Определение радиуса кривизны линзы интерферометрическим методом

Цель работы – определение радиуса кривизны линзы в интерференционном опыте с кольцами Ньютона.

Краткое теоретическое введение

Постановка задачи

При наложении двух электромагнитных волн одинаковой частоты напряжённость результирующего поля определяется векторной суммой напряженностей исходных полей. Усреднённый по времени квадрат напряжённости электрического поля <E>² служит мерой интенсивности I электромагнитных волн в данной точке. Эта интенсивность зависит от разности фаз накладывающихся волн. Если разность фаз остаётся неизменной за время наблюдения и частоты одинаковые, то такие волны называются когерентными.

Представим плоскую монохроматическую волну в виде

,

где Е₀ - амплитуда колебания, a =( ) - фаза колебаний светового вектора, w- циклическая частота, - модуль волнового вектора, - геометрический путь от источника S до точки наблюдения, φ₀ – начальная фаза. Численное значение волнового вектора связано с длиной волны λ, которая зависит от свойств среды, поэтому удобно ввести длину волны в вакууме, , где n - показатель преломления среды. Для двух волн, распространяющихся в разных средах и интерферирующих друг с другом, разность фаз связана с оптической разностью хода соотношением

, (1)

где r₁ и r₂ - расстояния (геометрические пути), пройденные, соответственно, волнами от первого и второго источников до точки наблюдения.

Если в некоторые точки пространства когерентные волны приходят с разностью фаз, кратной четному числу p, d = ±2pm, (где m = 0; 1; 2; ... - целые числа), то результирующее колебание имеет наибольшую амплитуду. В этих точках наблюдается максимум интенсивности (I = I_max).

Напротив, в тех точках пространства, куда волны приходят в противофазе, d = (2m +1)p, наблюдается минимум интенсивности. Удобно условия максимума и минимума интенсивности выразить через оптическую разность хода, используя соотношение (1):

. (2)

Совокупность чередующихся максимумов и минимумовинтенсивности образует интерференционную картину, чёткость которой зависит от степени когерентности волн.

Электромагнитные волны, излучаемые тепловыми источниками (лампы накаливания и пр.), некогерентны между собой. Это связано с тем, что атомы излучают цуг волн случайно, независимо друг от друга, переходя из более высокого энергетического состояния в низкое. Фаза волны, излучаемой при каждом таком переходе, принимает случайные значения.

Если за время t_ког (время когерентности) изменение фазы незначительно (не более p), то в течение этого времени волну можно рассматривать как квазимонохроматическую. Для волновых цугов оптического диапазона это время определяется временем жизни атома в возбужденном состоянии (~10^-8с). Расстояние, которое проходит поверхность фиксированной фазы цуга за время t_ког, называется длиной когерентности D_ког, D_ког = ct_ког, где с – скорость света в вакууме, D_ког = 3×10⁸×10^-8 ~ 3 м.

Исходя из сказанного, можно сформулировать общий принцип получения когерентных волн (интерференционной картины) от тепловых источников: при отражении или преломлении естественная световая волна (т.е. каждый цуг волн) делится на две части, которые проходят разные оптические пути, а затем, накладываясь в некоторой области пространства (на рис.1 в точке P), интерферируют друг с другом. В точках пространства, для которых

D < D_ког, (3)

возникает интерференционная картина, четкость которой зависит от того, как сильно отличается разность хода от длины когерентности, D_ког.

Способы реализации изложенного принципа можно условно разделить на два: способ деления волнового фронта (схема Юнга, зеркала Френеля, бипризма Френеля, зеркала Ллойда и т.д.) и способ деления амплитуды (тонкие плёнки, кольца Ньютона и т.д.).

Вывод расчетной формулы

В данной работе для определения радиуса кривизны линзы применяется метод колец Ньютона. Интерференционную картину можно наблюдать от воздушной прослойки, образованной плоскопараллельной пластинкой и лежащей на ней плосковыпуклой линзой достаточно большого радиуса. В этом случае геометрическим местом точек одинаковой толщины является окружность, и поэтому соответствующие полосы равной толщины будут иметь вид концентрических окружностей с центром в точке соприкосновения линзы с плоскопараллельной пластинкой.

Схема наблюдения колец Ньютона представлена на рис. 2. Луч света (1), направленного на систему, в точке М нижней стороны линзы делится на два: один (2) отражается, а второй преломляется и отражается от пластинки в точке N (3). Лучи 2 и 3 когерентны и при наложении интерферируют между собой.

Поскольку линза имеет большой радиус кривизны, то

MN + ND ≈ 2BE ≈ 2h.

Оптическая разность хода лучей 2 и 3 равна (отраженный свет)

, (4)

где h - толщина зазора между пластинкой и линзой, n - показатель преломления среды, заполняющей пространство между ними (в рассматриваемом случае - воздух n = 1), l - длина волны падающего света. Слагаемоеl/2 возникает из-за изменения фазы волны на p при отражении от оптически более плотной среды ("потеря полуволны"), которое имеет место в точке N. Тогда

. (5)

В центре картины, где h = 0, наблюдается тёмное пятно, что соответствует разности хода отражённых волн l/2 (условие минимума интенсивности). Результат интерференции в данной точке (появление тёмного или светлого кольца) зависит от оптической разности хода волн.

