Пружинный маятник с трением. Затухающие колебания.

, где r - коэффициент трения.

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ - колебания с постоянно убывающей со временем амплитудой.

Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухание обусловлено в основном трением (механические системы) и сопротивлением ( в электромагнитных колебательных контурах).

Колебательная система называется линейной, если её свойства не меняются при колебаниях, то есть такие параметры, как сила тяжести, упругость пружины, сопротивление, емкость, индуктивность не зависят ни от смещения, ни от скорости, ни от ускорения колеблющейся величины. В дальнейшем мы будем рассматривать только линейные системы.

Уравнения затухающих колебаний

Получим дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний на примере реального пружинного маятника, совершающего колебания в среде с сопротивлением (простейший случай - трение о воздух). Пусть масса маятника m, коэффициент упругости пружины k, сила сопротивления, действующая на маятник, F = - bv, v - скорость маятника, b - коэффициент сопротивления среды, в которой находится маятник. Так как мы рассматриваем только линейные системы, b = const, k = const. x - смещение маятника от положения равновесия.Второй закон Ньютона в нашем случае запишется так:

Это уравнение и есть дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний пружинного маятника. Его, однако, принято записывать в следующем, так называемом каноническом виде:

- коэффициент затухания,

- собственная частота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника, то, что раньше мы обозначали просто w.

Уравнение затухающих колебаний в таком (каноническом) виде описывает затухающие колебания всех линейных систем; конкретная колебательная система отличается только выражениями для b и j₀.

Логарифмический декремент затухания и добротность.

Логарифмический декремент затухания и добротность Графическая зависимость x(t) показывает, что движение маятника с учетом силы трения представляет собой затухающие колебания. . Так как трение всегда существует, то колебания всегда будут затухающими и возникает вопрос о степени такого затухания. Для оценки этого затухания вводится понятие декремента затухания: ; где ; - декремент затухания. Вводится определение логарифмического декремента затухания: . Добротность:

Вынужденные колебания. Уравнение движения и его решение.

где x с двумя точками – производная второго порядка от x по t (ускорение),

- собственная частота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника, а W (омега) – частота вынуждающей силы.

Ее решение: x (t) = x_mcos (ωt + θ). Амплитуда вынужденных колебаний x_m и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ω₀ и ω и от амплитуды внешней силы.