28. Электростатическое поле создается положительным точечным зарядом. Определить числовое значение и направление градиента потенциала этого поля, если на расстоянии R = 10 см от заряда потенциал равен φ = 100 В. Ответ: 1 кВ/м.

29. Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, заряженной равномерно с поверхностной плотностью σ = 5 нКл/м². Определить числовое значение и направление градиента потенциала этого поля. Ответ: 282 В/м.

30. Электростатическое поле создается бесконечной прямой нитью, заряженной равномерно с линейной плотностью τ = 50 пКл/см. Определить числовое значение и направление градиента потенциала в точке на расстоянии R = 0,5 м от нити. Ответ: 180 В/м.

31. Определить линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити, если работа сил поля по перемещению заряда Q = 1 нКл с расстояния R₁ = 5 см до r₂ = 2 см в направлении, перпендикулярном нити, равно 50 мкДж. Ответ: 303 нКл/м.

32. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью. Протон, двигаясь от нити под действием поля вдоль линии напряженности с расстояния R = 1 см до R₂ = 5 см, изменил свою скорость от 1 до 10 Мм/с. Определить линейную плотность заряда нити. Ответ: 17,8 мкКл/м.

33. Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, равномерно заряженной с поверхностной плотностью σ = 1 нКл/м². Определить разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстояниях x₁ = 20 см и х₂ = 50 см от плоскости. Ответ: 16,9 В.

34. Определить поверхностную плотность зарядов на пластинах плоского слюдяного (ε = 7) конденсатора, заряженного до разности потенциалов U = 200 B, если расстояние между его пластинами равно d = 0,5 мм. Ответ: 3,54 мкКл/м².

35. Электростатическое поле создается равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R = 10 см с общим зарядом Q = 15 нКл. Определить разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстояниях R₁ = 5 см и R₂ = 15 см от поверхности сферы. Ответ: 360 В.

36. Электростатическое поле создается сферой радиусом R = 5 см, равномерно заряженной с поверхностной плотностью σ = 1 нКл/м². Определить разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях R₁ = 10 см и R₂ = 15 см от центра сферы. Ответ: 0,94 В.

37. Электростатическое поле создается равномерно заряженным шаром радиусом R = 1 м с общим зарядом Q = 50 нКл. Определить разность потенциалов для точек, лежащих от центра шара на расстояниях: 1) R₁ = 1,5 м и R₂ = 2 м, 2) R₁ = 0,3 м и R₂ = 0,8 м. Ответ: 1) 75 В; 2) 124 В.

38. Электростатическое поле создается шаром радиусом R = 8 см, равномерно заряженным с объемной плотностью ρ= 10 нКл/м³. Определить разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии R₁ = 10 см и R₂ = 15 см от центра шара. Ответ: 0,64 В.

39. Электростатическое поле создается шаром радиусом R = 10 см, равномерно заряженным с объемной плотностью ρ= 20 нКл/м³. Определить разность потенциалов между точками, лежащими внутри шара на расстояниях R₁ = 2 см и R₂ = 8 см от его центра. Ответ: 2,26 В.

40. Электростатическое поле создается бесконечным цилиндром радиусом 8 мм, равномерно заряженным с линейной плотностью φ = 10 нКл/м. Определить разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии R₁ = 2 мм и R₂ = 7 мм от поверхности этого цилиндра. Ответ: 73 В.

41. В однородное электростатическое поле напряженностью E₀ = 700 В/м перпендикулярно полю помещается бесконечная плоскопараллельная стеклянная пластина (ε= 7). Определить: 1) напряженность электростатического поля внутри пластины; 2) электрическое смещение внутри пластины; 3) поляризованность стекла; 4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле. Ответ: 1) 100 В/м; 2) 6,19 нКл/м²; 3) 5,31 нКл/м²: 4) 5,31 нКл/м² .

42. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено парафином (ε= 2). Расстояние между пластинами d = 8,85 мм. Какую разность потенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверхностная плотность связанных зарядов на парафине составляла 0,1 нКл/см²? Ответ: 1 кВ.

43. Расстояние между пластинами плоского конденсатора составляет d = 5 мм. После зарядки конденсатора до разности потенциалов U = 500 B между пластинами конденсатора вдвинули стеклянную пластинку (ε= 7). Определить: 1) диэлектрическую восприимчивость стекла; 2) поверхностную плотность связанных зарядов на стеклянной пластинке Ответ: 1) 6; 2) 759 нКл/м² .

44. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на слюдяной пластинке (ε= 7) толщиной d = 1 мм, служащей изолятором плоского конденсатора, если разность потенциалов между пластинами конденсатора U = 300 В. Ответ: 15,9 мкКл/м².

45. Между пластинами плоского конденсатора помещено два слоя диэлектрика – слюдяная пластинка (ε = 7) толщиной d₁ = 1 мм и парафин (ε = 2) толщиной d₂ = 0,5 мм. Определить: 1) напряженности электростатических полей в слоях диэлектрика; 2) электрическое смещение, если разность потенциалов между пластинами конденсатора U = 500 В. Ответ: 1) е₁ = 182 кВ/м, Е₂ = 637 кВ/м; 2) D = 113 мкКл/м² .

46. Расстояние между пластинами плоского конденсатора составляет d = 1 см, разность потенциалов U = 200 B. Определить поверхностную плотность σ связанных зарядов эбонитовой пластинки (ε = 3) толщиной d = 8 мм, помещенной на нижнюю пластину конденсатора. Ответ: 253 нКл/м² .

47. Свободные заряды равномерно распределены с объемной плотностью ρ= 5 нКл/м³ по шару радиусом R = 10 см из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью ε = 5. Определить напряженность электростатического поля на расстояниях R₁ = 5 см и R₂ = 15 см от центра шара. Ответ: Е₁ = 1,88 В/м, Е₂ = 8,37 В/м.

48. Расстояние между пластинами плоского конденсатора d = 5 мм, разность потенциалов U = 1,2 кВ. Определить: 1) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора; 2) поверхностную плотность связанных зарядов на диэлектрике, если известно, что диэлектрическая восприимчивость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами, χ = 1. Ответ: 1) 4,24 мкКл/м²; 2) 2,12 мкКл/м².

49. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (ε = 7). Расстояние между пластинами d = 5 мм, разность потенциалов U = 1 кВ. Определить: 1) напряженность поля в стекле; 2) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора; 3) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле. Ответ: 1) 200 кВ/м; 2) 12,4 мкКл/м²; 3) 10,6 мкКл/м² .

50. Определить расстояние между пластинами плоского конденсатора, если между ними приложена разность потенциалов U = 150 B, причем площадь каждой пластины S = 100 см², ее заряд Q = 10 нКл. Диэлектриком служит слюда (ε = 7). Ответ: 9,29 мм.

51. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов U₁ = 500 B. Площадь пластин S = 200 см², расстояние между ними d = 1,5 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения в пространство между пластинами внесли парафин (ε = 2). Определить разность потенциалов U₂ между пластинами после внесения диэлектрика. Определить также емкости конденсатора С₁ и С₂ до и после внесения диэлектрика. Ответ: U₂ = 250 B, C₁ = 118 пФ, С₂ = 236 пФ.

52. Решить предыдущую задачу для случая, когда парафин вносится в пространство между пластинами при включенном источнике напряжения. Ответ: U₂ = 500 B, C₁ =118 пФ; С₂ = 236 пФ.

53. Определить емкость коаксиального кабеля длиной 10 м, если радиус его центральной жилы R₁ = 1 см, радиус оболочки R₂ = 1,5 см, а изоляционным материалом служит резина (ε = 2,5). Ответ: 3,43 пФ.

54. Определить напряженность электростатического поля на расстоянии d = 1 см от оси коаксиального кабеля, если радиус его центральной жилы R₁ = 0,5 см, а радиус оболочки R₂ = 1,5 см. Разность потенциалов между центральной жилой и оболочкой U = 1 кВ. Ответ: 91 кВ/м .

55. Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сфер радиусами R₁ = 5 см и R₂ = 5,5 см. Пространство между обкладками конденсатора заполнено маслом (ε = 2,2). Определить: 1) емкость этого конденсатора; 2) шар какого радиуса, помещенный в масло, обладает такой емкостью. Ответ: 1) 135 пФ; 2) 0,55 м.

56. Определить напряженность электростатического поля на расстоянии х = 2 см от центра воздушного сферического конденсатора, образованного двумя шарами (внутренний радиус R₁ = 1 см, внешний r₂ = 3 см), между которыми приложена разность потенциалов U = 1 кВ. Ответ: 37,5 кВ/м.

57. Два плоских воздушных конденсатора одинаковой емкости соединены параллельно и заряжены до разности потенциалов U = 300 B. Определить разность потенциалов этой системы, если пространство между пластинами одного из конденсаторов заполнено слюдой (ε = 7). Ответ: 75 В.

