Тема: Основные законы постоянного тока

Основные формулы и указания к решению задачи

Расчет разветвленных цепей, содержащих несколько замкнутых контуров (контуры могут иметь общие участки, каждый из контуров может иметь несколько источников тока и т.д.) производится с помощью двух правил Кирхгофа.

Любая точка разветвленной цепи, в которой сходится не менее трех проводников с током, называется узлом. При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла, – отрицательным.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

. (3.1)

Например, для узла показанного на рис. 3.1 первое правило Кирхгофа запишется так:

I₁ + I₂ – I₃ – I₄ – I₅ = 0. (3.2)

Рис. 3.1. Схема узла.

Первое правило вытекает из закона сохранения электрического заряда. В случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.

Применяя второе правило Кирхгофа необходимо придерживаться следующих принципов. Направление обхода по часовой стрелке примем за положительное, отметив, что выбор этого направления совершенно произволен. Все токи, совпадающие по направлению с направлением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода – отрицательными. Источники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура.

Второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов I_i на сопротивления R_i соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э.д.с. E_k, встречающихся в этом контуре:

(3.3)

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток положителен, то его направление было выбрано правильно, если отрицателен – его направление противоположно выбранному.

2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться; произведение IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и, наоборот, э.д.с., действующие по выбранному направление обхода, считаются положительными, против – отрицательными.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и э.д.с. рассматриваемой цепи); каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.

Пример решения задачи

Источники тока с электродвижущими силами E₁ и E₂ включены в цепь, как показано на рис. 3.2. Определить силы токов, текущих в сопротивлениях R₁, R₂ и R₃, если E₁ = 2,1 В; E₂ = 1,9 В; R₁ = 45 Ом; R₂ = 10 Ом; R₃ = 10 Ом. Сопротивлениями источников пренебречь.

Рис. 3.2. Схема электрической цепи

Решение.Силы токов в разветвленной цепи определяются с помощью законов Кирхгофа. Чтобы найти три значения силы токов, следует составить три уравнения. Выберем направления токов, как они показаны на рис. 3.2 и условимся обходить контуры по часовой стрелке. Рассматриваемая задача имеет два узла А и В. Но составлять уравнение по первому закону Кирхгофа следует только для одного узла, так как уравнение, составленное для второго узла, будет следствием первого уравнения.

При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо соблюдать правило знаков: ток, подходящий к узлу, входит в уравнение со знаком плюс, ток, отходящий от узла, – со знаком минус.

По первому закону Кирхгофа для узла В имеем:

I₃ – I₁ – I₂ = 0. (3.4)

Недостающие два уравнения получим по второму закону Кирхгофа. Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, также меньше числа контуров. Чтобы найти необходимое число независимых уравнений, следует придерживаться правила: выбирать контуры таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо соблюдать следующее правило знаков:

а) если ток по направлению совпадает с выбранным направлением обхода контура, то соответствующее произведение IR входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус;

б) если ЭДС повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе контура приходится идти от минуса к плюсу внутри источника, то соответствующая ЭДС входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.

По второму правилу Кирхгофа имеет соответственно для контуров АR₁BR₂A и AR₃BR₁A:

I₂R₂ – I₁R₁ = –E₂, (3.5)

I₃R₃ + I₁R₁ = E₁. (3.6)

Подставив в уравнения значения сопротивлений и ЭДС, получим систему уравнений:

. (3.7)

Для решения системы удобно воспользоваться методом определителей (детерминантов). С этой целью перепишем уравнения еще раз в следующем виде:

(3.8)

Искомые значения токов найдем из выражений

I₁ = D₁/D; I₂ = D₂/D; I₃ = D₃/D, (3.9)

где D – определитель системы уравнений, D₁, D₂, D₃ – определители, полученные заменой соответствующих столбцов определителя D столбцами, составленными из свободных членов трех вышеприведенных уравнений.

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.13)

Отсюда получаем: I₁ = 0,04 A, I₂ = –0,01 A, I₃ = 0,03 A.

Знак минус у значения силы тока I₂ свидетельствует о том, что при произвольном выборе направлений токов, указанных на рисунке, направление тока I₂ было указано противоположно истинному. На самом деле ток I₂ течет от узла А к узлу В.

3.3 Задание для самостоятельного выполнения по вариантам

N источников токов c э.д.с. Е_n, имеющие внутренние сопротивления r_n и реостаты R_k соединены как показано на рис. 3.3 (см. свой вариант). Вычислить силы токов I_k, текущих через реостаты. Данные приведены в табл. 3.1.

Значения величин. Таблица 3.1

№ варианта	Е1, В	Е2, В	Е3, В	r1, Ом	r2, Ом	r3, Ом	R1, Oм	R2, Oм	R3, Oм

вариант 1	вариант 2	вариант 3
вариант 4	вариант 5	вариант 6
вариант 7	вариант 8	вариант 9

Рис. 3.3. Схемы электрических цепей

вариант 10	вариант 11	вариант 12
вариант 13	вариант 14	вариант 15
вариант 16

Продолжение рис. 3.3. Схемы электрических цепей