Движение под углом к горизонту

36. Тело, брошенное под углом к горизонту, имеет дальность полета L и высоту подъема h. Чему равны угол бросания и начальная скорость тела?

37. Наибольшая высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту со скоростью 20 м/с, составляет 10 м. Под каким углом оно брошено? [45⁰]

38. Тело, брошенное под углом к горизонту, упало на землю через время t. Определите высоту подъема и дальность полета тела.

39. Под каким углом к горизонту нужно бросить тело, чтобы его максимальная высота подъема была в 2 раза больше дальности полета?

40. На учебном полигоне летчик должен сбросить груз в точку А, находящуюся на земле впереди по курсу самолета. На каком расстоянии S по прямой от точки А следует произвести сброс, если самолет летит горизонтально на высоте H со скоростью v?

41. Мальчик ростом 1,5 м, стоя на расстоянии 15 м от забора высотой 5 м, бросает камень под углом 45⁰ к горизонту. С какой минимальной скоростью надо бросить камень, чтобы он перелетел через забор? [13,8 м/с]

42. Деревянный шар, скатываясь с лестницы, имел горизонтальную начальную скорость 5 м/с. Высота и ширина каждой ступени равны по 0,5 м. О какую по счету ступеньку ударится ша впервые? [10]

43. Камень бросили со скоростью 19,6 м/с под углом 60⁰ к горизонту. Определить радиус кривизны его траектории в верхней точке. Принять g=9,8 м/с². [9,8 м]

44. С вертолета, летящего горизонтально на высоте Н = 125 м со скоростью V₀ = 90 км/ч, сбросили груз. На какой высоте его скорость будет направлена под углом 60⁰ к горизонту?

45. Камень бросают со скоростью V под углом к горизонту. Через какое время скорость будет составлять угол с горизонтом?

46. Под углом 60⁰ к горизонту брошено тело с начальной скоростью 20 м/с. Через какое время оно будет двигаться под углом 45⁰ к горизонту?

47. Снаряды вылетают с начальной скоростью 600 м/с под углом 30, 45, 60 градусов к горизонту. Определите радиус кривизны траектории снарядов в их наивысшей и начальной точках.

48. **Какую скорость нужно сообщить футбольному мячу, чтобы он пролетел через стену высотой Н, находящуюся на расстоянии S таким образом, чтобы вершина траектории совпала с вершиной стены?

49. **Из шланга, лежащего на земле, бьет по углом 45⁰ к горизонту вода с начальной скорость 10 м/с. Площадь сечения отверстия шланга 5 см². Найдите массу воды струи, находящейся в воздухе.

50. Дальность полета тела, брошенного в горизонтальном направлении со скоростью V₀ = 10 м/с, равна высоте, с которой брошено тело. Чему равна эта высота и под каким углом к горизонту тело упало на землю?

51. Баскетболист бросает мяч в кольцо. Скорость мяча после броска V₀ = 8 м/с, он брошен под углом 60⁰ к горизонту. С какой скоростью мяч попал в кольцо, если он долетел до кольца за 1 с?

52. **Камень бросили под углом a =60⁰ к горизонту со скоростью 20 м/с. Каковы будут нормальное и касательное ускорения камня через 0,5 с после начала движения? Через сколько времени после начала движения нормальное к траектории ускорение камня будет максимальным? Определить радиус кривизны траектории в этот момент.

53. Тело брошено под углом 60⁰ к горизонту со скоростью 10 м/с. Определить время полета, высоту и дальность полета, а также радиус кривизны траектории в наивысшей точке и в точке падения на землю.

54. *Охотник стреляет дробью в птицу, летящую по прямой со скоростью V₁= 15 м/с. Какое упреждение S надо сделать, если в момент выстрела птица находилась на минимальном от охотника расстоянии, равном l= 30 м. Скорость дроби V₂= 375 м/с. Упреждение – это расстояние между точкой, в которую прицеливается охотник и местом нахождения птицы.

55. **Шарик падает вертикально вниз с высоты 1 м на наклонную плоскость и упруго отскакивает от нее. На каком расстоянии S от места падения он снова ударится о ту же плоскость? Угол наклона плоскости к горизонту 30⁰.

[s = 8h, sina = 4 м]

56. **Какое расстояние по горизонтали пролетит мяч, брошенный со скоростью 10 м/с под углом 60⁰ к горизонту, если он ударяется о потолок? Высота потолка 3 м, удар упругий.

57. **Футбольный мяч посылается с начальной скоростью 10,7 м/с под углом 30⁰ к горизонту. На расстоянии 6 м от точки удара находится вертикальная стенка, о которую мяч упруго ударяется. Найти расстояние от точки удара до точки его приземления.