58. Разность потенциалов на системе последовательно соединенных конденсаторов U = 9 В. Емкости конденсаторов соответственно равны C₁ = 3 мкФ и С₂ = 6 мкФ. Определить: 1) заряды Q₁и Q₂; 2) разности потенциалов U₁и U₂ на обкладках каждого конденсатора. Ответ: 1) Q₁ = Q₂ = 18 мкКл; 2) U₁ = 6 В; U₂ = 3 B.

59. Емкость батареи конденсаторов, образованной двумя последовательно соединенными конденсаторами, С=100пФ, а заряд Q = 20 нКл. Определить емкость второго конденсатора, а также разности потенциалов на обкладках каждого конденсатора, если С₁ = 200 пФ. Ответ: С₂ = 200 пФ; ∆φ₁ = 100 В, ∆φ₂ = 100 В.

60. Уединенная металлическая сфера электроемкостью C = 4 пФ заряжена до потенциала φ = 1 кВ. Определить энергию поля, заключенную в сферическом слое между сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в 4 раза больше радиуса уединенной сферы. Ответ: 2 мкДж.

61. Две концентрические проводящие сферы радиусами R₁ = 20 см и R₂ = 50 см заряжены соответственно одинаковыми зарядами Q = 100 нКл. Определить энергию электростатического поля, заключенного между этими сферами. Ответ: 135 мкДж.

62. Сплошной эбонитовый шар (ε = 3) радиусом R = 5 см заряжен равномерно с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м³. Определить энергию электростатического поля, заключенную внутри шара. Ответ: 0,164 кДж.

63. Сплошной шар из диэлектрика радиусом R = 5 см заряжен равномерно с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м³. Определить энергию электростатического поля, заключенную в окружающем шар пространстве. Ответ: 2,46 пДж.

64. Шар, погруженный в масло (ε = 2,2), имеет поверхностную плотность заряда σ = 1 мкКл/м² и потенциал φ = 500 В. Определить: 1) радиус шара; 2) заряд шара; 3) емкость шара; 4) энергию шара. Ответ: 1) 9,74 мм; 2) 1,19 нКл; 3) 2,38 пФ; 4) 0,3 мкДж.

65. В однородное электростатическое поле напряженностью Е₀ = 700 В/м перпендикулярно полю поместили стеклянную пластинку (ε = 7) толщиной d = 1,5 мм и площадью 200 см². Определить: 1) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 2) энергию электростатического поля, сосредоточенную в пластине. Ответ: 1) 5,31 нКл/м²; 2) 9,29 кДж.

66. Плоский воздушный конденсатор емкостью С = 10 пФ заряжен до разности потенциалов U₁ = 500 В. После отключения конденсатора от источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в 3 раза. Определить: 1) разность потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению пластин. Ответ: 1) 1,5 кВ; 2) 2,5 мкДж.

67. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов U₁ = 500 В. Площадь пластин S = 200 см², расстояние между ними d₁ = 1,5 мм. Пластины раздвинули до расстояния d₂ = 15 мм. Найти энергию W₁ и W₂ конденсатора до и после раздвижения пластин, если источник напряжения перед раздвижением: 1) отключался; 2) не отключался. Ответ: 1) W₁ = 14,8 мкДж, W₂ = 148 мкДж; 2) W₁ = 14,8 мкДж; W₂ = 1,48 мкДж .

68. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора U = 100 B. Площадь каждой пластины S = 200 см², расстояние между пластинами d = 0,5мм, пространство между ними заполнено парафином (ε = 2). Определить силу притяжения пластин друг к другу. Ответ: 7,08 мН.

69. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено слюдой (ε = 7). Площадь пластин конденсатора составляет 50 см². Определить поверхностную плотность связанных зарядов на слюде, если пластины конденсатора притягивают друг друга с силой 1 мН. Ответ: 4,27 мкКл/м⁴ .

70. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (ε = 7). Когда конденсатор присоединили к источнику напряжения, давление пластин на стекло оказалось равным 1 Па. Определить: 1) поверхностную плотность зарядов на пластинах конденсатора; 2) электрическое смещение; 3) напряженность электростатического поля в стекле; 4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 5) объемную плотность энергии электростатического поля в стекле. Ответ: 1) 11,1 мкКл/м²; 2) 11,1 мкКл/м²; 3) 179кВ/м; 4) 9,5 мкКл/м²; 5) 0,992 Дж/м³.