Время жизни фотона и добротность резонатора

Попытаемся вычислить скорость релаксации энергии в резонаторе для определенной моды. Рассмотрим для простоты плоскопараллельный резонатор. Моду резонатора можно представить как суперпозицию падающей и отраженной волн. Введем обозначения: I₀ – начальная интенсивность падающей волны, R₁, R₂ – коэффициенты отражения по мощности двух зеркал, T_i – относительные внутренние потери за проход. Интенсивность I(t₁) после одного полного прохода в момент времени запишется в виде

Интенсивность после m проходов, т.е. в момент времени

,

равна

.

Если q(t) – полное число фотонов в резонаторе в момент времени t, то оно пропорционально интенсивности, т.е. . И тогда можно записать

,

где q₀ – начальное число фотонов в резонаторе. Следовательно, число фотонов в момент времени t_m равно:

.

Сравнение двух последних выражений показывает, что (с учетом )

.

Откуда находим

. (3.12)

Если предполагать, что экспоненциальная зависимость q(t_m) справедлива в любой момент времени t, то можно написать

,

здесь τ_с – время жизни фотона, определяемое выражением (3.12).

Например, R₁=R₂=R=0,98; T_i≈0, то из (*) получим τ_с=49,5L/c. Видно, что время жизни фотона много больше времени одного прохода резонатора. Если положить L=90 см и с=с₀, то получим t_T≈3 нс и τ_с≈150 нс.

При условии, что справедливо, временную зависимость электрического поля можно представить в виде . С помощью фурье-преобразования доказывается, что спектр мощности излучения имеет лоренцеву форму линии с полушириной

.

Следует отметить, что спектр излучения не совпадает со спектром пропускания. Однако расхождения между числовыми результатами совсем невелики. Одна из причин такого расхождения состоит в том, что было принято условие .

Добротность

Для любой резонансной системы Q=2π(запас. эн.)/(эн. тер. за цикл). Запасенная энергия qhν, теряемая , и имеем

,

с учетом находим

и, учитывая еще , получаем .

Для конкретных значений τ_с≈150 нс и ν=5·10¹⁴ Гц (λ=0,6мкм) Q=4,7·10⁸.

Глава 4. Режимы работы лазеров

Теория основывается на приближении скоростных уравнений. Соответствующие уравнения выводятся из условия баланса между скоростями изменения полного числа частиц и полного числа фотонов лазерного излучения. Такой подход дает простое и наглядное описание работы лазера.

Скоростные уравнения

Четырехуровневый лазер

Рассмотрим четырехуровневую схему. Полагаем, что накачка проводится в одну полосу поглощения, релаксация из этой полосы на верхний лазерный уровень 2 происходит очень быстро, также быстро происходит релаксация и с 1 уровня на основной.

Обозначим населенности четырех уровней 0, 1, 2 и 3 соответственно через N_g, N₁, N₂ и N₃. Будем считать, что лазер генерирует только на одной моде резонатора. Пусть q – полное число фотонов в резонаторе. Считаем, что переходы 3 – 2 и 1 – 0 являются быстрыми, поэтому можно положить N₁≈N₃≈0. В этом случае имеем следующие скоростные уравнения:

(4.1)

(4.2)

, (4.3)

где N_t – полное число активных атомов. Второе уравнение дает изменение числа частиц на верхнем лазерном уровне. Уравнение 4.3 определяет скорость изменения числа фотонов в резонаторе: первый член дает увеличение числа фотонов вследствие вынужденного излучения (V_a – объем, занимаемый модой внутри активной среды), второй – учитывает уменьшение числа фотонов из-за потерь в резонаторе (τ_с – время жизни фотона).

Следует заметить, что в выражении 4.3 нет слагаемого, учитывающего спонтанное излучение. В действительности генерация возникает за счет спонтанного излучения. Если в уравнениях положить q=0 в момент t=0, то получим =0, и генерация не сможет возникнуть. Правильное выражение для члена, учитывающего спонтанное излучение, получается из квантовомеханического рассмотрения электромагнитного поля моды резонатора. В случае, когда учитывается спонтанное излучение, уравнение 4.3 преобразуется к виду:

.

Однако для простоты мы не будем вводить такого дополнительного члена, а предположим, что в резонаторе уже имеется небольшое число фотонов q_i. Это небольшое число фотонов, которое необходимо для возникновения генерации, в действительности не сказывается на последующем рассмотрении.

Далее получим приближенное значение для величины B, которое подходит для большинства практических приложений. Моду рассматриваем как суперпозицию падающей и отраженной волн, также вводим сечение перехода на частоте моды σ. Изменение интенсивности дается выражением:

.

А за полный проход

, (4.6)

α_i – потери в зеркалах, Т_i – пропускание зеркал, Т_i – внутренние потери.

Введем новые величины γ, которые можно представить как логарифмические потери за проход, а именно:

(4.7)

.

А полные потери (потери пропускания зеркал γ ₁ и γ₂ плюс внутренние потери γ_i) за проход γ определим так:

(4.8)

Подставим (4.7) и (4.8) в (4.6) и введем дополнительное условие

(4.9)

Последнее условие позволяет разложить экспоненту (4.6) в степенной ряд:

Разделим обе части этого выражения на Δt, за которое световая волна совершает полный проход резонатора, т.е. на , где оптическая длина пути. Используя приближение , получаем:

. (4.10)

Поскольку число фотонов в резонаторе пропорционально интенсивности света полученное уравнение можно сравнить с уравнением

Из этого сравнения получим следующие выражения:

, (4.11)

где .

Несколько замечаний к проведенному рассмотрению.

--При выводе уравнения для мы использовали приближение, согласно которому разница между потерями и усилением невелика. Для непрерывного лазера это всегда выполняется, поскольку в установившемся процессе .

--Для импульсного лазера это условие применимо, когда лазер работает при малом превышении над порогом.

--Для импульсного лазера динамическое поведение следует анализировать проход за проходом.

Скоростные уравнения принято записывать через инверсию населенностей:

В силу предположения, что релаксация с уровня 1 является быстрой, имеем , и исходные уравнения нетрудно свести к двум уравнениям:

Для количественного описания работы лазера необходимо решить эти уравнения с учетом начальных условий. Если t=0, то N(0)=0, а q(0)=q_i, где q_i – малое число изначально присутствующих фотонов, стимулирующих вынужденное излучение. Из (4.11) и (4.8) следует:

Если это выражение подставить в (4.3), то понятно, что величина представляет собой скорость ухода фотонов из резонатора через второе зеркало. Следовательно, выходная мощность будет равна:

Следует отметить, что полученные результаты применимы только в случае одномодовой генерации.

Трехуровневый лазер

Предполагаем, что имеется лишь одна полоса поглощения накачки, и переход 3→2 быстрый, тогда можно положить N₃≈0.

При этом можно записать скоростные уравнения:

Используя равенство можно записать

Эти уравнения совместно с выражениями

,

где , описывают как установившееся, так и динамическое поведение трехуровневого лазера (аналогично 4-хуровнему). Однако скоростные уравнения для инверсии населенностей отличаются. Член, отвечающий вынужденному излучению, отличается на коэффициент 2. Это связано с тем, что при излучении одного фотона в трехуровневом лазере инверсия населенностей изменяется на 2 (N₂ уменьшается на 1, а N₁ увеличивается на 1), а в 4-хуровневом на 1(N₂ уменьшается на 1, а N₁ остается ≈0 из-за быстрой релаксации).