58. **Мальчик ростом h = 1,5 м, стоя на расстоянии l = 15 м перед забором высотой H = 5 м, бросает камень под углом 45⁰ к горизонту. С какой минимальной скоростью V₀ надо бросить камень, чтобы он пролетел через забор? [ ]

59. Тело массы m бросают под углом a к наклонной плоскости, которая образует с горизонтом угол b. Найти расстояние от точки бросания до точки падения тела.

60. Утка летела по горизонтальной прямой с постоянной скоростью u. В нее бросил камень неопытный «охотник», причем бросок был сделан без упреждения. Т.е. в момент броска скорость камня v была направлена как раз на утку под углом a к горизонту. На какой высоте летела утка, если камень все же попал в нее? [ ]

Средняя скорость

61. Половину пути до места назначения автомобиль проехал с постоянной скоростью 40 км/ч. С какой постоянной скоростью он должен двигаться вторую половину пути с тем, чтобы средняя скорость была равна 50 км/ч?

62. Всадник проехал за первые 40 мин 5 км; следующий час он передвигался со скоростью 10 км/ч, а оставшиеся 6 км пути – со скоростью 12 км/ч. Определите среднюю скорость всадника за все время движения, за 1-й час движения и на 1-й половине пути.

63. Первую половину пути машина шла со скоростью 40 км/ч. Затем она стала двигаться под углом 180⁰ (30⁰) к своему начальному направлению движения со скоростью 60 км/ч. Чему равна средняя скорость движения и средняя скорость перемещения машины?

64. Поезд первую половину пути прошел со скоростью в n раз большей, чем вторую половину пути. Средняя скорость на всем пути V_ср. Какова скорость поезда на каждой половине пути?

65. Велосипедист ехал из одного города в другой. Половину пути он ехал со скоростью 12 км/ч. Далее половину оставшегося времени движения ехал со скоростью V₂=6 км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью V₃=4 км/ч. Определить среднюю скорость на всем пути.

66. Велосипедист начал свое движение из состояния покоя и в течение первых 4 с двигался с ускорением 1 м/с², затем в течение 0,1 мин он двигался равномерно и последние 20 м равнозамедленно до остановки. Найти среднюю скорость за все время движения. Построить график V(t).

67. Расстояние между двумя станциями поезд прошел со средней скоростью V_ср = 72 км/ч за t= 20 мин. Разгон и торможение вместе длились t₁= 4 мин, а остальное время поезд двигался равномерно. Какой была скорость поезда V при равномерном движении.

68. Тело соскальзывает без трения с наклонной плоскости. Определить угол a наклона плоскости к горизонту, если средняя скорость тела V₁ за первые t₁= 0,5 с на 2,45 м/с меньше, чем средняя скорость V₂ за первые t₂ = 1,5 с.

69. Тело падает без начальной скорости с высоты H. Определить скорость на половине пути (V₁), в конце пути (V₂), а также среднюю скорость падения на нижней половине пути (V_ср). Сопротивлением воздуха пренебречь.

70. Тело падает вертикально вниз с высоты h= 20 м без начальной скорости. Определить: 1) путь, пройденный телом за последнюю секунду h₁; 2) среднюю скорость на всем пути V_1ср; 3) среднюю скорость на второй половине пути V_2ср.

71. Первые t₁ секунд поезд движется равноускоренно без начальной скорости, затем некоторое время его скорость не меняется. На замедление до полной остановки уходит время t₂. При этом весь путь длиной L поезд проходит со средней скоростью v_ср. Найти максимальную скорость поезда.

72. Брошенный вверх камень поднимается на высоту 10 м и падает обратно. Какова средняя скорость камня за время движения. [0]

73. Турист первую треть всего времени движения шел по грунтовой дороге со скоростью V₁ = 3 км/ч. Следующую треть времени он перемещался по шоссе со скоростью V₂ = 6 км/ч. Последний участок, длинной в треть всего пути, турист шел со скоростью V₃. Вычислите скорость V₃. Найдите при какой скорости V он прошел бы тот же путь за то же время, двигаясь равномерно. [4,5 км/ч]

74. Турист первую треть всего времени движения шел по грунтовой дороге со скоростью V₁ = 2 км/ч, затем треть всего пути перемещался по шоссе со скоростью V₂. В конце второго участка пути он встретил грузовик, на котором и вернулся в исходную точку по той же дороге. Известно, что на грузовике он ехал с постоянной скоростью V₃. Вычислите среднюю (путевую) скорость V₀ туриста. Укажите минимальное возможное значение скорости V₂. [4 км/ч; 2 км/ч]

75. Турист первую треть всего времени движения шел по лесу на юг со скоростью V₁ = 3 км/ч, затем треть всего пути перемещался по полю на восток со скоростью V₂, и, наконец, по кратчайшему пути по просеке вернулся в исходную точку. Вычислите среднюю (путевую) скорость V₀ туриста. Укажите минимальное возможное значение скорости V₂. [4 км/ч; 2 км/ч]

Относительность движения

76. Определить скорость человека по отношению к берегу, если он идет вдоль катера с носа на корму со скоростью 1,25 м/с. Скорость катера относительно воды равна 5 м/с, скорость реки равна 9 км/ч. [1,25 м/с] (рис.)