Связь между радиусом r_kинтерференционного кольца с номером k, радиусом R кривизны линзы и длиной волны l может быть найдена из простых геометрических соображений:

. (6)

Членом h² ввиду его малости пренебрегаем. Тогда

= 2Rh. (7)

Условие минимума требует, чтобы на разности хода D (5) укладывалось нечётное число полуволн. Выражая h из (7) и подставляя в (5) с условием, что D = (2k + 1)×l/2, получим выражение для радиуса тёмного (минимум) кольца в отражённом свете

. (8)

Удобно вести измерение не радиуса, а диаметра D_k кольца (D_k = 2r_k). Тогда из формулы (8) . (9)

Из (9) следует, чтоD линейно зависит от номера кольца k, при этом коэффициент пропорциональности равен (4lR).

Пример зависимости D от k приведен на рис.3. Пересечение прямой с осью ординат D при k = 0 дает значение D . Тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс, на которой откладывается номер кольца k, численно равен коэффициенту пропорциональности

tga = (4lR). (10)

Из графика значение

. (11)

Сравнивая (10) и (11), получаем

, (12)

откуда

. (13)

Так как экспериментальная прямая зависимости D от k проводится усредненно, то получается усредненное значение радиуса кривизны линзы.

Практическая часть

Внешний вид установки представлен на рис. 4. Оптическая часть системы (1), линза с пластинкой в кольцевой оправе, укреплена на столике (2) измерительного микроскопа (компаратора), который может перемещаться в горизонтальном направлении. Фокусировка колец достигается вращением объектива (3) за нижний накатанный поясок (4). Микроскоп сфокусирован на воздушный зазор межу линзой и пластинкой. Измерения проводят по горизонтальной миллиметровой шкале (5), а также по микровинту (6).

1. Порядок выполнения работы

1. Измерения начинают с колец, удалённых от центра, но еще достаточно резких и отчетливых. Для исключения погрешности от люфта винта микроскопа его перемещают только в одном направлении.

2. Установить вертикальный штрих по касательной к левому краю тёмного кольца, например 7-го.

3. Произвести отсчёт. При этом целые миллиметры определяются по горизонтальной шкале (5), а десятые и сотые доли - по микровинту (6). Результаты измерений занести в таблицу.

4. Перемещая вертикальный штрих вправо, установить его последовательно на краях 6-го, 5-го, … 1-го колец, производить отсчёты и результаты заносить в таблицу. В промежутке между двумя отсчетами изменять фокусировку нельзя, так как при этом может произойти смещение оптической оси микроскопа, и произойдет изменение увеличения.

5. Перемещая вертикальный штрих дальше вправо, пройти центральное пятно. Установить вертикальный штрих по касательной к правому краю тёмного кольца, теперь уже начиная с 1 – го. Произвести отсчет.

6. Продолжить отчеты, проходя те же кольца только в обратном направлении (до 7-го). Результаты всех измерений занести в таблицу.

2. Обработка результатов измерения

Задание 1. Определение радиуса кривизны линзы.

1. По разности отсчётов (левого и правого) для одного и того же кольца найти диаметр этого кольца, D_k. Записать в таблицу.

2. Найти D . Записать в таблицу.

3. По данным таблицы построить график зависимости D от k, D (k).

4. По графику D (k) определить D (при k = 0) и по формуле (13) рассчитать R.

Таблица

№	Отсчет по микровинту (мм)
кольца k	левый	правый	Dk, мм	D , мм2

Задание 2. Проверка неравенства D < D_ког (3).

1. Вычислить толщину воздушного зазора для тёмного кольца с номером k, например, для k = 5: .

2. Используя соотношение (4), рассчитать разность хода лучей по известному значению h_k для l = 660 нм;

3. Оценить длину когерентности световой волны из соотношения , предполагая, чтоdl = 10 нм.

4. Сравнить значение D_ког с разностью хода D лучей, вычисленной по формуле (4).

Контрольные вопросы

1. В чём состоит явление интерференции?

2. Какие волны называются когерентными?

3. Что происходит со световой волной при отражении от оптически более плотной среды?

4. Что такое временная и пространственная когерентности?

5. Что такое геометрическая и оптическая разности хода лучей?

6. От чего зависит чёткость интерференционной картины?

7. Как возникают кольца Ньютона?

8. Вывести формулу радиуса тёмного кольца в отражённом свете.

9. Как изменится картина колец Ньютона при изменении показателя преломления вещества, заполняющего зазор между линзой и пластинкой?

10. Почему в центре интерференционной картины возникает тёмное пятно? При каких условиях центральное пятно может стать светлым?

11. Как производятся измерения колец Ньютона?

Список литературы

1. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Курс физики.

2. Физический практикум под ред. В.И. Ивероновой.

3. Трофимова Т.И. Курс физики.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5–3