Фотофизические свойства п.п. лазеров

1. Энергетические состояния.

Волновую функцию электрона в зоне можно записать в виде волновой функции Блоха:

где обладает той периодичностью, что и кристаллическая решетка, а постоянная распространения kс импульсом электронаpизвестным соотношением

Для кристалла в форме параллелепипеда с размерами Lx, Ly, Lz вектор k квантуется: ki=2pl/Li, где i=x,y,z, а l-- целое число.

Если блоховскую волновую функцию подставить в уравнение Шрёдингера, описывающее движение электрона в п.п., то окажется, что разрешенные значения энергии электронов попадают в зоны, среди которых верхняя заполненная зона называется валентной, а более высокая пустая - зоной проводимости. Появление зонной структуры связано с дифракцией Брэгга блоховской волновой функции на периодическом кристаллическом потенциале.

В пределах каждой зоны разрешенные значения энергии в приближении параболической зоны:

Ec(k)=h2k2/2mc - для зоны проводимости,

Ev(k)=h2k2/2mv - для валентной зоны (от верхушки вниз).

На рисунке изображен случай прямозонного полупроводника.

Фотофизические свойства п.п. лазеров - student2.ru Фотофизические свойства п.п. лазеров - student2.ru

2. Заполнение уровней при тепловом равновесии.

Рассматривая заполнение энергетических уровней необходимо учесть, что волновая функция электрона распространяется на весь кристалл, и что здесь можно применить принцип Паули. Вероятность заполнения уровней в зонах дается статистикой Ферми - Дирака. Таким образом,

f(E)={1+exp[(E-Ef)/kT]}-1

Ef - этот уровень представляет собой границу между полностью заполненными и пустыми уровнями при 0 К. В невырожденных полупроводниках уровень Ферми располагается внутри запрещенной зоны.

3. Излучательные и безызлучательные переходы.

Если энергия фотона больше ширины запрещенной зоны, то п.п. будет поглощать электромагнитную волну. В случае прямого перехода должен сохраняться полный импульс

kv+kопт=kc

где kv, kc - волновые векторы электрона в валентной зоне и зоне проводимости, а kопт - волновой вектор падающей волны. В оптическом диапазоне kопт ~105 см-1, в то время как kv, kc имеют порядок 108 см-1. Можно принять kопт ~ 0. На диаграмме переход соответствует вертикальной линии. У непрямозонного п.п. минимум зоны проводимости и вершина валентной зоны находятся при разных k.В этом случае переход между указанными двумя состояниями происходит только при участии фонона решетки, чтобы компенсировать изменение импульса кристалла.

Электроны, заброшенные в зону проводимости, релаксируют на дно безызлучательно за время < 100 фс, так же релаксируют дырки к потолку валентной зоны. Рекомбинация электрона и дырки происходит излучательно или безызлучательно. Время жизни для межзонных переходов около 1 нс.

4. Квазиуровни Ферми.

Рассмотрим случай, когда из валентной зоны в зону проводимости заброшено много электронов (или п.проводник очень сильно легирован). Внутри зоны сразу (< 100 фс) установится тепловое равновесие, хотя п.п. как целое и не находится в равновесии. Поэтому можно по отдельности говорить о вероятности заполнения для валентной зоны fv и зоны проводимости fc.. Считая при этом

fv={1+exp[(E-Efv)/kT]}-1

fc={1+exp[(E-Efc)/kT]}-1,

где Efv и Efc - энергии т.н. квазиуровней Ферми соответственно валентной и зоны проводимости. Достаточно лишь одной этой величины для описания вероятности заполнения большого числа участвующих в генерации уровней.

Получим условие лазерной генерации. Для этого число актов вынужденного излучения должно быть больше числа актов поглощения (для компенсации потерь в резонаторе). Оба указанных процесса пропорциональны числу фотонов в резонаторе q, вероятности перехода B. Вероятность вынужденного излучения будет пропорциональна также произведению вероятности заполнения верхнего уровня fc(E2) и вероятности того, что нижний уровень будет свободен (1- fv(E1)). Вероятность поглощения пропорциональна произведению вероятности заполнения нижнего уровня fv(E1) и вероятности того, что верхний уровень окажется свободным (1- fc(E2)). Таким образом, чтобы получить вынужденное излучение на переходе E2 (зона проводимости) - E1 (валентная зона), должно выполниться условие

Bq{fc(E2)[ 1- fv(E1)]- fv(E1)[ 1- fc(E2)]}>0,

т. е. fc(E2) > fv(E1).

Из этого неравенства с учетом выражений для fv fc получаем

Efc - Efv > E2 - E1 =hn.

Данное соотношение справедливо при любой температуре пока остается применимым понятие квазиуровней Ферми. Это условие - результат требования того, чтобы процессы вынужденного излучения преобладали над процессами поглощения. Заметим, что энергия излучаемого фотона должна, очевидно, быть больше ширины запрещенной зоны. Таким образом, мы приходим к условию:

Eg < hn < Efc - Efv,

которое приблизительно устанавливает ширину контура усиления п.п.

Заметим, чтобы выполнилось неравенство Eg < Efc - Efv, число заброшенных в зону проводимости электронов должно превысить некоторое критическое значение. До тех пор, пока не будет достигнут этот минимальный уровень инжекции, усиление в полупроводнике не наблюдается.

Наши рекомендации