77. Катер движется из пункта А к пункту В, держа курс b. Скорость течения реки 2 м/с. Определить скорость катера относительно берега и относительно реки, если a=45⁰ и b= 30⁰. (рис.)

78. Из пункта А по взаимно перпендикулярным дорогам выехали два автомобиля: один со скоростью 30 км/ч, другой – со скоростью 40 км/ч. С какой относительной скоростью они удаляются друг от друга?

79. Скорость велосипедиста 10 м/с, а скорость встречного ветра 6 м/с. Определите скорость ветра относительно мальчика.

80. *С одного и того же места с интервалом времени Dt брошены 2 тела с одной и той же начальной скоростью V под углом к горизонту. Как движется 1-е тело относительно 2-го? Почему относительная скорость зависит только от t?

81. При скорости ветра 10 м/с капли дождя падают под углом 30⁰ к вертикали. При какой скорости ветра капли будут падать под углом 45⁰?

82. Какой будет продолжительность полета по трассе длины L, если в течение всего полета ветер дует под углом b к трассе со скоростью U, а скорость самолета относительно воздуха V. При каком направлении ветра продолжительность полета максимальна?

83. Мальчик может плавать со скоростью в 2 раза меньше скорости реки; он хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки 200 м?

84. Катер двигаясь по течению реки, затратил время в n=3 раза меньше, чем на обратный путь. Определить с какими скоростями относительно берега двигался катер, если средний модуль скорости на всем пути V_ср=3 км/ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения.

85. Из пункта выехали 3 автомобиля: первый со скоростью V₁= 30 км/ч, второй – со скоростью V₂= 40 км/ч в том же направлении, что и первый; третий – со скоростью V₃= 40 км/ч в направлении, перпендикулярном движению первых двух. С какой относительной скоростью они удаляются друг от друга?

86. Катер переплывает через реку, движется перпендикулярно течению реки со скоростью 4 м/с в системе отсчета, связанной с водой. На сколько будет снесен катер течением, если ширина реки 800 м, а скорость течения 1 м/с.

87. Моторная лодка, движущаяся относительно воды со скоростью 6 м/с, должна переправиться через реку по кратчайшему пути. Какой курс относительно берега необходимо держать при переправе, если скорость течения реки 2 м/с?

88. **Клин К движется вправо с постоянной скоростью V₀ относительно стола. С какой скоростью V₁ движется шайба 1 относительно клина? Какова по модулю скорость шайбы U относительно стола, если угол клина a известен?

89. Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем человека в течение 1 мин. По неподвижному эскалатору человек поднимается за 3 мин. Сколько времени будет подниматься пассажир по движущемуся эскалатору?

90. Эскалатор метро спускает идущего по нему вниз человека за 2 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то он спустится за 45 с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе?

91. Капли дождя на окне неподвижного трамвая оставляют полосы, наклоненные под углом a=30⁰ к вертикали. При движении трамвая со скоростью V₁=18 км/ч полосы от дождя вертикальны. Определить скорость V₂ капель в безветренную погоду и скорость ветра V₃. [8,66 м/с, 5 м/с]

92. Какова скорость капель отвесно падающего дождя, если шофер легкового автомобиля заметил, что капли дождя не оставляют следа на заднем стекле, наклоненном вперед под углом 60⁰ к горизонту, когда скорость автомобиля V_a больше 31 км/ч.

93. Лодочник перевозит пассажиров с одного берега на другой за 10 мин, при этом лодка движется перпендикулярно берегу. С какой скоростью относительно воды и под каким углом к берегу должна двигаться лодка, чтобы достичь берега за указанное время? Скорость течения V₁=0,3 м/с, ширина реки 240 м.

94. На тележке установлена труба, которая может поворачиваться в вертикальной плоскости. тележка равномерно движется по горизонтальному пути со скоростью V₁ =2 м/с. Под каким углом a к горизонту следует установить трубу, чтобы капли дождя, падающие отвесно со скоростью V₂ = 6 м/с, двигались относительно трубы параллельно ее стенкам, не задевая их? Скорость капель вследствие сопротивления воздуха можно считать постоянной.

95. *Лента транспортера имеет скорость w. Над лентой движется автомат, выбрасывающий v шариков в единицу времени. Шарики прилипают к ленте. Счетчик шариков с фотоэлементом считает только шарики, непосредственно прошедшие под ним. Сколько шариков сосчитает счетчик за единицу времени, если скорость автомата v<w? Скорость счетчика u<w? [v’=v(w-u)/(w-v)]

96. Круглое ядро радиуса R, движущееся со скоростью v, пролетает сквозь рой мух, движущихся со скоростью u перпендикулярно направлению полета ядра. Толщина роя равна d, в единице его объема в среднем находится n мух. Сколько мух убьет ядро? Влиянием силы тяжести пренебречь. [ ]

Движение по окружности

97. За какое время колесо, имеющее угловую сворость 4 рад/с, сделает 100 оборотов?

98. Угловая скорость лопастей вентилятора 20 рад/с. Найдите число оборотов за 30 мин.

99. Секундная стрелка часов делает полный оборот за 1 мин. Радиус стрелки равен 10 см. Какова угловая скорость острия стрелки, его линейная скорость, частота вращения и центростремительное ускорение? Куда направлен каждый из названных векторов?

100. Диаметр колеса велосипеда равен 70 см, ведущая зубчатка имеет 48 зубьев, а ведомая – 18 зубьев. С какой скоростью движется велосипедист на этом велосипеде при частоте вращения педалей 1 об/с?

101. Волчок, вращаясь равномерно с угловой скоростью 251,2 рад/с, свободно падает с высоты 5 м. Сколько оборотов успеет сделать волчок за время падения?

102. Две материальные точки движутся по окружностям радиусами R₁ и R₂, причем R₁ = 2R₂. Сравнить их центростремительные ускорения в случаях: а) равенства их линейных скоростей; б) равенства их периодов.

103. Движение шкива 1 к шкиву 4 передается при помощи двух ременных передач. Найдите частоту вращения шкива 4, если шкив 1 делает 1200 об/мин, а радиусы шкивов R₁=8 см? R₂=32 см, R₃=11 см, R₄=55 см. Шкивы 2 и 3 жестко укреплены на одном валу.

104. Радиус рукоятки колодезного ворота в три раза больше радиуса вала, на который наматывается трос. Какова линейная скорость конца рукоятки при поднятии ведра с глубины 10 м за 20 с?

105. При увеличении в 4 раза радиуса круговой орбиты искусственного спутника Земли период его обращения увеличивается в 8 раз. Во сколько раз изменяется скорость движения спутника по орбите?

106. Минутная стрелка часов в 3 раза длиннее секундной. Найдите отношение линейных скоростей концов стрелок.

107. Гладкий диск радиусом R, плоскость которого расположена горизонтально, вращается вокруг своей оси с частотой 40 об/мин. От поверхности диска на расстоянии R/2 от оси вращения отрывается небольшое тело, которое без трения скользит по диску. Через какое время оно соскользнет с диска?

108. Лента перематывается с одной катушки на другую. Угловая скорость вращения мотка постоянна и равна , начальный радиус мотка R, толщина ленты h. Какова будет скорость подачи ленты спустя время t после начала вращения?

109. *Диск радиуса R начинает вращаться с угловым ускорением 3 рад/с². Через сколько времени точка, лежащая на его краю, будет иметь ускорение 75 см/с²?

110. *Тело начинает движение из состояния покоя и вращается с постоянным угловым ускорением 0,04 рад/с². Через сколько времени тело будет иметь ускорение, направленное под углом 45⁰ к ее скорости?

111. *Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью 54 км/ч и проходит путь 600 м за время 30 с, двигаясь равноускоренно. Радиус закругления 1 км. Определить скорость и ускорение в конце этого пути. [25 м/с, 0,708 м/с²]

112. Шкив радиусом R = 20 см приводится во вращение грузом, подвешенным на нити, постепенно сматывающейся со шкива. В начальный момент груз был неподвижен, а затем стал опускаться с ускорением 2 см/с². Определить угловую скорость шкива в тот момент, когда груз пройдет путь 1 м. Определить величину и направление ускорения точки на ободе шкива в этот момент.

Часть вторая:Динамика материальной точки

Основные понятия и законы

Материальные тела участвуют в различных взаимодействиях, т.е. одни из них действуют на другие и наоборот. В природе нет тел, которые бы не принимали участия хотя бы в одном виде взаимодействий, обусловленных его свойствами.

Абстрактно можно представить себе тело, которое ни с кем не взаимодействует, то есть на которое не оказывается никакого действия со стороны. Такое тело называется свободным.

Движение свободного тела не меняется! Его вид: прямолинейное и равномерное. Оно будет оставаться таковым сколь угодно долго. Если движение тела изменится, значит, оно уже не свободное и на него кто-то подействовал.